安勇

[摘 要]

數學課題學習是將生活中的數學與課堂上的數學聯系在一起，為研究性學習提供了課程平臺。在多個“做數學”課題學習活動中，教師所設計的問題難度適中，由淺入深，層層遞進，讓學生充分體驗到知識的發(fā)現過程及解決問題的思維方法。

[關鍵詞]

課題學習；歸納；猜想

“課題學習”是《數學課程標準》初中內容中的一個重要部分，是“實踐與綜合應用”領域內容的重要呈現。通過課題學習，教師應著力培養(yǎng)學生歸納能力、探究能力和綜合運用所學知識解決實際問題的能力。本文以《數格點，找規(guī)律，算面積》課堂教學為例，談談課題學習研究的實踐與應用的方略。

一、創(chuàng)設情境，引發(fā)興趣

師：如圖1，每個格點之間的距離都為1。如果一個多邊形的頂點都在格點上，那么這種多邊形叫做格點多邊形。思考一下，在圖1的兩個格點多邊形中，哪個的面積大？

生1：可以用割補法。用大長方形的面積減去其他的小直角三角形的面積就可以計算左右兩邊多邊形的面積。

生2：也可以把這兩個圖形分割成多個梯形和三角形來計算面積。

師：這兩種直觀的方法都非常好。還有沒有其他的更好的方法來計算多邊形面積呢？（學生思考時無結果）

師：今天，我們就來學習借助數格點來計算多邊形面積的方法。

【自我點評】

問題的建立給了學生思維的空間，而且學生特別想知道還有什么其他辦法來計算格點多邊形的面積，學習積極性被迅速調動起來。

二、小組討論，思考方法

師：設格點多邊形的面積為S，多邊形內部的格點數為N，它的邊上的格點數為L，下面我們來研究S、N、L三者之間的關系。（學生以小組為單位進行討論）

生：可以先從簡單的情況開始研究，看看這三個量之間有什么關系，然后再繼續(xù)研究復雜的情況。

師：非常好。當我們遇到復雜問題的時候，先可以從簡單的問題入手研究，然后循序漸進研究復雜的問題。

【自我點評】

教師創(chuàng)設了一個以計算格點多邊形面積為背景的問題，為學生提供了一個動手操作實踐的數學環(huán)境，讓學生在“做數學”的過程中體驗知識的發(fā)現過程及解決問題的思維方法。該問題的設計體現了從簡單到復雜、從特殊到一般的不完全歸納的數學思想，更加注重知識的形成過程的引領，符合新課程落實“過程性目標”的指導思想。

三、動手實踐，猜想結論

活動1：

（1）如圖2-①②③都是滿足N=0的格點多邊形，請你在圖2-④中再畫出一個N=0的格點多邊形。

（2）根據圖2，完成下表：

師：當N=0時，S與L有什么關系？

生：通過計算發(fā)現S=[12L-1]。

師：在你畫的2-④圖中，這個關系式是否仍然成立？

生：成立。

【自我點評】

教師在帶領學生研究有挑戰(zhàn)性的問題時，要降低切入點的難度，以提升學生解決問題的信心，最大限度地調動學習的積極性。活動1是從最特殊的N=0的情況開始入手，把研究的問題簡單化，便于學生入手。學生通過親身實踐，很容易得出了S=[12L-1]的結論。

活動2：

（1）如圖3-①②③都是滿足N=1的格點多邊形，請你在圖3-④中再畫出一個N=1的格點多邊形。

（2）根據圖3，完成下表：

師：當N=1時，S與[12L-1]仍相等嗎？

生：（異口同聲）不相等。

師：大家思考下，S與L有怎樣的數量關系呢？

生：當N=1時，S=[12L]。

……

【自我點評】

活動2的設置是為了引發(fā)學生的認知沖突。學生通過計算發(fā)現，在活動1中得出的結論不適用于N=1的格點多邊形面積的計算，只有繼續(xù)研究其他情況來發(fā)現其中的規(guī)律。接下來教師的提問可以分為兩種形式：一是問，怎樣用N、L的代數式來表示S？二是問，S與L有怎樣的數量關系？如果按照第一種方法來提問，學生馬上會通過數值來研究三者的關系來思考，那么這是教師牽著學生過河，學生的思維只會被限制在教師設置的條條框框中。因此，教師首先不能急于給學生帶路，要留有余地，給學生主動探究的時間和空間，促進學生的探究力和思維力的發(fā)展。同時，學生學過的函數只是研究過兩個變量之間的關系，如果此時研究S、N、L三個量之間的關系，對于學生來說難度較大。過難的問題會極大地抑制學生探究問題的欲望和積極性。所以教師設計的問題情境的難度要適中，由淺入深，由易到難，層層遞進，這便于學生上手操作研究。

四、深入研究，猜想結論

活動3：

（1）如圖4-①②③都是滿足N=2的格點多邊形，請你在圖4-④中再畫出一個N=2的格點多邊形。

（2）根據圖4，完成下表：

師：當N=2時，S與L有什么關系？

生：當N=2時，S=[12L+1]。

……

活動4：

（1）如圖5-①②③都是滿足N=3的格點多邊形，請你在圖5-④中再畫出一個N=3的格點多邊形。

（2）根據圖5，完成下表：

師：當N=3時，S與L有什么關系？

生：當N=3時，S=[12L+2]。

師：我們一起研究了當N=0、1、2、3時，S與L的關系，同學們還有什么發(fā)現嗎？

生：我發(fā)現當N=0、1、2、3時，S始終等于[12L]加上一個數。

師：你認為加上的這個數是任意的，還是存在什么規(guī)律？

生：加上的這個數始終等于N-1。

師：現在我們能得到格點多邊形的面積S與多邊形內部的格點數N、邊上的格點數L之間的數量關系式嗎？

生：關系式為S=[N+12L-1]。

師：回答得非常好。我們剛才研究并驗證的關系式就是著名的“皮克定理”。

……

【自我點評】

在上述的環(huán)節(jié)活動中，學生經歷了畫圖、列表、分析數據、尋找規(guī)律，發(fā)現并驗證了S、N、L三者之間的關系，即S=[N+12L-1]。同時，學生初步認識了“特殊與一般”之間的辯證關系，獲取了由“簡單到復雜”的探究問題的方法和經驗，提高了分析問題和解決問題的能力。

五、拓展延伸，創(chuàng)新留白

（1）如果每相鄰的四個點構成的小長方形的面積是1，如圖6，那么還能用“皮克定理”來求多邊形的面積嗎？

（2）如果每相鄰的三個點構成的小等邊三角形的面積是1，如圖7，那么還能用“皮克定理”來求多邊形的面積嗎？

【自我點評】

俗話說：“師傅領進門，修行在個人”，上課既然是“領進門”，就要讓學生從教師講課的字里行間看出個廣闊天地。拓展性的問題情境，既聯系著當前教學應當解決的問題，又蘊含著與當前問題有關，讓學生自己去回味、思考的問題，營造了一種完而未完，意猶未盡的教學心理境界，學生會迫不及待地去繼續(xù)學習、探究。教師不把問題講盡、講完，要有意識地把一些加深、加寬的內容留到習題和課外去，讓學生獨立去想，目的在于激發(fā)學生循著教師講課的線索去繼續(xù)深入地思考問題，使課堂教學具有延伸性。同時，這也減少了課外學習的盲目性和被動型。

[參 考 文 獻]

[1]王鋒.“課題學習”的案例探究與啟示[J].中國數學教育，2012（1-2）.

（責任編輯：張華偉）