王家強(qiáng)

摘 要 數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，它把許多客觀問題由繁瑣變?yōu)楹?jiǎn)單易懂，使人們便于采用一些定量的方法去解決生活中遇到的一些實(shí)際問題。在實(shí)際操作中還有許多問題，但同時(shí)又能看到其對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，本文主要針對(duì)這些問題進(jìn)行了初步探索，并提出了關(guān)于數(shù)學(xué)建模的一些教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)應(yīng)用 能力培養(yǎng) 數(shù)值計(jì)算 自主學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G424 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.09.052

On Independent College Mathematical Modeling

Teaching Content and Methods

WANG Jiaqiang

（College of Humanities & Information， Changchun University of Technology， Changchun， Jilin 130000）

Abstract Mathematical modeling is the mathematical and practical problems contact bridge， which put a lot of problems caused by cumbersome objective becomes easy to understand， easy to make people use some quantitative methods to solve some practical problems encountered in daily life. In practice， there are many problems， but at the same time can see its cultivation of students' ability to solve these problems this paper a preliminary exploration， and made a number of teaching content and teaching methods on mathematical modeling.

Key words mathematics application; ability training; numerical methods; autonomous learning

什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)中所學(xué)到的知識(shí)與實(shí)際問題相聯(lián)系的工具，是具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它把一些實(shí)際問題經(jīng)過處理轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，然后利用平時(shí)所學(xué)的數(shù)學(xué)方法求解，根據(jù)求解的結(jié)果回到原問題，對(duì)原問題進(jìn)行一些定性、定量分析和研究以及推廣，最終解決實(shí)際問題。換句話說，數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法解決實(shí)際問題。

當(dāng)根據(jù)實(shí)際問題建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們仿佛進(jìn)入了抽象的數(shù)學(xué)世界。在數(shù)學(xué)世界內(nèi)，我們用所學(xué)的相應(yīng)數(shù)學(xué)方法對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、推導(dǎo)，同時(shí)可以借助計(jì)算機(jī)求解這個(gè)模型，從而得到數(shù)學(xué)上的結(jié)論。然后我們?cè)倩氐綄?shí)際，將剛才數(shù)學(xué)上的結(jié)論對(duì)應(yīng)為實(shí)際問題的實(shí)際結(jié)論，例如給出實(shí)際問題的處理方法、未來的發(fā)展?fàn)顩r等。同時(shí)這些結(jié)論還必須經(jīng)得起實(shí)際的檢驗(yàn)，即用已發(fā)生的實(shí)際問題的一些數(shù)據(jù)信息檢驗(yàn)，確認(rèn)結(jié)論的正確性。

從2009年至今參加了六屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在實(shí)際操作上還有很多問題：

（1）常見的數(shù)學(xué)問題十分嚴(yán)謹(jǐn)，所給的條件一般都是不多不少、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，最后所得的結(jié)論是唯一的。而數(shù)學(xué)建模問題幾乎都是實(shí)際生活中遇到的實(shí)際問題，問題背景復(fù)雜，條件多，況且對(duì)于實(shí)際生活中的許多實(shí)際問題，結(jié)論并不唯一，例如一些決策問題。

（2）常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用題原始問題數(shù)學(xué)化的過程簡(jiǎn)單明了，不需要大量的數(shù)據(jù)計(jì)算。而數(shù)學(xué)建模問題需要對(duì)原始問題進(jìn)行合理的分析和假設(shè)、利用數(shù)學(xué)工具和方法將其加工成抽象的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生還要在仔細(xì)研讀問題材料的同時(shí)，必須進(jìn)行緊張的思維活動(dòng)，分析大量數(shù)據(jù)，找出規(guī)律，合理地簡(jiǎn)化問題。學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中普遍感到問題繁瑣，無從下手，考慮不周全，不知道用什么方法解答問題，對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力也比較差，缺少數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

（3）常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用題所得到的結(jié)論很少需要學(xué)生思考是否和實(shí)際相符、是否其中的一些已知條件需要進(jìn)一步調(diào)整和修改，進(jìn)而結(jié)論也要相應(yīng)地修改。而數(shù)學(xué)建模問題必須要有做完的已知模型的驗(yàn)證，不符的地方要再分析，然后修改之前的一些假設(shè)，再重新求解的循環(huán)往復(fù)過程，直到與實(shí)際基本相符為止。

（4）常見的數(shù)學(xué)問題要求學(xué)生獨(dú)立完成，不鼓勵(lì)與他人一起做。而數(shù)學(xué)建模問題要求學(xué)生有團(tuán)隊(duì)精神，集體參與交流，各抒己見，擴(kuò)展思路。

上述問題在從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課教學(xué)中都長(zhǎng)期存在，造成數(shù)學(xué)與實(shí)際脫離，給大多數(shù)學(xué)生留下“數(shù)學(xué)抽象繁瑣不易懂”的印象，部分學(xué)生還對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼心理，產(chǎn)生一種外在壓力。與此同時(shí)我們又看到數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)：

（1）提高了學(xué)生的文章寫作能力，參考文獻(xiàn)檢索能力。文章寫作能力作為當(dāng)代學(xué)生的一種重要實(shí)踐能力，在大學(xué)生今后的生活中經(jīng)常會(huì)用到，例如寫畢業(yè)論文。參考文獻(xiàn)檢索能力是大學(xué)生今后能自主學(xué)習(xí)的必備技能之一，在今后的工作中經(jīng)常要用到。很多用人單位希望招聘的學(xué)生具有一定的文章寫作和組織能力。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽要求學(xué)生3人一組在72小時(shí)內(nèi)提交一篇頗具規(guī)模且格式規(guī)范的學(xué)術(shù)論文，其中需要學(xué)生將分析假設(shè)、方法思路敘述清晰完整，競(jìng)賽過后，學(xué)生的寫作論文能力都會(huì)有相應(yīng)的提高。另外由于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的問題所涉及知識(shí)非常廣泛，有些甚至指導(dǎo)老師都沒有接觸過，故不可能指望教師一一講解，遇到新的待解決問題學(xué)生只有通過臨時(shí)上網(wǎng)查閱資料或參考文獻(xiàn)，獲得解決問題相應(yīng)的知識(shí)，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，競(jìng)賽過后，學(xué)生在大量資料中迅速找到自己所需資料的能力也會(huì)有相應(yīng)的提高。

（2）提高了學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)建模問題多數(shù)都是非常復(fù)雜的，有些問題例如微分方程根本求不了解析解，所以人工求解幾乎不可能，因此計(jì)算機(jī)的應(yīng)用變得非常重要，例如微分方程可以利用計(jì)算機(jī)做出近似的數(shù)值解，這樣就對(duì)學(xué)生的計(jì)算機(jī)能力提出了更高的要求。有時(shí)題目所給的數(shù)據(jù)不是常見的整數(shù)值（一般都是小數(shù)點(diǎn)后保留3到4位）且數(shù)據(jù)也比較多，進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算例如求平均值都很難操作，所以如Matlab、Lindo、Word、spss、Photoshop等軟件對(duì)解決建模問題是必要的。整個(gè)建模過程下來，學(xué)生都普遍感到自己的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力得到了極大的提高。

（3）培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神。全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的問題是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)工程，單靠一個(gè)人的力量是不夠的。因此學(xué)生們以3人一組合力解決數(shù)學(xué)建模問題，各成員之間各自表達(dá)自己的意見和建議，相互討論，最后達(dá)成統(tǒng)一，這個(gè)過程中容易形成自主的學(xué)習(xí)氣氛，這種氛圍會(huì)吸引學(xué)生積極參與其中。為了完成相同的目標(biāo)，在團(tuán)隊(duì)中每個(gè)人各司其職，學(xué)生明確自己在團(tuán)隊(duì)中的角色，他們的領(lǐng)導(dǎo)能力、協(xié)調(diào)能力等可以充分發(fā)揮出來，其表現(xiàn)欲會(huì)得到極大的調(diào)動(dòng)。數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。小組成員在整個(gè)建模過程中，鍛煉了與他人溝通、合作的能力，同時(shí)也鍛煉了在發(fā)生意見分歧的時(shí)候如何協(xié)調(diào)的能力，這在學(xué)生今后的工作中也會(huì)經(jīng)常遇到，這些都是常規(guī)數(shù)學(xué)課中鍛煉不到的能力。

因此數(shù)學(xué)建模的教學(xué)對(duì)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的獨(dú)立學(xué)院來說是非常有必要的，但教學(xué)中必須與以往的數(shù)學(xué)教學(xué)區(qū)分開來。因此，開設(shè)數(shù)學(xué)建模課應(yīng)做到以下幾方面：

（1）注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)中相關(guān)概念實(shí)際背景介紹，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。高等數(shù)學(xué)課程中的一些常見概念例如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等，其實(shí)都是從實(shí)際生活中遇到的問題中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。但是教師授課時(shí)往往只注重理論敘述，忽略了來源。因此，教師在講授新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)當(dāng)涉及有關(guān)概念時(shí)，應(yīng)盡量找一些和概念相關(guān)的實(shí)際問題或是學(xué)生熟悉的日常生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生自主解決這些問題，通過這些書本上沒有寫出的例子，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)課本里的基本概念不是硬性規(guī)定的，而是與實(shí)際生活息息相關(guān)的。例如介紹導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，我們可以找一些物理中的瞬時(shí)速度、加速度實(shí)例、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中邊際問題等。通過實(shí)例，在常規(guī)教學(xué)中就向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模的思維方法，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有一定的了解。

（2）要突出數(shù)學(xué)應(yīng)用，教師在建模教學(xué)中要多收集實(shí)際生活中的素材，為課堂教學(xué)服務(wù)。如提出一個(gè)生活中案例：女人穿高跟鞋真的會(huì)讓人覺得更美嗎？試從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行理論上的客觀分析。學(xué)生會(huì)感到很奇怪：這跟數(shù)學(xué)也有關(guān)？他們會(huì)精神集中，默默思考，同樣習(xí)慣地等待著老師的答案。其實(shí)這個(gè)問題涉及到數(shù)學(xué)中的黃金分割概念。在人的身上，當(dāng)然肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即由腳底至肚臍的長(zhǎng)度與身高比值愈接近0.618，就愈給別人一種美的感覺，很可惜，一般人都低于此數(shù)值，大約只有0.58至0.60（腿長(zhǎng)的人會(huì)有較高的比值），所以通過一個(gè)簡(jiǎn)單的比例計(jì)算便可得出想要的結(jié)論。

（3）根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)，選擇不同類型的數(shù)學(xué)建模問題進(jìn)行訓(xùn)練，這樣也可以提高學(xué)生在其專業(yè)領(lǐng)域的能力。如工科類專業(yè)的學(xué)生可以多訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)線性回歸、曲線擬合等問題;經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生可以多訓(xùn)練風(fēng)險(xiǎn)決策、利潤(rùn)和成本問題等問題;制藥專業(yè)的學(xué)生可以選擇來自化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等方面的問題。這樣充分利用學(xué)生所學(xué)的專業(yè)知識(shí)，使得數(shù)學(xué)真正融入專業(yè)，為專業(yè)所用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的熱情。

（4）加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，多進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。因?yàn)閱栴}的數(shù)據(jù)量往往很大并且非常復(fù)雜，沒有計(jì)算機(jī)很難實(shí)現(xiàn)，即使有計(jì)算機(jī)也需要很長(zhǎng)時(shí)間的操作才能完成。而數(shù)值計(jì)算又是數(shù)學(xué)建模中至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，因此要重視這方面的能力培養(yǎng)。matlab和excel都是很好的數(shù)值計(jì)算工具，教師應(yīng)多選擇這樣的問題，讓學(xué)生利用上述工具動(dòng)手計(jì)算，提高熟練度，從而達(dá)到提高計(jì)算效率的目的。

（5）數(shù)學(xué)建模課應(yīng)采取教師為指導(dǎo)，學(xué)生為主體的模式。教師的講只占一小部分，然后提出幾個(gè)具體問題，在限定時(shí)間和允許查資料的情況下讓學(xué)生分組討論，提出解題思路，然后由學(xué)生自己操作，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得出結(jié)論，教師負(fù)責(zé)檢查方法的合理性并提出改進(jìn)意見。要鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)，開拓思路，不過分依賴教師，以小組為單位獨(dú)立完成，這樣使得學(xué)生能夠通過自主學(xué)習(xí)解決實(shí)際問題。

數(shù)學(xué)建模與常規(guī)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相比有其先進(jìn)性，它使學(xué)生變?yōu)橹黧w，教師為學(xué)生服務(wù)，為學(xué)生創(chuàng)造出自主學(xué)習(xí)的空間，使學(xué)生將數(shù)學(xué)真正與實(shí)際生活聯(lián)系到一起，體現(xiàn)其在解決實(shí)際問題中的作用，同時(shí)也能使學(xué)生了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)為其他學(xué)科服務(wù)的價(jià)值，在獨(dú)立學(xué)院培養(yǎng)應(yīng)用型人才的過程中，數(shù)學(xué)課應(yīng)該擺脫普通本科的束縛，扮演新的角色，所以數(shù)學(xué)建模必不可少。數(shù)學(xué)建模使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的真正來源以及用法，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力，促使學(xué)生在今后的生活工作中繼續(xù)學(xué)習(xí)。