謝君輝，劉婷婷，孫 濤

（湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000）

一類具反應(yīng)擴(kuò)散的捕食模型平衡態(tài)模式的定性分析

謝君輝，劉婷婷，孫 濤

（湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000）

研究了一類具反應(yīng)擴(kuò)散的捕食－食餌模型，運(yùn)用分歧理論討論了該模型平衡態(tài)半平凡解的局部分支解的存在性，進(jìn)而，給出了該問(wèn)題正平衡解存在性的充分條件.

捕食模型；反應(yīng)；擴(kuò)散；平衡態(tài)

生物數(shù)學(xué)是生物學(xué)與數(shù)學(xué)之間的學(xué)科，它應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究和解決生物問(wèn)題，并對(duì)與生物有關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論研究.捕食－食餌模型是生物數(shù)學(xué)中的一類重要模型，關(guān)于捕食－食餌模型，人們不僅考慮空間分布均勻的常微分方程模型，而且，而且也考慮空間分布不均勻的偏微分方程模型，即具反應(yīng)擴(kuò)散的捕食模型.利用反應(yīng)擴(kuò)散方程組來(lái)研究生物模型，已經(jīng)成為偏微分方程的一個(gè)重要研究方向，同時(shí)也成為生物學(xué)發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)［1－7］.由于反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的長(zhǎng)時(shí)間行為與其相應(yīng)的平衡態(tài)問(wèn)題密切相關(guān)，因此，確定反應(yīng)擴(kuò)散方程組平衡解的定性性質(zhì)是后續(xù)研究的首要環(huán)節(jié)和任務(wù).

本文就如下捕食模型進(jìn)行研究：

上述兩個(gè)模型中，Ω?Rn（n≥2）為有界開(kāi)區(qū)域，邊界?Ω充分光滑，λ，μ，a，b，c均為正常數(shù)，u，v分別表示在一定的范圍Ω內(nèi)食餌和捕食者物種的密度．本文中，限定μ＞0，表明捕食者還有其他的食物來(lái)源為HollingIV類功能反應(yīng)函數(shù)（又稱Monod－h(huán)aldance函數(shù)）.此外，從生態(tài)學(xué)角度來(lái)看，齊次Neumann邊界條件表明系統(tǒng)是封閉的．

模型（1）描述在一個(gè)封閉的環(huán)境里，食餌與捕食者相互影響的關(guān)系．模型（2）則刻畫(huà)在這樣的一個(gè)封閉環(huán)境中，捕食者和食餌的數(shù)量能否達(dá)到某個(gè)共存平衡態(tài)．

1 主要結(jié)論及證明

引理1［7］（基本的分歧定理） 設(shè)X，Y為Banach空間，U＝S×V為R×X中的開(kāi)集，f∈C2（U，Y）且f（λ，0）＝0，又L0＝D2f（λ0，0），L1＝D1D2f（λ0，0）滿足下列條件：

則存在δ＞0和C1連續(xù)曲線（λ，φ）：（－δ，δ）→R×Y使得對(duì)任意．而且存在（λ0，0）的領(lǐng)域，使得f的零點(diǎn)或者在這條曲線上，或者為（λ，0）．

定理1 假設(shè)μ＞λ，則模型（2）存在正解（u，v）＞（0，0）．

證明 首先令μ＞λ，將λ取為分歧參數(shù)，由半平凡非負(fù)解｛λ，0，θ［μ］｝構(gòu)造出方程的解，其中θ［μ］為問(wèn)題：

同樣有：存在充分小δ＞0及C1連續(xù)曲線（－δ，δ）：→R×Z λ（0）＝λ～，φ1（0）＝φ2（0）＝0且（λ（s）；w（s），χ（s））＝（λ（s）；w（φ＋φ1（s）），s（ψ＋φ2（s）））滿足（λ（s）；w（s），χ（s））＝0，其中 X＝Z⊕span｛（φ，ψ）｝．因此（λ（s）；U（s），V（s））（｜s｜＜δ）是模型（2）的分歧解，其中U（s）＝s（φ＋φ1（s）），V（s）＝s（ψ＋φ2（s））．若取0＜s＜δ，則它恰好為模型（2）的正解，且在分歧點(diǎn)｛μ～；θ［λ］，0｝附近的非平凡負(fù)解要么在分支｛（λ；0，θ［μ］），λ∈R＋｝上，要么在｛（λ（s）；U（s），V（s）），0＜s＜δ｝上，即定理1得證．

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Qualitative Analysis of a Class of Predator Pray Model with Reaction Diffusion

XIE Junhui，LIU Tingting，SUN Tao
（School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

In this paper，we study a class of predator－prey model with reaction and diffusion.By using the bifurcation theory，we discuss the existence of semi－trivial solution for local branch solutions of the steady states and give the sufficient conditions for the existence of positive solutions of the problem.

predator－prey model；reaction；diffusion；equilibrium

O029

A

1008－8423（2015）03－0247－05

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.003

2015－06－16.

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（B2015097）；湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金（MY2013B019）；湖北民族學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（2014Z048）.

謝君輝（1985－），女，博士，講師，主要從事偏微分方程理論及應(yīng)用的研究.