潘明華

一、引言

珠寶具有美麗、持久、稀少的特征，因而具有裝飾功能、投資價(jià)值，甚至成為了身份和地位的象征[1]。如何擺放讓珠寶顯得更美麗同時(shí)符合所需風(fēng)格，已成為銷售者和購買者所關(guān)注的問題[2]。恰當(dāng)?shù)脑煨秃惋L(fēng)格可以凸顯裝飾品味，而珠寶本身的色彩、形態(tài)和重心都是擺放造型的一些關(guān)鍵因數(shù)。為了最大限度地體現(xiàn)珠寶的美麗，在加工時(shí)精心設(shè)計(jì)合適的款式以綻放珠寶的瑰麗。以寶石琢型為例，常見的主要有弧面型、刻面型、珠型、異型和異型四大類，其中，尤以刻面型中的鉆石式琢型（圓明亮琢型）應(yīng)用最為廣泛[1][3]。

基于圖像處理的計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)具有可靠性好、準(zhǔn)確率高的特點(diǎn),可以提高檢測精度、速度、自動化程度，已經(jīng)在通訊技術(shù)、遙感技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)生產(chǎn)等多方面有著廣泛的應(yīng)用。利用圖像處理技術(shù)可以進(jìn)行幾何尺寸的快速測量[4][5]。因此，本文以鉆石式琢型寶石為研究對象，分析其幾何結(jié)構(gòu)和重心位置的關(guān)系，利用圖像處理技術(shù)對寶石圖像進(jìn)行預(yù)處理，并通過標(biāo)記圖像特征獲取幾何中心，再根據(jù)寶石結(jié)構(gòu)特征和圖像與實(shí)際的比例關(guān)系獲得實(shí)際寶石的重心，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的可行性。同時(shí)，分析了一類具有軸對稱性或者平板型結(jié)構(gòu)的物體的重心，并基于圖像處理技術(shù)的重心尋找方法給出相關(guān)的典型圖像尋找重心范例。

二、物體的重心及尋找方法

（一）物體的重心及研究現(xiàn)狀

在重力場中，一個物體的各部分都要受到重力的作用。從效果上看，認(rèn)為各部分受到的重力作用集中于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫作物體的重心。在不改變物體形狀的情況下，物體的重心與其所在位置和如何放置無關(guān)。密度均勻、形狀對稱分布的物體，其重心在其幾何中心處[6]。

通常物體的重心求法有數(shù)學(xué)解析法、實(shí)驗(yàn)法（如懸掛法、頂針法等），其中解析法分析和計(jì)算復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)法簡單但在很多情況下不現(xiàn)實(shí)，因此有一些學(xué)者根據(jù)實(shí)際需求所得了以下簡易的方法。如常勝利[7]利用物體的質(zhì)心公式推導(dǎo)了非對稱平面n邊形的重心的坐標(biāo)，趙玉成等[8]研究了多邊形均勻薄板重心確定的幾何法，趙靈軍等[9]在討論有關(guān)多邊形重心的幾個問題中，討論將多邊形分成幾個三角形或平行四邊形,用中線畫出這些三角形的重心或?qū)蔷€畫出平行四邊形的重心,然后利用杠桿平衡原理求出多邊形的重心的位置，在此姑且稱這種方法為“分割—組合法”。這些討論均是基于物體為質(zhì)量均勻的平面或者平板型的多邊形討論。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了一些三維軟件如CAXA，可以把所需的物體在三維軟件中畫出，再利用軟件的一些自帶函數(shù)就可以查看物體的重心位置，這種方法非常便捷，但前提是必須把物體畫出來，而這本身就是一個復(fù)雜的問題尤其是在未知所需參數(shù)時(shí)。

（二）基于圖像處理技術(shù)的重心尋找方法

明圖像處理技術(shù)已日趨成熟，利用MATLAB可以找到圖像中對象區(qū)域的重心[10]，因此我們采集物體的圖像經(jīng)過圖像處理可以快速尋找均質(zhì)的平板型和旋轉(zhuǎn)體物體的重心。整個尋找重心的過程分為圖像采集、圖像處理和實(shí)物重心尋找三大部分。

第一部分圖像采集，即通過圖像采集設(shè)備（手機(jī)、相機(jī)等）采集研究物體的圖像，獲得研究物體的圖像并傳送到計(jì)算機(jī)。

第二部分為圖像處理過程，即計(jì)算機(jī)通過軟件（本文采用Matlab）對圖像進(jìn)行相關(guān)處理、快速獲得圖像中物體的幾何中心。具體由以下步驟完成：

Step1：Matlab讀入物體的圖像；

Step2：轉(zhuǎn)化為灰度圖像并統(tǒng)計(jì)灰度分布圖；

Step3：根據(jù)灰度分布圖選擇合適的閾值，將圖像轉(zhuǎn)化為二值圖像（有些圖像背景較為復(fù)雜，需要特殊的處理，不在本文討論范圍內(nèi)）；

Step4：通過形態(tài)學(xué)處理進(jìn)行邊界平滑和噪聲去除；

Step5：將得到的經(jīng)過預(yù)處理后的圖像進(jìn)行標(biāo)記，記錄其標(biāo)記對象（物體）的質(zhì)心即重心（設(shè)為點(diǎn)C）及坐標(biāo)(xc,yc)，即獲得了旋轉(zhuǎn)柱體的剖面或者平板型物體的平面在圖像中的幾何中心。

最后，結(jié)合柱體和平板型物體的高度的幾何中心為整個高度的一半，即獲得了其Z坐標(biāo)的位置Zc，則找到了整個物體的重心位置（xc,yc,zc）。

圖1 三角形邊角關(guān)系

第三部分過程為實(shí)物重心尋找，即找出實(shí)際物體與圖像中的物體的比例關(guān)系，并給出實(shí)際的重心位置。具體過程包括以下步驟：

Step1：尋找比例關(guān)系。在圖像上任意取兩個特殊點(diǎn)A(xA,yA)、B(xB,yB)，這兩個點(diǎn)與已知中心點(diǎn)C(xC,yC)構(gòu)成一個三角形，如圖1所示。根據(jù)三角形的性質(zhì)可得出各邊長度：

在實(shí)際物體中找到上述特殊點(diǎn)A、B，并測定其長度LAB，則可得圖像與實(shí)物的比例關(guān)系：

Step2：尺寸變換。根據(jù)相似性原理類似得如下關(guān)系：

由公式(1)～(5)，可以得到實(shí)際的AC、BC的長度 LAC、LBC。

Step3：尋找實(shí)物重心。通過下述三種方法之一可以在實(shí)際中得到物體重心點(diǎn)C：

方法一：分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為中心，LAC、LBC為長度，做弧線則兩條弧線相交于點(diǎn)C。

方法二：由余弦定理得到角度A的數(shù)值：

則A為頂點(diǎn)，量取角度∠A，做長度為LAC的線段，則線段的另一個端點(diǎn)即為所求點(diǎn)C。

因此實(shí)際中可以在AB連線上找到點(diǎn)D，即以點(diǎn)A、點(diǎn)D為端點(diǎn)，其長度滿足（9）。

然后過點(diǎn)D做CD⊥AB，其中CD長度滿足（10）、（11）.

綜合上述方法可見，方法一原理簡單，只需要求出LAC、LBC為長度，但是畫弧線時(shí)一般需要專門的輔助工具（如圓規(guī)），而且當(dāng)物體過大或過小畫弧線都不方便，不太實(shí)用；方法二需要求出測量出角度∠A和長度LAC，測量出角度亦需要專門的輔助工具；而方法三計(jì)算略顯復(fù)雜但是可以由MATLAB自動完成，我們只需要保證CD⊥AB，測量長度LAD、LCD即可，這就很容易實(shí)現(xiàn)了。因此在操作上方法三最簡單，方法二次之。

三、鉆石式琢型寶石結(jié)構(gòu)和重心

（一）鉆石式琢型寶石幾何結(jié)構(gòu)和重心

鉆石式琢型寶石的幾何結(jié)構(gòu)和各部分的名稱如圖 2所示[1][3]，由冠部(crown，C)、腰部(girdle，G)和亭部(pavilion，P)三大部分構(gòu)成，整個寶石最大的寬度為寬（width,W），也稱為直徑。其中，冠部由中間為八邊形的臺面 (Table,T)、8個四邊形的冠主面、8個三角形的星小面以及16個上腰小面所構(gòu)成。當(dāng)光線射入寶石內(nèi)部會使寶石更明亮多彩。中間部分為寶石的腰部，薄薄的一圈，用于保護(hù)寶石的邊緣，防止寶石破裂，并作為寶石鑲嵌之邊緣。腰部以下為亭部，亭部由16個下腰小面和8個亭主面構(gòu)成，其作用是使通過冠部進(jìn)入寶石的光線，反射到人的眼睛。

圖2 鉆石式琢型寶石的結(jié)構(gòu)和命名

將寶石看成是密度均勻的，對于鉆石式琢型寶石，可以近似看成是關(guān)于軸對稱的旋轉(zhuǎn)體。由對稱性可知，寶石的重心必定落在旋轉(zhuǎn)軸上。沿軸向方向得到剖面如圖4所示，因此可以將尋找寶石的重心轉(zhuǎn)化為尋找剖面的幾何中心上。

（二）分割—組合法尋找寶石的重心

對于尋找寶石的重心，解析法過于復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)懸掛法不太適用，基于“分割—組合法”原理,整個寶石可以按冠部、腰部和亭部進(jìn)行分割，而腰部的比例很小，為了計(jì)算的簡便，我們將其合并至冠部，進(jìn)而將寶石近似分割為如圖3所示的等腰三角形ABE和等腰梯形BCDE兩部分。

圖 寶石軸向剖面

三角形的重心即為中線交點(diǎn)，則對于等腰三角形ABE的中心O1在 OXY平面上的位置為（0，|AP|/4）。設(shè)等腰梯形幾何中心在OXY平面上的位置O2，其中O2的求法為：

取 BE中點(diǎn) P，CD中點(diǎn) Q，連PQ，在PQ上取G點(diǎn)，使得(12)。

則點(diǎn)G為所求梯形的幾何中心O2。

又因?yàn)镚Q+PG=PQ，所以

由于整體ABCDE關(guān)于中間軸對稱，所以整體的重心位置O一定在垂直方向上。利用杠桿平衡原理 (14)，由圖 4可知(15)、(16)、(17)。

因此(18)

設(shè)寶石的寬度W、桌面寬T、亭部P和冠部C的高度，利用寶石的各部分尺寸關(guān)系，（13）、（18）可以寫成(19)、(20)：

則重心O到寶石桌面的高度為（19）和（20）式之和,即(21)。

則整個寶石在以Q為原點(diǎn)的OXYZ坐標(biāo)系中的重心坐標(biāo)為（0,0,OQ）。

整個計(jì)算過程較為復(fù)雜，而且在操作上我們至少需要寶石的寬度W、桌面寬T、亭部P和冠部C的高度，再以桌面(CD)為底，過亭尖(A)做CD的垂線交CD于點(diǎn)Q，然后在AQ線上以Q為端點(diǎn)、以O(shè)Q為長度取得點(diǎn)O。而且整個計(jì)算過程繁瑣，計(jì)算量大。

（三）基于圖像處理技術(shù)尋找寶石重心

根據(jù)上文介紹的采用圖像處理技術(shù)，我們采集到圖像如圖4(a)所示，經(jīng)過圖像預(yù)處理及噪聲去除后，對所得圖像進(jìn)行標(biāo)記并利用Matlab軟件自帶的函數(shù)尋找寶石的重心如圖4(b)。為了更方便地查看，去除背景并只取出寶石的邊界及其重心(紅色圓圈)如圖4(c)所示。編譯程序后，只需要取兩個特殊點(diǎn)例如圖2中的點(diǎn)B、E即寶石的寬度，拍攝寶石的圖像，軟件可以自動快速尋找出重心相應(yīng)的坐標(biāo)值，并完成尺寸變換給出實(shí)際值。因此，根據(jù)上文所述，我們只需要測量出圖4中的寶石寬度W，以B、E的中點(diǎn)P點(diǎn)為端點(diǎn)沿中心軸取長度為OP即可獲得重心O。

四、平板形物體及旋轉(zhuǎn)體重心尋找實(shí)驗(yàn)

由前面所述的采用圖像處理技術(shù)尋找的寶石重心的過程，我們發(fā)現(xiàn)利用圖像處理技術(shù)尋找均質(zhì)平面物體的幾何中心過程與物體的形狀無關(guān)，因此我們可以將此方法推廣到平面或者平板形的物體以及具有中心軸的旋轉(zhuǎn)曲面，而且平板物體的平面是任意的，旋轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)曲面的形狀也可以是任意的。

（一）對于平板形物體

設(shè)在OXYZ三維坐標(biāo)中，平面為OXY，高度沿Z方向，重心坐標(biāo)為(x,y,z)，高度為h。平板型物體沿Z方向各平面是相等的，因此其z=h/2。沿z方向垂直物體采集物體圖像，即為物體在OXY平面的圖像，再通過上文所述方法，即可獲得物體在x，y方向的重心坐標(biāo)。對于平面形物體，重心即為(x，y,0)。

為了驗(yàn)證本方法的可行性，采集如圖5所示的物體圖像進(jìn)行驗(yàn)證。其中，圖5(a)為平板泡沫體的原始圖片和經(jīng)過圖像處理技術(shù)后所找到的重心；圖5(b)所示為平板形結(jié)構(gòu)偏心輪的原始圖片及經(jīng)過圖像處理后的所找到的重心所在圖，從圖上可以看到此重心不在偏心輪上，即物體的重心不一定在物體上。對于這樣的均質(zhì)無規(guī)則物體，在實(shí)際應(yīng)用中找到它們的重心是很困難的，但是通過利用圖像處理技術(shù)可以快速便捷地找到。

（二）對于旋轉(zhuǎn)體

如前述寶石即為旋轉(zhuǎn)體的一種，我們垂直旋轉(zhuǎn)軸線采集其圖像，其分析見上文，在此略過。與分割—組合方法比較可以看出，基于圖像處理的方法更為簡單、便捷。

五、結(jié)論

本文通過對寶石的結(jié)構(gòu)分析，利用其關(guān)于中心軸對稱的特點(diǎn)，得出其重心落在Z軸上，通過采集旋轉(zhuǎn)軸所在平面的剖面平面圖像，并利用MATLAB軟件進(jìn)行圖像處理，并通過標(biāo)記寶石的特性，快速找出其重心位置。同時(shí)，通過與已有的方法比較，說明本文所介紹的方法的高效和便捷性。同時(shí)將基于圖像處理技術(shù)尋找重心的方法推廣至平面或者平板形的物體以及具有中心軸的旋轉(zhuǎn)體上。通過分析和實(shí)驗(yàn)舉例說明，尤其是對于一些均質(zhì)無規(guī)則物體，在實(shí)際應(yīng)用中找到它們的重心是很困難的，但是通過本文所介紹的利用圖像處理技術(shù)可以快速、便捷地找到，因此該方法具有較好的普適性。

[1]周漢利.寶石琢型設(shè)計(jì)及加工工藝學(xué)[M].武漢:中國地質(zhì)大學(xué)出版社,2007.

[2]汪盈.珠寶陳列形態(tài)構(gòu)成應(yīng)遵循的五項(xiàng)原則[J].中國寶石,2010,(4).

[3]鄧小林,楊肇升,楊利軍.圓明亮琢型寶石的參數(shù)化變型設(shè)計(jì)研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2015,15(2).

[4]楊梅.利用數(shù)字圖像處理技術(shù)測量零件幾何尺寸[J].吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009，25(9).

[5]張少軍,艾嬌健,李忠富,李長江,李慶利.利用數(shù)字圖像處理技術(shù)測量幾何尺寸[J].北京科技大學(xué)學(xué)報(bào),2002,24(3).

[6]周衍柏.理論力學(xué)教程(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[7]常勝利.多邊形重心坐標(biāo)的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005年(2).

[8]趙靈軍,趙雪劍.有關(guān)多邊形重心的幾個問題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2007,46(6).

[9]趙玉成,劉命元,向治全.多邊形均勻薄板重心確定的幾何法[J].力學(xué)與實(shí)踐,2011(33).

[10]高展宏,徐文波.基于MATLAB的圖像處理案例教程[[M].北京：清華大學(xué)出版社,2011.