朱玉祥

最近給學生講題，講了一道探究類的題目.該題的結(jié)構(gòu)是：先問題探究，給出兩個小問題讓學生解決；然后題鋒一轉(zhuǎn)，就進入問題解決，給出一個真正需要解決的問題.顯然，給出的問題一定和前面的兩個小問題相關(guān)，或是解決問題的方法相關(guān)，或是從小問題中獲得的結(jié)論相關(guān)，或是把前面小題的探究作為起點，遷移到新問題中繼續(xù)探究.筆者常把此類題目比喻成撐竿跳高，前面小題是熱身，是辨向，是起步，是助跑，而真正要解決的問題是放置在高處的橫竿，能不能躍過橫竿，先要看熱身、辨向、起步、助跑后一竿撐起的高度.高度有了，才有躍過橫竿的可能.所以，解決此類題，筆者告誡學生，一定要讓自己通過解決前面小題有一竿“撐”起來的感覺，然后抓住這個感覺向橫竿飛躍.當然，此類題如果小題設(shè)置得過于特殊，要靠小題“撐”對方向，“撐”出高度，還是有難度的.

講這道題時，課堂上就出現(xiàn)“辨向”錯誤，從小題的解決中，似乎得到了“經(jīng)驗”，似乎“撐”起了高度，但“撐”錯了方向，結(jié)果離“竿”遠了，解決問題也就出現(xiàn)了錯誤.接著糾錯，重新調(diào)整方向，再次“撐”起一竿，最終問題得到解決.從出現(xiàn)錯誤到糾正錯誤的過程中，學生明白了一個道理：特殊問題中獲得的經(jīng)驗可能僅僅在特殊情況下有用，要向一般化遷移，要繼續(xù)作一般化的探究.也就是說，不要被特殊化的結(jié)論所迷惑，必須要繼續(xù)探究問題的本質(zhì).否則，題目中具有“引導性”的小問題很可能把我們拖入問題解決的“歧途”.下面就來說說這道題解題教學過程中的一些問題與思考.

一、思維阻滯

（一）原題呈現(xiàn)

問題探究 （1）請在圖1①中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；

（2）如圖1②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖1②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決 （3）如圖1③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB + CD=BC，點P是AD的中點.如果AB=a，CD=b，且b>a，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由.

（二）嘗試解答

上課時，先把題目發(fā)給學生，讓學生嘗試解答.

學生看到題（1）和題（2）比較興奮，認為太容易了，幾乎沒經(jīng)過思考，就開始畫圖.有的學生一邊畫圖還一邊說，這么容易做的題竟然放在壓軸題中，真不敢相信.

可以看到，學生都能在圖1①中畫出兩條互相垂直的直徑；在圖1②中，很多學生也知道先找正方形ABCD對角線的交點O，然后畫出直線OM，最后再過點O畫出與直線OM垂直的另一條直線.在題（1）與題（2）的解答中，學生并沒有遇到太大困難.

但進入題（3），學生不說話了，壓軸題對他們的挑戰(zhàn)開始了.筆者巡視中看到，有學生過點P畫AD的垂線（見圖2），就問：這條直線能平分四邊形ABCD的面積嗎？為什么這樣畫？學生搖搖頭，說，可能不對.但題（1）與題（2）不就是這樣分的嗎？顯然，學生一邊覺得自己畫的直線PQ可能不對，一邊又覺得從題（1）、題（2）的垂直分割“經(jīng)驗”看好像又只能這么畫.問題是，學生既不能說明直線PQ可以把四邊形ABCD分割成面積相等的兩部分的理由，也不知道如何求出BQ的長度.問題解決的思維受阻.

（三）難點分析

問題探究的兩個小題應該是問題解決的起點.但兩個小題選取的圖形都非常特殊，一個是具有旋轉(zhuǎn)不變性的圓，一個是集平行四邊形、矩形與菱形的所有性質(zhì)于一身的正方形，把它們分割成面積相等的四部分，思考方法幾乎不用變化，都是經(jīng)過它們的對稱中心做互相垂直的直線.學生在畫圖的時候，甚至都沒有任何“探究”，只是基于“經(jīng)驗”，就想得到，做得出.正是因為起點比較低，沒有經(jīng)歷必要的“探究”，解決題（3）就有困難.

解決題（3）的困難有三.一是由中心對稱圖形變成非中心對稱圖形，題（1）、題（2）的經(jīng)驗難以遷移過來；二是從畫兩條直線把所給圖形分成面積相等的四部分，變成畫一些直線，把所給圖形分成面積相等的兩部分，不知道前后問題有什么關(guān)聯(lián)；三是轉(zhuǎn)化的困難.學生很難想到把圖1③通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成中心對稱圖形，再借鑒題②的經(jīng)驗去思考問題的解決.

困難的關(guān)鍵，是學生對題（1）、題（2）探究不夠.沒能從特殊到一般深入地探究.所以，講題時，要考慮到以上難點，并設(shè)計相應的教學環(huán)節(jié)，給學生以引導.

二、重回問題探究

（一）小題之間的關(guān)聯(lián)

筆者告訴學生，當問題解決思維受阻的時候，不妨重回問題探究，看探究的兩個問題與要解決的題（3）有什么可以關(guān)聯(lián)的知識和方法.

探究題（1）、題（2）所給的兩個圖形都是中心對稱圖形，那么，題（3）所給的圖形是不是也能轉(zhuǎn)化成中心對稱圖形？研究圖1③，因為點P是AD的中點，把四邊形ABCD繞點P旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)前后的圖就可以拼成一個中心對稱圖形，點P為對稱中心.

繼續(xù)探究.題（1）、題（2）用兩條直線把所給圖形的面積四等分（兩條直線都過圖形的對稱中心），如果沿著其中一條直線剪開來，取其一半，題目就改變成用一條直線把一半圖形面積兩等分，這樣，題（1）、題（2）就和題（3）在要解決的問題上比較接近了.

圖3是題（1）取其一半后的圖.對半圓，過AB的中點O用一條直線把它兩等分，只有唯一的方法，即作OC⊥AB.圖4是題（2）取其一半后的圖.過EF的中點O用一條直線把它兩等分，也只有唯一的方法，即作OG⊥EF.那么，題（3）會不會也有唯一的方法，會不會如圖2那樣作PQ⊥AD？endprint

（二）換一個角度考慮

題（1）探究的是圓，題（2）探究的是正方形，為什么這兩個圖形的兩條四等分線都要過它們的對稱中心，并且相互垂直呢？圓很好解釋，因為只能畫兩條直線，所以必須過圓心；因為分成的四部分都是扇形，所以扇形的弧長必須相等，于是每一個扇形的弧長恰是圓周的.當然，扇形的弧所對的圓心角就是90°，所以，兩條四等分直線相互垂直.也就是說，過圓心的兩條直線四等分圓面，把圓周四等分是關(guān)鍵.

正方形呢？如圖5，要保證分割成的每一部分都是正方形ABCD面積的，那么，S四邊形EBGO=S△OBC，所以S△OEB=S△OGC，又因為正方形的對稱中心O到正方形的四邊距離相等，所以，EB=GC.事實上，過正方形對稱中心O畫兩條直線把正方形面積四等分，若與一組鄰邊AB，BC交于點E，G，那么只要EB=GC或AE=BG即可.此時對正方形而言，EF與MG也互相垂直.但垂直不是本質(zhì)，過正方形對稱中心的兩條直線把正方形的周長分成四等分是關(guān)鍵.

（三）一般化探究

之所以說“垂直”不是本質(zhì)，是因為過對稱中心的兩條互相垂直的直線并不一定能把該圖形的周長四等分，也就未必總能把所給圖形四等分.不妨來看菱形.

如圖6，在菱形ABCD中，AC，BD交于點O，則點O到菱形ABCD的四邊距離相等.過點O任作直線EF⊥HG，分別交AB，BC，CD，AD于點E，G，F(xiàn)，H，顯然，要想S四邊形EBGO=S△OBC，必須S△OEB=S△OGC，所以必須BE=CG才行.可是，EF⊥HG并不能保證有BE=CG.所以，過對稱中心的兩條垂直的直線只能把圓和正方形的面積四等分（也能把偶數(shù)邊的正多邊形的面積四等分），不能把菱形的面積四等分.

通過上面的分析，可以得到較為一般化的結(jié)論：如果中心對稱圖形的對稱中心到各邊（圓周可以看作圓的邊）距離相等，那么把該圖形面積四等分的兩條直線必須同時滿足：一要過該圖形的對稱中心，二要能四等分該圖形的周長.所以說，過對稱中心的兩條直線能等分周長才是四等分面積的本質(zhì).

（四）進一步思考

如果中心對稱圖形的對稱中心到各邊的距離不相等，那么面積四等分線如何分其周長呢？以矩形為例.

如圖7，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點O為對稱中心，OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分別為M，N，過點O的直線EF，GH分別交AB，BC，CD，AD于點E，G，F(xiàn)，H，那么，OM=b，ON=a.要想由直線EF，GH把矩形ABCD的面積四等分，那么必有S四邊形EBGO=S矩形ABCD.連接OB，設(shè)BE=x，BG=y，則有S△OEB+S△OBG=S矩形ABCD，即·x··b+·y·a=ab.所以，有bx+ay=ab.即直線EF，GH四等分矩形ABCD，必須滿足條件bx+ay=ab.當a=b時，矩形ABCD即為正方形ABCD，此時x+y=a.

換一個角度.事實上，由于點M是AB的中點，點N是BC的中點，要滿足S四邊形EBGO=S矩形ABCD，只要滿足S四邊形EBGO=S矩形MBNO即可，此時只要S△OME=S△ONG，所以有ME·b=NG·a，所以=，所以BE=x=a-ME，BG=y=b+NG，直線EF，GH才能四等分矩形ABCD.當a=b時，矩形ABCD即為正方形ABCD，此時ME=NG，所以BE+BG=a.

可以看到，四等分線如何分矩形的周長，應與矩形的鄰邊比值相關(guān).即中心對稱圖形的對稱中心若到各邊的距離不等，那么，四等分該圖面積的兩條直線分其周長應與對稱中心到各邊距離的比值相關(guān).

三、問題解決

從“問題探究”到“問題解決”，不是說只解決題（1）和題（2）的問題就算“問題探究”了，還需要根據(jù)“問題解決”中的問題需要，將“問題探究”中的問題繼續(xù)作一般化探究.比如解決了用兩條直線將圓和正方形的面積四等分后，還要繼續(xù)探索用兩條直線四等分菱形面積的條件，甚至探索兩條直線四等分矩形面積的條件，然后再進入問題解決.當然，由于題（3）給的圖形1③是菱形的一半，那么由題（1）和題（2）作為引子，繼續(xù)對菱形進行探究是必不可少的.

回到題（3）.因為AB∥CD，AB + CD=BC，點P是AD的中點，將四邊形ABCD繞點P旋轉(zhuǎn)180°得菱形C′BCB′（如圖8），所以存在直線AD和PQ將菱形C′BCB′的面積四等分，點Q在BC上，此時，CQ=AB=a，BQ=CD=b.由此可得，在BC上存在點Q，且當BQ=b時，PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分.

四、點滴教學感悟

（一）探究不能流于表面

問題探究類的題目總是先給出一些小問題（或特殊問題）探究.這個時候，探究不能止于所給問題，還需要看探究的問題與要解決的問題之間還有多大的間隔，有多少阻礙.探究需要縮小間隔，排除阻礙.比如，探究的問題比較特殊，而要解決的問題又趨于一般化，之間相隔著一般化的認識與探究，就需要把探究的問題延展引申，做一般化的研究，拉近與要解決的問題之間的距離.

（二）探究的一般方法

探究類問題解題的一般方法就是化歸思想方法.化歸就是轉(zhuǎn)化并歸結(jié).比如在經(jīng)歷過“問題探究”環(huán)節(jié)后，積累了一定的問題解決經(jīng)驗，獲得了問題解決的一些方法，那么，對“問題解決”中需要解決的問題就可以向“問題探究”中的問題轉(zhuǎn)化，或者歸結(jié)到“問題探究”中的已經(jīng)解決的問題類型中，用探究獲得的方法和經(jīng)驗解決新問題.

（三）關(guān)注探究的起點

問題探究實際上是給問題解決提供解題的起點.在“問題探究”環(huán)節(jié)要著重關(guān)注兩類起點，一是知識起點，一是方法起點.本文中題（1）與題（2）就是提供了方法起點，通過探究，強化了問題解決的方法.尤其是題（2），通過“說明理由”，讓方法更加明晰，更加有方向.這是繼續(xù)探究必不可少的出發(fā)點.“問題探究”說白了，就是要找到“問題解決”所需要的“起點”.

（四）要“撐”起一定的高度

有了起點，就要讓自己上升到一定的高度.從“問題探究”到“問題解決”，往往變化比較大，“橫竿”設(shè)置得比較高，那么，能不能發(fā)現(xiàn)“變化”，能不能讓自己的思維“撐”到超越“橫竿”的高度，是影響問題解決的一大因素.其實，無論怎樣變化，都會有“起點”的影子，“探究”中用到的方法或知識，都將會在問題解決中發(fā)揮作用.所以，在探究類問題的解題教學中，需要讓學生看到怎樣做才能被“撐”起高度，怎樣分析才能發(fā)現(xiàn)“變化”，從而掌握解決此類問題的一般方法.endprint