陳妍

摘要：極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論（包括級數(shù)）為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科.因此求極限的方法對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用也至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞：極限;收斂;無窮小;微積分

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）18-0181-03

筆者多年從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)，那么筆者對于高等數(shù)學(xué)中的極限的思想方法整體感受可以做這樣的比喻：假如高等數(shù)學(xué)是棵樹的話，那么極限就是他的根，函數(shù)就是它的皮.樹沒有根，活不下去;沒有皮，只能枯萎。極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析中的基本概念，都可以用極限來描述.例如函數(shù)的連續(xù)性的研究;函數(shù)在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義;定積分的定義;偏導(dǎo)數(shù)的定義;二重積分、三重積分的定義;無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來描述的.極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線.由此極限的重要性可見一斑.現(xiàn)在任何一所大學(xué)的數(shù)學(xué)系的學(xué)生都會先學(xué)極限，之后再學(xué)微積分.學(xué)好極限要從以下兩方面著手：一是考察所給函數(shù)是否存在極限。二是若函數(shù)存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述.

一、通過各種基本技巧，化簡后直接求出極限

例1 設(shè)a ≠0，b n≠0，求

.

解

=

=0 ? ?當(dāng)mn時

二、利用夾逼定理求極限

設(shè)g（x）≤f（x）≤h（x）。若limg（x）=A，limh（x）=A，則limf（x）=A.

例2 ? ?.

解∵ ≤ ?≤

而 ?= ?=

= ?=

則由夾逼定理可知

=

例3 求 ? sintdt.

解 ∵ sintdt= sintdt=2

設(shè)nπ≤x<（n+1）π，則

2n= sintdt≤ sintdt≤ sintdt=2（n+1）

于是，

≤ ?sintdt≤

∵ ?= ， ?= ，

由夾逼定理可知， ? sintdt=

三、利用兩個重要極限公式求極限

公式1： ?=1.

公式2： 1+ ?=e; 1+ ?=e; 1+v =e.

在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡后才可以利用公式.

例4 求 cos cos …cos 。

解 當(dāng)x=0時，原式=1

當(dāng)x≠0時，原式=

= ?=…

= ?= ? =

∵ ?=1

例5 求下列極限（1） ? ;（2） x .

解 （1）解法一 ? ?=

= = =e

解法二 ? ?=

= 1+ ？搖 =e

（2）令x-1=t則x=1+t，當(dāng)x→1時，t→0，

于是 x = （1+t） = （1+t） ？搖 ?=e .

四、用定積分定義求數(shù)列的極限

基本公式： ? ?f = ?fxdx.

例6 求 ? .

分析 如果還想用夾逼定理中的方法來考慮則

≤ ?≤

而 ?= ， ?=1

由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。

解 ? ?=

= ?=arctanx ?=

五、用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則專門來處理七種比較困難未定式極限： ; ;0*∞;∞-∞;1 ;0 ;∞ ，筆者把它們分成三個層次討論。

第一層次：直接用洛比達(dá)法則可處理 和 兩種未定式。

例7 求 ?.

解 離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故先轉(zhuǎn)化為連續(xù)型考慮到

= ?= ?=

∴原式=

例8 求 ?.

解 若直接用“ ”型洛必達(dá)法則，則得 ?= ?（分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令 =t，于是 ?= ?= ?（“ ”型）

= ?=…= ?=0

例9 設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，f（0）≠0，求 ?.

解 原式= ?（分母作變量替換x-t=u）

= ?（用洛必達(dá)法則，分子、分母各求導(dǎo)數(shù)）

（用積分中值定理）

= ?（ξ在0和x之間）

= =

第二層次：間接用洛比達(dá)法則可處理0*∞和∞-∞。

例10 求 ?- .

解 ? - = ?（“ ”型）

= ?=

= ?=

例11 求 sin xlnx.

解 原式= x lnx= ?（“ ”型）

= ?=0

第三層次：間接用洛比達(dá)法則可處理1 ;0 ;∞ 型，都是lim[f（x）] 形式。

常用技巧：[f（x）] =e ，這樣limg（x）lnf（x）是0*∞型，可按第二層次來處理。

例12 求 x .

解 令y=x ，lny=sin xlnx

lny= sin xlnx= x lnx= ?= ?=0

∴ y=e =1

例13 設(shè)a>0，b>0常數(shù)，求 ? .

解 先考慮 ? 它是“1 ”型

令y= ?，lny=xlna +b ？搖-ln2

lny=

= ?= （lna+lnb）=ln

因此， ? =

于是， ? = 。

本文歸納了一些求極限的基本方法，并配有相應(yīng)例題.在微積分的學(xué)習(xí)中遇到的一般求極限問題用上面的方法基本可以求出來，復(fù)雜的問題可能要綜合幾種方法才能求出，需要讀者深入理解各種方法的技巧和內(nèi)涵，掌握好求極限，對于學(xué)好微積分起到錦上添花的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].第2版.北京：高等教育出版社，2001.

[2]戴劍萍.微積分中求極限的方法歸敘[J].黃山學(xué)院學(xué)報，2005，（15）.

[3]李小光.求極限的若干技巧[J].西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2002，（3）：20-21.