柳荷紅

摘 ? ?要： 數(shù)學課堂是由無數(shù)個教與學的環(huán)節(jié)共同組成的，只有優(yōu)化每個環(huán)節(jié)，才能打造優(yōu)質的數(shù)學課堂.本文以課題《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》的教學設計為例，談談如何優(yōu)化教學的幾個核心環(huán)節(jié)——教學思路、教學情境、數(shù)學問題、數(shù)學例題.

關鍵詞： 教學環(huán)節(jié) ? ?優(yōu)質課堂 ? ?有效教學

有效教學是對教學的基本要求，優(yōu)質教學是追求的目標.在一定程度上，數(shù)學課堂是由無數(shù)個教與學的環(huán)節(jié)共同組成的，只有優(yōu)化每個環(huán)節(jié)，才能打造優(yōu)質的數(shù)學課堂.近日筆者參加了市中小學教學大比武，課的內容是人教版必修53.3.1《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》，為此對幾個核心的教學環(huán)節(jié)進行反復打磨、優(yōu)化，獲得了意想不到的教學效果.

1.優(yōu)化教學思路，提煉核心主線

李善良博士提出數(shù)學課堂教學必須“理清核心主線，優(yōu)化教學過程”.一堂有效的數(shù)學課，應該有一條主線把教師、學生雙方的理解和學習清晰地串起來，對于教師依照設計好的主線，能輕松駕馭課堂;對于學生順著主線，能清晰主動構建課堂教學所要達到的教學目標.

本節(jié)課是一節(jié)概念生成課，此概念來源于生活，有極其豐富的實際背景，要想深刻理解，達到教學目標，就必須設計好核心主線.筆者根據(jù)新課程理念，“教師為主導、學生為主體、探究為主線”的教學思想，提煉了教學核心主線：問題情境—提出問題—學生活動—意義構建—數(shù)學理論—數(shù)學應用—問題獲解—反思提升.實際教學效果表明，這是一條行之有效的核心主線.

2.優(yōu)化教學情境，提高課堂效率

課堂教學中，情境是一切認知活動的開始，教師有目的地引入或創(chuàng)設生動具體的情境，給學生架起探究的橋梁和引導學生尋求解決問題的正確途徑，新穎有力的情景可以提高學習的主動性，形成教師主導作用和學生主體作用完美結合的課堂，使學生的智力、能力得到全面發(fā)展.本節(jié)內容有豐富的生活背景，適合創(chuàng)設生活問題情境.這節(jié)課的情境創(chuàng)設主要有兩種設想：

情境一設想：銀行信貸資金分配問題（教科書提供的案例）.

情境二設想：某農戶今年預計投入不超過6萬元資金種植西瓜和葡萄，已知它們的種植成本分別為每畝2萬元和1.5萬元，他計劃投入西瓜種植的資金不低于葡萄種植的2倍，且兩者的種植面積都不低于1畝，那么該農戶應如何分配資金？

[設計意圖]本節(jié)課教材通過銀行信貸資金分配問題，抽象出二元一次不等式（組）教學模型，引出二元一次不等式（組）的相關概念.這樣編寫的目的是使學生經(jīng)歷從實際問題中得到二元一次不等式（組）這一數(shù)學模型的抽象過程，了解二元一次不等式（組）這一數(shù)學模型產生的實際背景，體驗數(shù)學問題是客觀存在的，是從實際問題中產生的.但從此數(shù)學情境中得到二元一次不等式（組）的數(shù)學模型不但數(shù)據(jù)過于復雜，而且后續(xù)的探究和講解中都沒用到，大大降低了課堂教學效率.南京大學鄭毓信教授指出：“情境設置不應僅僅起到‘敲門磚’的作用，還應當在課堂的進一步開展中自始至終發(fā)揮重要的向導作用.”由此筆者就從家鄉(xiāng)的特產：西瓜和葡萄的種植過程中，農戶的資金分配問題這一情境，抽象出二元一次不等式（組）教學模型，接著就圍繞這一模型先引出二元一次不等式（組）的相關概念，而后探究得出二元一次不等式Ax+By+C>0的解集所表示的圖形，最后利用所學的知識解決情境中提出的資金分配問題.對比兩種設想，第二種更接近生活，比較簡約、經(jīng)濟、實用，更能激發(fā)學生的學習興趣.

3.優(yōu)化數(shù)學問題，探究建構概念

新課程提倡讓學生通過自主參與學習活動，獲得親身體驗，逐步形成樂于探究、勤于動手的積極態(tài)度.為了能夠有效開展探究活動，本課就圍繞教學主線，根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”設置了層層遞進的問題串，通過問題驅動，啟迪和訓練學生的思維，理性構建數(shù)學模型，形成數(shù)學概念.

問題串1：

師：這個問題中存在一些不等關系，我們應該用什么不等式模型刻畫它們呢？

生：設西瓜種植面積為x畝，葡萄種植面積為y畝，則4x+3y≤122x≥3yx≥1y≥1.

師：我們該如何稱呼不等式4x+3y≤12？

生（幾乎齊聲）：二元一次不等式.

師：二元一次不等式有什么特征？

生：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1.

投影顯示：我們把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式.

師：我們又該如何稱呼不等式4x+3y≤122x≥3y？

生：二元一次不等式組.

投影幕顯示：我們把由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.

二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成的有序數(shù)對（x，y）構成的集合.

有序數(shù)對（x，y）→平面直角坐標系內的點.

【設計意圖】以西瓜和葡萄種植過程中的資金分配為切入口，學生的前概念為突破口，引發(fā)學生思維，得到二元一次不等式（組）的相關概念.此組問題的設置可以使學生自覺運用已有的認知，不斷同化新知識，從而達到調整、擴充和優(yōu)化原有的認知結構，建立新的認知結構的目的.

問題串2：

在平面直角坐標系內，二元一次不等式的解集表示的圖形？

師：方程x-2=0的解集為？搖？搖 ?？搖？搖，如何在數(shù)軸上表示？

生：一元一次方程的解集所表示的圖形是數(shù)軸上的一點.

師：不等式組x+3>0x-4<0的解集為？搖？搖 ?？搖？搖.

生：一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形是數(shù)軸上的區(qū)間.

師：在平面直角坐標系內，二元一次方程的解集所表示的圖形？

如二元一次方程4x+3y=12的解集所表示的圖形？

生：直線4x+3y=12上的所有點組成的集合.

師：4x+3y≠12呢？

生：不在直線4x+3y=12上的所有點組成的集合.

師（追問）：4x+3y>12呢？

生：直線4x+3y=12右上方的所有點組成的集合.

師：為什么？

生：我取了點（2，2）和點（4，1），它們都是不等式4x+3y>12的解，而且都在直線4x+3y=12的右上方.

師：這只是我們的直觀感知，能否用數(shù)學方法加以證明？

師（追問）：能否將上面的結論推廣到一般情形？

師：在直角坐標系中，以二元一次不等式4x+3y>12的解為坐標的點都在直線的右上方;反過來，直線4x+3y=12右上方點的坐標都滿足不等式4x+3y>12.因此，在直角坐標系中不等式4x+3y>12表示直線4x+3y=12右上方的平面區(qū)域.二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域是什么？

生：表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.

師（補充）：我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線.如何快速準確地確定區(qū)域？

生：對于直線Ax+By+C=0同一側的所有點，把它的坐標（x，y）代入Ax+By+C=0，所得符號相同，因此只需在直線同側取某個特殊點檢測即可.

【設計意圖】由一元一次方程和一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形得到二元一次方程和二元一次不等式（組）的解集所表示的圖形，體現(xiàn)了類比的思想方法;由不等式4x+3y>12表示的平面區(qū)域推廣到一般的二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法.此組問題的設計由淺入深，層層遞進，讓學生經(jīng)歷了對核心概念的發(fā)現(xiàn)、揭示、概括和理解的過程，體驗了數(shù)學的理性精神.

4.優(yōu)化數(shù)學例題，實現(xiàn)教材再創(chuàng)造

著名的數(shù)學教育家費賴登塔爾認為，將數(shù)學作為一種活動來解釋和分析，學習數(shù)學的唯一正確的方法是讓學生進行“再創(chuàng)造”.教師要科學地把握學生的認知規(guī)律，合理地對教材進行“再創(chuàng)造”，讓學生通過創(chuàng)造數(shù)學學習數(shù)學.因此教師在例題教學中不能只停留在“就題解題”上，而應挖掘顯現(xiàn)概念的內涵及其外延，展示“普通”題目背后的“精彩”，讓學生在課堂上享受探究的快樂，真正實現(xiàn)對概念意義的建構.

例1：（1）畫出不等式4x+3y≤12表示的平面區(qū)域;

（2）畫出不等式2x≥3y表示的平面區(qū)域.

例2：用平面區(qū)域表示不等式組4x+3y≤122x≥3y的解集.

練習1：用平面區(qū)域表示情境中不等式組4x+3y≤122x≥3yx≥1y≥1的解集.

【設計意圖】此題組設計的作用：①歸納出作平面區(qū)域的12字方針：“直線定界、取點定域、虛實分明”;②教師利用三角板規(guī)范地作出平面區(qū)域，起到了很好的示范作用.

例3：已知如圖所示平面區(qū)域，請寫出其所表示的不等式（組）.

（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

（3）

練習2：已知如下所示平面區(qū)域圖形，請你寫出其所表示的不等式（組）.

【設計意圖】例3及練習2的設計意圖是培養(yǎng)學生的逆向思維，題目的呈現(xiàn)由易到難，層層推進，思維得以升華.在例3的教學中采用多媒體技術，充分展示了數(shù)學美，激發(fā)了學生的求知欲望.

拓展提升：畫出（x+2y-1）（x-y+3）>0表示的平面區(qū)域.

【設計意圖】通過“拓展提升”的“潛在距離”的控制，當變異控制在學生的“最近發(fā)展區(qū)”時，變異會引起學生的注意，從而產生觀察、比較、聯(lián)想等一系列思維活動，有利于學生的“再創(chuàng)造”和對知識進行正遷移.

課后探究：在練習1中我們作出了情境中不等式組所表示的平面區(qū)域，從中得知分配資金的方式有多種，如果你是農戶該怎么分配資金？

【設計意圖】課后探究的設計體現(xiàn)了教學的有始有終，讓學生真正體會到數(shù)學來源于生活，用之于生活，不但激發(fā)了學生的求知欲，更有效地完善了學生的經(jīng)驗系統(tǒng)，提升了學生知識網(wǎng)絡建構的水平.

5.結語

在新課程標準下，數(shù)學課上不能僅是傳授知識和解題技能，而應盡可能地為學生創(chuàng)設情境，讓學生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識.同時要改變教學方法和策略，優(yōu)化教學核心環(huán)節(jié)，力求打造優(yōu)質的數(shù)學課堂.

參考文獻：

[1]人民教育出版社.普通高中課程標準實驗教科書A版教師教學用書.數(shù)學5（必修）.

[2]夏志輝.打磨核心教學細節(jié).追求高效數(shù)學課堂.中學數(shù)學，2013.6.