邱夢(mèng)鸞，白根柱

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙 古通遼 028043）

用單葉雙曲螺旋線光滑拼接兩條異面直線

邱夢(mèng)鸞，白根柱

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙 古通遼 028043）

討論了兩條異面直線可用單葉雙曲螺旋線光滑拼接的條件，給出了具體實(shí)例，并用數(shù)學(xué)軟件畫出了拼接的效果圖.

異面直線；單葉雙曲螺旋線；光滑拼接

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，曲線、曲面拼接就是將兩個(gè)或兩個(gè)以上的曲線、曲面用一個(gè)曲線、曲面光滑拼接起來.有關(guān)共面直線或軸線共面的管道之間光滑拼接技術(shù)的研究較多［1－9］，而關(guān)于異面直線或軸異面管道之間光滑拼接的研究結(jié)果并不多，文獻(xiàn)［10］提出構(gòu)造軸線與給定二異面圓管的軸分別共面的輔助圓柱，并利用二軸共面的吳文俊公式實(shí)現(xiàn)了給定圓管的分兩段三次光滑拼接，文獻(xiàn)［11］給出了兩個(gè)軸線異面的圓管道存在三次拼接曲面的充要條件，并給出了當(dāng)存在光滑拼接的三次曲面時(shí)，兩個(gè)圓管道系數(shù)之間的關(guān)系，文獻(xiàn)［12］利用螺旋線對(duì)兩條異面直線進(jìn)行光滑拼接，實(shí)現(xiàn)了利用廣義圓柱螺旋管光滑拼接軸線異面的管道，文獻(xiàn)［13］利用空間Bézier曲線對(duì)兩條異面直線進(jìn)行光滑拼接，實(shí)現(xiàn)了用廣義圓柱管道光滑拼接軸線異面的管道，文獻(xiàn)［14］分別以推廣的Hartmann函數(shù)曲線和兩個(gè)錐面的交線為過渡曲線，對(duì)兩條異面直線進(jìn)行了光滑拼接，實(shí)現(xiàn)了以此過渡曲線為軸線的管道光滑拼接兩個(gè)軸異面的圓管道.本文主要討論了用單葉雙曲螺旋線實(shí)現(xiàn)兩條異面直線之間的光滑拼接問題，為進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)軸異面管道之間的光滑拼接打基礎(chǔ).

1 基本理論

其中a，b，c，L都是正數(shù)．

在幾何造型中，兩曲線拼接時(shí)，有兩種方法度量曲線間拼接的光滑度，一種是函數(shù)的可微性方法，把拼接參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n次連續(xù)可微，這類光滑度稱之為Cn或n階參數(shù)連續(xù)性；另一種稱為幾何連續(xù)性，即合成曲線在拼接點(diǎn)處滿足不同于Cn的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡(jiǎn)記為Gn．

定義2 若對(duì)任意的兩個(gè)方向向量d1和d2的每一個(gè)分量為Cn連續(xù)，稱d1和d2為Cn連續(xù)．

定義3 若空間曲線l0與兩條空間異面直線l1、l2分別在拼接點(diǎn)處Cn連續(xù)，則稱l0與l1、l2、Cn連續(xù)．

給定兩條直線l1和l2分別為：

其中點(diǎn)M1（X1，Y1，Z1）在直線l1上，d1（A1，B1，C1）是 l1的方向向量，點(diǎn) M2（X2，Y2，Z2）在直線l2上，d2（A2，B2，C2）是l2的方向向量．這兩條空間直線異面的充要條件是：

定理1 能夠與式（1）和式（2）在點(diǎn)M1（X1，Y1，Z1）和點(diǎn)M2（X2，Y2，Z2）處分別光滑拼接的單葉雙曲螺旋線應(yīng)滿足的條件：

1）位置連續(xù)：C（β1）＝M1（X1，Y1，Z1），C（β2）＝M2（X2，Y2，Z2），即：

其中β1，β2分別為單葉雙曲螺旋線在點(diǎn)M1（X1，Y1，Z1）和點(diǎn)M2（X2，Y2，Z2）處的轉(zhuǎn)角，則單葉雙曲螺旋線的參數(shù)方程為：

其中a，b，c，L為滿足條件的任一正數(shù)．

為了保證C（β）與l1、l2達(dá)到切矢方向的連續(xù)，需滿足d1＝ε·C′（β1），d2＝δ·C′（β2）其中ε，δ＞0，即得證條件式（2）．

綜上，可知能夠GC1光滑拼接兩異面直線l1、l2的單葉雙曲螺旋線的參數(shù)方程為：

其中a，b，c，L都是正數(shù)．

2 實(shí)例

例1 已知兩條異面直線l1和l2，其參數(shù)方程分別為：

則能夠光滑拼接兩異面直線l1和l2的單葉雙曲螺旋線的參數(shù)方程為：

例2 已知兩條異面直線l3和l4，其參數(shù)方程分別為：

則能夠光滑拼接兩異面直線l3和l4的單葉雙曲螺旋線的參數(shù)方程為：

圖1 用單葉雙曲螺旋線光滑拼接異面直線l1和l2 Fig.1 Employing hyperbolic spiral of one sheet to smoothly blend two non－coplanar straight lines l1，l2

圖2 用單葉雙曲螺旋線光滑拼接異面直線l3，l4Fig.2 Employing hyperbolic spiral of one sheet to smoothly blend two non－coplanar straight lines l3，l4

3 結(jié)束語

在討論用單葉雙曲螺旋線光滑拼接給定的異面直線的過程中，討論了以z軸為中心的螺旋線光滑拼接兩個(gè)異面直線的問題.此方法可以推廣到給定任意兩個(gè)異面直線可用單葉雙曲螺旋線光滑拼接的情形.另一方面，將進(jìn)一步研究在軸線光滑拼接的前提下，兩個(gè)軸異面管道的光滑拼接問題，這對(duì)于研究軸異面管道光滑拼接具有理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Smoothly Blending Two Non－coplanar Straight Lines Employing Hyperbolic Spiral of One Sheet

QIU Mengluan，BAI Genzhu
（College of Mathematics，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China）

We discuss the conditions of the smooth blending between two non－coplanar straight lines by the hyperbolic spiral of one sheet，cite specific examples and draw the splicing effect pictures using math?ematical software.

non－coplanar straight lines；hyperbolic spiral of one sheet；smooth blending

O187.1

A

1008－8423（2015）03－0256－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.005

2015－05－23.

內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目（NMDGP1415）.

邱夢(mèng)鸞（1990－），女，碩士生，主要從事計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的研究.