朱允洲

【摘 要】在解題教學(xué)中，應(yīng)著力挖掘每道例題的教育教學(xué)價值。通過引導(dǎo)學(xué)生積極參與解題的過程，探究解法的多樣性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的重要性，提高他們對知識的靈活運(yùn)用能力，完善其解題的思維模式與習(xí)慣，從而有效地提升解題教學(xué)的效率。

【關(guān)鍵詞】一題多解;數(shù)學(xué)概念;主體參與

題目：在等比數(shù)列{an}中，設(shè)公比為q，前n項(xiàng)的和為Sn，若已知2S5，S10，S20-S10成等比數(shù)列，那么S5，S15，S10是否成等差數(shù)列？請說明理由。

1.課堂實(shí)錄片段

師：誰來說說自己的想法？

生1：S10=S5（1+q5），S20-S10=S5（1+q5）q10，因2S5，S10，S20-S10成等比數(shù)列，故，化簡得q10=（1+q5），所以q=1或q5=-，又S5+S10-2S15=S5（2+q5）-2S5（1+q5+q10）=-S5q5（1+2q5）（*），當(dāng)q=1時，S5，S15，S10不成等差數(shù)列;當(dāng)q5=-時，S5，S15，S10成等差數(shù)列。

師：生1的求解過程主要借助什么？

生2：等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和的性質(zhì)：Sm+n=Sm+Sn·qm。

師：嗯，學(xué)以致用，很好！對此題還有不同的解法嗎？

生3：直接用求和公式求解，當(dāng)q=1時，S5+S10-2S15=5a1+10a1-30a1=-15a1≠0，S5，S15，S10不成等差數(shù)列;

因2S5，S10，S20-S10成等比數(shù)列，故，化簡得q10=（1+q5），所以，當(dāng)q5=-時，由（*）式知S5，S13，S10成等差數(shù)列。

師：思路很好！運(yùn)用等比、等差數(shù)列的公式求解，這是通法，大家必須掌握！還有不同意見嗎？這兩位同學(xué)的解法有問題嗎？

生4：因2S5，S10，S20-S10成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義可知2S5≠0，S10≠0，S20-S10≠0，但當(dāng)q=-1時，S10=S20-S10=0，條件不成立了。

師：觀察得很仔細(xì)，說得非常好！生1與生3的最終結(jié)果都是正確的，但解題的過程都有瑕疵——忽略了等比數(shù)列定義的隱含條件，實(shí)際上，q≠-1是本題的隱含條件，在解題過程中對它應(yīng)進(jìn)行說明。還有更好的解法嗎？

生5：若S5，S15，S10是等差數(shù)列，則S5+S10-2S15=（a6+a7+…a10）-2（a6+a7+…a15）=-a6（1+q+…q4）（1+2q5）=0。因此只需要q5=-1/2。由2S5，S10，S20-S10成等比數(shù)列知：2S5·q10=S10=S5+S5q5，且q≠-1，所以2q10=1+q5，即當(dāng)q5=-1/2，S5，S15，S10是等差數(shù)列。

師：生5按探索性問題的思路求解，不錯！從以上討論中大家能得到什么結(jié)論？

生6：等比數(shù)列當(dāng)q=-1時，其前偶數(shù)項(xiàng)的和為零，否則前n項(xiàng)和不可能為零。

師：對！我們在處理等比數(shù)列問題時要注意它的隱含條件：每項(xiàng)均不為零，這也是等比數(shù)列與等差數(shù)列概念的最大區(qū)別，因此解題中要時刻注意等比數(shù)列的概念。

2.教學(xué)隨想

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！痹诮忸}教學(xué)中，我們除了訓(xùn)練學(xué)生對解題的思想方法、命題的性質(zhì)和一些公式、定理的運(yùn)用外，還應(yīng)對數(shù)學(xué)概念加以關(guān)注。本節(jié)課通過學(xué)生對此題探究過程，給予了我們一些啟示：首先，教學(xué)例題的選取應(yīng)具有典型性：入口寬，有多種解法，讓大多數(shù)學(xué)生都有思路，注重考查基礎(chǔ)知識、方法，有利于提升學(xué)生分析問題解決問題的能力。學(xué)生對本課例題的解法多樣，如生3用公式法是多數(shù)學(xué)生都會想到的方法，而生1運(yùn)用性質(zhì)又具有一定的靈活性，生5則采用逆推法更簡單，這些都體現(xiàn)了教學(xué)面向大多數(shù)學(xué)生的理念。其次，教學(xué)應(yīng)緊扣數(shù)學(xué)知識最根本的東西——概念，李邦河院士曾指出：“數(shù)學(xué)，在根本上是玩概念的，不是玩技巧?！北绢}大多數(shù)學(xué)生用了等差、等比數(shù)列的定義解決問題，但又忽略了等比數(shù)列定義的隱含條件，這提醒我們平時的教學(xué)對數(shù)學(xué)概念應(yīng)有足夠的認(rèn)識，不能照本宣科外加幾點(diǎn)注意，而應(yīng)創(chuàng)造適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)情境讓學(xué)生自己去體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、形成與運(yùn)用過程，讓學(xué)生在犯錯中重新認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，這樣才能對概念有本質(zhì)的理解。最后，課堂教學(xué)應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生真正地參與其中，調(diào)動學(xué)生探究的熱情，去親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與主動性。教師應(yīng)找準(zhǔn)自己的角色，不能“越位”，根據(jù)學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行引導(dǎo)與點(diǎn)評，讓學(xué)生在解題過程中經(jīng)歷曲折、獲取成功、找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，真正地落實(shí)以人為本的教育理念。

（作者單位：江蘇省徐州高等師范學(xué)校）