夏志勇??

不等式在高考試卷上“看似沒有，但處處皆有”，推理與證明更是數(shù)學(xué)高考的重要能力要求，對(duì)于這兩部分內(nèi)容同學(xué)們常常因?yàn)槔斫獠煌笍?，解題思路不嚴(yán)謹(jǐn)而致誤.細(xì)節(jié)決定成敗，忽視知識(shí)、方法的細(xì)微之處，想當(dāng)然地去考慮問題，把問題主觀化、簡(jiǎn)單化，必然導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生.下面我們分門別類，結(jié)合示例，剖析致錯(cuò)原因，讓同學(xué)們學(xué)會(huì)關(guān)注細(xì)節(jié)，增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性，笑對(duì)高考.

一、不等式易錯(cuò)點(diǎn)探究

運(yùn)用不等式知識(shí)解題時(shí)容易發(fā)生以下錯(cuò)誤：求范圍問題多次利用不等式后擴(kuò)大了變量的取值范圍；使用基本不等式求最值時(shí)，忽視了其前提“一正、二定、三相等”；連續(xù)使用基本不等式，忽視驗(yàn)證同時(shí)滿足任何一次的字母取值是否存在、是否一致；對(duì)使用基本不等式時(shí)等號(hào)取不到的情況，不能改變解題策略（例如借助函數(shù)y=x+mx（m>0）的單調(diào)性）.

.

二、推理與證明易錯(cuò)點(diǎn)剖析

從近幾年的高考來看，推理與證明這部分內(nèi)容主要考試題型有：1.利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論；2.將演繹推理與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題；3.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列知識(shí)為載體，考查分析法、綜合法、反證法.同學(xué)們?nèi)菀装l(fā)生的錯(cuò)誤有：

類型1 歸納不準(zhǔn)確

例8 如圖所示，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}（n∈N*）的前12項(xiàng)，如下表所示.

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12

x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6

按如此規(guī)律下去，則a2013+a2014+a2015= .

易錯(cuò)分析：本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)法則，歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系.可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種：一是歸納時(shí)找不準(zhǔn)“前幾項(xiàng)”的規(guī)律，胡亂猜測(cè)；二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系.

正解分析：本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，并且逐一遞增，即a2n=n（n∈N*），各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，正負(fù)交替后逐一遞增，并且滿足a4n-3+a4n-1=0（n∈N*），

正解：a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，…，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1，-1，2，-2，3，…，偶數(shù)項(xiàng)為1，2，3，…，故a2013+a2015=0，a2014=1007，故a2013+a2014+a2015=1007.

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng)，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法.

類型2 類比不得法

例9 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：1AD2=1AB2+1AC2，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由.

易錯(cuò)分析：沒有掌握類比的一般規(guī)律，不知道從平面如何過渡到空間，感覺無從下手，只能瞎寫一通.

其實(shí)由平面中的結(jié)論類比到空間，一般規(guī)律是：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三角形面積公式中的“二分之一”與三棱錐體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象.

正解：類比AB⊥AC，AD⊥BC，1AD2=1AB2+1AC2猜想：

四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，E為垂足，則1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.

證明：如圖，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交CD于F，

連結(jié)AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，

∴AB⊥平面ACD.

而AF平面ACD，∴AB⊥AF，

在Rt△ABF中，AE⊥BF，

∴1AE2=1AB2+1AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2=1AC2+1AD2.

∴1AE2=1AB2+1AC2+1AD2，故猜想正確.

探究提高：（1）類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.

（2）類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.

類型3 利用反證法時(shí)，不能作出正確的反設(shè)

例10 否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為 .

錯(cuò)解：自然數(shù)a，b，c中沒有偶數(shù).

錯(cuò)因分析：對(duì)“恰有”否定出錯(cuò).數(shù)學(xué)中“恰有”是指“有且只有”.自然數(shù)a，b，c中為偶數(shù)的情況為a，b，c全為偶數(shù)；a，b，c中有兩個(gè)數(shù)為偶數(shù)；a，b，c中恰有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)；a，b，c全為奇數(shù).所以反設(shè)應(yīng)為“a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”.

正確答案：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù).

類型4 分析法、綜合法運(yùn)用不到位

例11 已知函數(shù)f（x）=log2（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

易錯(cuò)分析：一是不會(huì)用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會(huì)用綜合法表述，從而導(dǎo)致解題格式不規(guī)范.

正解分析：（1）判斷兩式的大小關(guān)系，可用特例法；（2）用分析法探尋證題思路；（3）用綜合法完成證明.事實(shí)上，取a=1，b=2，c=4，則f（a）+f（c）=f（1）+f（4）=

探究提高：綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)，因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程.有時(shí)還要把分析和綜合結(jié)合起來交替使用，才能成功.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學(xué)）