周艷

摘 ? ?要： 既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，又沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識;想讓學(xué)生真正達(dá)到既掌握數(shù)學(xué)知識，又能逐步領(lǐng)悟其中思想方法的精髓，就需要我們盡可能地在課堂教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法;在教學(xué)過程中我們要有目的、有意識、有計劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)的是漸進(jìn)性和長期性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想方法 ? ?數(shù)學(xué)課堂教學(xué) ? ?滲透策略

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容實質(zhì)上是由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法這兩個基本部分組成的。教材的每一章節(jié)都能尋找到這兩個基本內(nèi)容有機(jī)結(jié)合的身影，也就是說沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。傳統(tǒng)的教育觀念只重視基礎(chǔ)知識卻忽視了思想方法，也就忽視了素質(zhì)教育的本質(zhì)，《新課標(biāo)》中“四基”的提出正是體現(xiàn)了這種現(xiàn)代教育的思想。要想讓學(xué)生真正達(dá)到既掌握數(shù)學(xué)知識，又能逐步領(lǐng)悟其中思想方法的精髓，就需要我們盡可能地在課堂教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法。之所以用“滲透”描述，是因為在教學(xué)過程中要把知識和思想方法有機(jī)結(jié)合在一起，不能采用簡單、生硬的灌輸方式，所以在教學(xué)過程中我們要有目的、有意識、有計劃、有步驟地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)的是漸進(jìn)性和長期性。下面就談?wù)劰P者在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法思考。

1.在概念引入過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可以分為兩種基本形式：一是概念形成;二是概念同化。

概念形成是從外部的、比較具體的非本質(zhì)特征到內(nèi)部的、比較抽象的本質(zhì)特征的不斷深化的過程。到邏輯定義階段，概念才最終形成。所以，我們通常在教學(xué)中會從大量的具體例子出發(fā)，讓學(xué)生從實際經(jīng)驗的肯定例證，歸納方法中概括出一類事物的本質(zhì)屬性，在此過程中可以適時滲透數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在講解一元二次方程概念時，先給出已經(jīng)得出的一些具體的方程，分析其特征，抽象出一般形式ax+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）。為了進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和明確概念的外延，需要再舉出概念的否定例證和肯定例證，包括各種“變式”，如：x-x-6+0，x=0，3x-4=0，x+y=5，2x-x=0，-3=0等。這個過程就是從特殊到一般，再由一般到具體的思想的體現(xiàn)。教師也可以適時介紹歸納思想。在給出的各種變式中，毫無疑問會有各種需要化簡整理之后變成一般形式的一元二次方程，這就是我們通常所講的“化歸思想”。

概念同化是指用定義的方式直接向?qū)W習(xí)者呈現(xiàn)一類事物的關(guān)鍵特征，學(xué)習(xí)者利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用，以領(lǐng)會新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念的方式。在同化新概念時，往往伴隨著某些數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

例如，在講解反比例函數(shù)時，直接給出定義，并與“正比例函數(shù)定義”進(jìn)行類比，將兩者的一般形式、圖像及其性質(zhì)都可以一一做比較。在這里使用類比的思想可以更好地突破難點，使學(xué)生更容易且更深刻地理解新概念和舊概念，促進(jìn)學(xué)生概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，反之也有利于學(xué)生接受這些重要的數(shù)學(xué)思想方法。

2.在定理學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)中有大量定理需要學(xué)生掌握，很多教師并不注重定理的獲得過程，而只是單方向地強(qiáng)調(diào)定理的使用，這顯然讓學(xué)生失去了很多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的機(jī)會，應(yīng)該加深學(xué)生對定理的由來與定理的論證學(xué)習(xí)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書上的結(jié)論?！笨梢哉f定理是壓縮了的知識鏈，教學(xué)中應(yīng)該遵循“過程教學(xué)原則”，我們應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生感受、體驗，弄清知識的來龍去脈，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，教師也應(yīng)該利用這個機(jī)會采用適當(dāng)?shù)姆绞綕B透數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在講解勾股定理時，可以用邊長為3、4、5的直角三角形引入新課內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生猜想勾股定理的內(nèi)容，再通過多種方式證明定理，其中涉及公理化思想、轉(zhuǎn)化思想、割補(bǔ)轉(zhuǎn)換思想方法等。然后，適時利用多媒體展示勾股定理的文化價值，如：中國古代的陳子定理、趙爽的代數(shù)方法證明、華羅庚等建議采用勾股定理的名稱、古希臘《幾何原本》中的證明、2002年國際數(shù)學(xué)大會的會標(biāo)、和外星人通訊使用的圖案等。這些數(shù)學(xué)文化的欣賞可以極大地提高學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)史的理解。數(shù)學(xué)文化的欣賞，是數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分。通過對數(shù)學(xué)文化的欣賞能揭示數(shù)學(xué)思想的本源及數(shù)學(xué)生長的社會背景，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

3.在問題解決學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生離不開解題，數(shù)學(xué)教師離不開指導(dǎo)學(xué)生怎樣解決問題，解題教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的組成部分。但是加強(qiáng)解題教學(xué)，不是搞題型訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)。要想避免題海戰(zhàn)，一方面，需要我們在解題的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納方法，并將之上升到思想的高度。另一方面，在解題活動中，應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)意義，加快和優(yōu)化問題解決的過程，突出數(shù)學(xué)思想方法對解題的統(tǒng)攝和指導(dǎo)作用。用“不變”的數(shù)學(xué)思想方法解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)問題，這樣才可以達(dá)到會一題而明一路、明一路而通一類的效果，打破“一把鑰匙只開一把鎖”的個別處理模式，進(jìn)而將學(xué)生從浩瀚的題海中解放出來。

例如，在講解一元二次方程的應(yīng)用一課時，有這樣一道例題：“某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，椐市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克;銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，要使月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？”經(jīng)過分析利潤、成本及銷售量之間的關(guān)系后，學(xué)生基本能列出一元二次方程解決這道題，但是在碰到下面兩道題目的時候，學(xué)生就又犯難了。題目1：某商場禮品柜臺購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可銷售500張，每張盈利0.3元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)拇胧?。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天多售出300張。商場要想平均每天盈利160元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？題目2：某商店進(jìn)了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件;如果每件提價5元出售，其銷售量就將減少100件。如果商店銷售這批服裝要獲利潤12000元，那么這種服裝售價應(yīng)定為多少元？該商店應(yīng)進(jìn)這種服裝多少件？這兩題分別難在這兩句話上：“每降低0.1元，那么商場平均每天多售出300張”和“每件提價5元出售，其銷售量就將減少100件”。學(xué)生覺得列代數(shù)式的時候一會乘一會除，暈乎乎的。有的老師也覺得題目一直在變，遇見一道再講解一道，其實完全不必如此。初中數(shù)學(xué)中最常用的轉(zhuǎn)化化歸思想在這里滲透就很有必要。我們應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生將這兩句話轉(zhuǎn)化為我們已會的形式，如“每降低0.1元那么商場平均每天多售出300張”等價于“每降低1元那么商場平均每天多售出3000張”，同樣“每件提價5元出售其銷售量就將減少100件”等價于“每件提價1元出售其銷售量就將減少20件”。教會學(xué)生將問題這樣一轉(zhuǎn)化，相信學(xué)生以后再遇到類似題目的時候就能主動運(yùn)用化歸思想，輕松解決這類問題。

再如，很多學(xué)生愛玩的“一筆畫”智力游戲其實就和數(shù)學(xué)上經(jīng)典的“七橋問題”一樣，這是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)的好例子。學(xué)生反復(fù)嘗試，有成功也有失敗。圖形是變化無窮的，而我們無需掌握所有的圖形。就像“七橋問題”那樣抽象出基本要素，我們先探索簡單圖形的規(guī)律，然后再用較復(fù)雜的圖形驗證。這個過程需要學(xué)生自己觀察、猜想、歸納、驗證和使用。我們只需了解：凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以將任一偶點作為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖;凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點則是終點;其他情況的圖都不能一筆畫出。掌握了基本的數(shù)學(xué)思想方法，我們就可以以不變應(yīng)萬變了。

在解題教學(xué)中，還應(yīng)適時采用一題多解、多題一解的教學(xué)方法，將蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法明確化，使學(xué)生掌握其中規(guī)律，進(jìn)而使學(xué)生的能力得到提高。

4.在基本技能訓(xùn)練中滲透數(shù)學(xué)思想方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一些基本技能的訓(xùn)練是必不可少的，思想方法的指導(dǎo)不僅有利于學(xué)生熟練解決各種問題，更能引導(dǎo)他們從教師指導(dǎo)的各種方法中“悟”出其一般性，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會解決一個問題過渡到解決一類問題，進(jìn)而理解解題方法的實質(zhì)，也就是我們的目的——滲透數(shù)學(xué)思想。

基本技能訓(xùn)練主要是針對一些基礎(chǔ)的知識和技能的練習(xí)，其主要目的是幫助學(xué)生鞏固舊知。在練習(xí)課和復(fù)習(xí)課中，很多教師把基礎(chǔ)練習(xí)只作為引入的部分，而把“滲透”的重點放在后面的題組上，這樣做無疑降低了基礎(chǔ)練習(xí)的功能?；A(chǔ)練習(xí)除了回顧舊知外，還應(yīng)該激發(fā)學(xué)生思維，為數(shù)學(xué)思想方法的“滲透”進(jìn)行預(yù)設(shè)。

例如，在講解因式分解一課時，需要訓(xùn)練學(xué)生將代數(shù)式進(jìn)行“和差化積”的基本技能。這項技能很難引入“實際情景”加以詮釋，也沒有方法在一開始就闡明因式分解的意義和價值（往往到一元二次方程求解時才顯出其作用），完全是為以后的代數(shù)方程的求解做準(zhǔn)備的。但是，如何進(jìn)行因式分解，則與數(shù)學(xué)思想方法緊密相關(guān)。李庾南老師設(shè)計了3個嘗試題：（1）ab+ab，（2）x-4，（3）m-m+。讓學(xué)生嘗試將這些具體的代數(shù)式設(shè)法進(jìn)行“和差化積”。學(xué)生可能成功也可能失敗。于是李庾南教師進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)：我們能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”運(yùn)用平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？經(jīng)過點撥，學(xué)生恍然大悟，將這3個嘗試題中的多項式化成了兩個單項式的相乘。有了“公式和規(guī)律”逆向使用的基本數(shù)學(xué)方法作為指導(dǎo)，因式分解的本質(zhì)就顯得十分簡單了。以后的任務(wù)便是大量地變式練習(xí)、學(xué)習(xí)技巧，形成熟練的因式分解運(yùn)算能力。因式分解模塊，技能訓(xùn)練為主，點睛之筆是“逆向思維”方法，在課堂上只有幾分鐘，意義非凡。

實踐證明，要使學(xué)生提高解題技能，讓學(xué)生掌握一定的指導(dǎo)解題的思想方法是非常必要的。

5.在實踐活動過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法不僅是在探索推演中形成的，還需要在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累基礎(chǔ)上形成。因為數(shù)學(xué)源于生活，而生活中處處有數(shù)學(xué)，我們必須結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識，設(shè)計合理的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生在生活實例中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系?！缎抡n標(biāo)》就專門設(shè)計了“綜合與實踐活動”的課程內(nèi)容，有了多種形式的數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)才能避免空洞的說教。在設(shè)計實踐活動時，教師要引導(dǎo)學(xué)生在知識的發(fā)生發(fā)展過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并將之應(yīng)用到實踐中，逐步達(dá)到自覺熟練的程度，以此提高自己的數(shù)學(xué)能力。

6.在階段復(fù)習(xí)的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

復(fù)習(xí)課需要整體梳理基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生了解知識系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成。只有讓學(xué)生建立了自己的知識網(wǎng)絡(luò)體統(tǒng)，吸收新知識的時候才能更迅速、有效。數(shù)學(xué)思想方法正是知識間相互聯(lián)系、相互溝通中的紐帶，可幫助學(xué)生合理構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)。反之，在梳理知識的同時，引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)思想方法的作用進(jìn)行歸納、整理和提高，能促使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而達(dá)到系統(tǒng)掌握的目標(biāo)。

例如，在進(jìn)行初三總復(fù)習(xí)時，可以有目的地開設(shè)數(shù)學(xué)思想方法的專題復(fù)習(xí)講座，以初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸）為主線，把中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識有機(jī)串聯(lián)起來，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科中的支撐和統(tǒng)帥作用，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

7.通過考試檢測數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)效果

考試對教學(xué)有引導(dǎo)的作用。近幾年的高考和中考都將數(shù)學(xué)思想方法列入考核的范圍，可見數(shù)學(xué)思想方法的掌握越來越受到重視，所以我們平時在考試時也要考慮到對數(shù)學(xué)思想方法的檢測。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中。因此，對數(shù)學(xué)思想方法的考查需要和數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合起來，通過學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、掌握和應(yīng)用的狀況了解考生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握的程度和水平?？疾闀r，要從學(xué)科整體意義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。根據(jù)這一思路，我們關(guān)鍵是要做好考試題目的設(shè)計、搭配，考卷的批改和講評。

總之，要想貫徹數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，我們首先要把握教材的全部內(nèi)容及蘊(yùn)含在其中的基本數(shù)學(xué)思想方法，同時要事先考慮，在哪些知識點、哪些環(huán)節(jié)可以運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)思想方法，以及哪個重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些知識點中進(jìn)行滲透。這樣才能有計劃、有步驟地將滲透數(shù)學(xué)思想方法的策略落到實處。

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