宋招春

摘 要：常用的邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用在數(shù)學中占有非常重要的地位，在高考中占有極為核心的分量，因其具有知識面寬、思維豐富等特點，常令學生望而生畏，出現(xiàn)欲速則不達、下手易錯等現(xiàn)象。以數(shù)學思想方法為統(tǒng)領，可突破解題思維防線，從而提升此類試題解題能力。

關鍵詞：數(shù)形結合；化歸與轉化；函數(shù)與方程

一、數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想，即用“數(shù)”微觀來研究“形”的性質(zhì)，用“形”的直觀來探尋“數(shù)”的關系，其運用要注重“數(shù)”與“形”的有效轉化。因圓錐曲線研究本身具有代數(shù)與幾何的雙重角色，故數(shù)形結合思想顯得特別重要，而導數(shù)在研究函數(shù)的變化趨勢時若借助于“形”，則易提供解題思路。

例1.已知雙曲線x2-y2=1上一點P，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左、右焦點，若△F1PF2是直角三角形，則這樣的點P有（ ）個。

A.0 B.2 C.3 D.4

分析：△F1PF2是直角三角形，可有三種情況：∠P為直角，∠F1為直角，∠F2為直角，當∠P為直角時，可聯(lián)想到以F1F2為直徑的圓，當∠F1，∠F2為直角時，作圖易得結論。正確答案為D。

小結：解題時，抓住△F1PF2有一內(nèi)角為直角這一關鍵條件，依托線與雙曲線的交點來確定問題的答案，充分體現(xiàn)了數(shù)學解題中數(shù)形結合思想的實效性。

二、化歸與轉化思想

化歸與轉化的思想是指在研究數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略?；瘹w與轉化思想的原則是將復雜問題化為簡單問題，將較難問題轉化為較容易的問題，將未知問題化為已知問題。

例2.設p：log1（x-3）>0，q：6x2-5x+1>0，則q是p的（ ）

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分必不必要條件

分析：首先將命題p，q對應的式子進行簡化，使其為最簡形式，然后再將“求q是p的什么條件”轉化為“求p是q的什么條件”。最后利用集合的“小充分大必要”原理進行判斷，并得出結論。正確答案是A。

三、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想是從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

例3.已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+b在（1，f（1））處的切線方程為y=2x+1。（I）求a、b的值。（II）設函數(shù)g（x）=-（1+k）x2，當x∈（0，3），K≥0時，是否使函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的下方，若存在，則求K的正整數(shù)值，若不存在，請說明理由。

分析：（I）由導數(shù)的幾何意義及切線方程，可得兩個方程，即可解出a，b的值。（II）解題先利用導數(shù)探究單調(diào)性，后確定最大值，以最大值是否小于零來判斷f（x）<0恒成立與否。

小結：此題的第一部分體現(xiàn)方程思想，即尋找關于a、b的等式關系，解之即可，第二部分體現(xiàn)了函數(shù)思想，以函數(shù)的圖象來展現(xiàn)問題的本質(zhì)，為解題提供思維。

編輯 張珍珍