屈寅春，周 穎，魏俊潮*

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002；2.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫214121）

Nil-semicommutative的exchange環(huán)

屈寅春1，2，周 穎1，魏俊潮1*

（1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002；2.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫214121）

0　引言

本文中，R表示有單位元的結(jié)合環(huán)，J（R），N（R）分別表示環(huán)R 的Jacobson根和冪零元集合.一個(gè)環(huán)R 稱為nil-semicommutative環(huán)［1-2］，若對(duì)每個(gè)a，b，r∈R，a，b∈N（R）有arb∈N（R），易見，若N（R）是R的理想，則R 為nil-semicommutative環(huán).設(shè)R 是一個(gè)環(huán)，若對(duì)每個(gè)a∈N（R），有a∈aRa，則稱R為n-正則環(huán)［3］；若N（R）=0，則稱R 為約化環(huán).顯然，約化環(huán)是n-正則環(huán)和nil-semicommutative環(huán).一個(gè)環(huán)R為約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為n-正則的nil-semicommutative環(huán)［2］219.一個(gè)環(huán)R 稱為exchange環(huán)［4］，若對(duì)每個(gè)a∈R，存在e2=e∈aR，使得1-e∈（1-a）R.設(shè)a∈R，若b，c∈R 且存在正整數(shù)n，使得an=an+1b=can+1，則稱a為強(qiáng)π-正則元，特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱a為強(qiáng)正則元.一個(gè)環(huán)R稱為強(qiáng)π-正則環(huán)，若R的每個(gè)元都是強(qiáng)π-正則元.設(shè)a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，則稱a為VonNeumann正則元；若a∈RaRa，則稱a為左弱正則元；若存在中心冪等元e，使得RaR=Re，則稱a是雙正則元.一個(gè)環(huán)R分別稱為VonNeumann正則環(huán)、左弱正則環(huán)和雙正則環(huán)，若R的每個(gè)元都是VonNeumann正則元，左弱正則元和雙正則元，Yu［4］已證明：1）若R是exchange環(huán)且每個(gè)素商環(huán)是Artin的，則R為強(qiáng)π-正則環(huán)；2）若R為exchange環(huán)，每個(gè)本原商環(huán)是Artin的且R/J（R）是同態(tài)半本原的，則R/J（R）是強(qiáng)π-正則環(huán).受此啟發(fā)，本文擬研究nil-semicommutative的exchange環(huán)的一些性質(zhì)，并將文獻(xiàn)［1-4］的部分重要結(jié)果推廣到nil-semicommutative的exchange環(huán)上.

1　主要結(jié)果

根據(jù)文獻(xiàn)［5］定理6的證明知：一個(gè)只有2個(gè)冪等元的exchange環(huán)是局部環(huán)，得到下面的命題.

命題1 設(shè)R為一個(gè)nil-semicommutative的exchange環(huán)，若P 是R 的左本原理想，則R/P為除環(huán).

證明 設(shè)a∈R，滿足a-a2∈P，由于R 為exchange環(huán)，則摸P 可冪等提升，從而存在e2=e∈R，使得e-a∈P.由文獻(xiàn)［2］213命題2.1知eR（1-e）?P.由于摸P 為素理想，則有e∈P 或1-e∈P，故a∈P或1-a∈P，因此R/P 只有2個(gè)冪等元.由于R 為exchange環(huán)，則R/P 是exchange環(huán)，因此由文獻(xiàn)［5］19定理1知，R/P 是局部環(huán)，但J（R/P）=0，從而R/P 為除環(huán).

命題2 設(shè)R為一個(gè)nil-semicommutative的exchange環(huán)，則R為左quasi-duo環(huán).

證明 設(shè)M是R的任意一個(gè)極大左理想，記W=R/M，則W是單左R-模，故P=（0：W）=｛r∈R|rW=0｝是R的左本原理想.由命題1知是除環(huán)，易見P?M.下證M?P，若存在m∈M，但m?P，則存在x∈R，使得，故1-xm∈P?M，1=（1-xm）+xm∈M，矛盾，因此M?P，從而M=P是R 的理想，故R為左quasi-duo環(huán).

文獻(xiàn)［6］定理2.7證明了：左quasi-duo的Von Neumann正則環(huán)是強(qiáng)正則環(huán).由于Von Neumann正則環(huán)是exchange環(huán)，故命題2暗示了推論3.

推論3 R為強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R 為Von Neumann正則的nil-semicommutative環(huán).

一個(gè)環(huán)R稱為clean環(huán)，若對(duì)每個(gè)x∈R，存在R的冪等元e及可逆元u，使得x=u+e.由文獻(xiàn)［7］知，exchange環(huán)為clean環(huán)，但反之不成立.文獻(xiàn)［6］29定理4.2證明了：左quasi-duo的exchange環(huán)是clean環(huán)，故命題2還暗示了下面的推論4.

推論4 設(shè)R為nil-semicommutative的exchange環(huán)，則R為clean環(huán).

推論5 設(shè)R為nil-semicommutative的exchange環(huán)，若每個(gè)非零左R-模有一個(gè)極大子模，則R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

證明 由命題2知，R為左quasi-duo環(huán)，據(jù)文獻(xiàn)［6］21知R/J（R）是左quasi-duo環(huán).由于每個(gè)非零左R-模有極大子模，故每個(gè)非零左R/J（R ）-模有極大子模，由文獻(xiàn)［6］24引理3.2知R/J（R）為Von Neumann正則環(huán).由文獻(xiàn)［6］22推論2.4知R/J（R）為約化環(huán)，從而R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

文獻(xiàn)［8］證明了：若R為左完全環(huán)，則每個(gè)非零左R-模有一個(gè)極大子模且R不含無窮多個(gè)正交冪等元，但反之不成立.文獻(xiàn)［6］24定理3.3則證明了若R 為左quasi-duo環(huán)，反之即成立，故有下面的命題6.

命題6 設(shè)R為nil-semicommutative環(huán)，則下列條件等價(jià)：

1）R為左完全環(huán)；

2）R為半完全環(huán)，每個(gè)非零左R-模有一個(gè)極大子模；

3）R為exchange環(huán)，不含無窮多個(gè)正交冪等元且每個(gè)非零左R-模有一個(gè)極大子模.

證明 1）?2）：由文獻(xiàn)［8］472得證.

2）?3）：由文獻(xiàn)［9］定理9知，R 為半完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為clean環(huán)且不含無窮多個(gè)正交冪等元，故由推論4知條件3）成立.

3）?1）：這是命題2及文獻(xiàn)［6］24定理3.3的直接推論.

一個(gè)環(huán)R稱為同態(tài)半本原環(huán)，若R的每個(gè)同態(tài)像是半本原環(huán).

命題7 設(shè)R為nil-semicommutative環(huán)，摸J（R）冪等提升，則下列條件等價(jià)：

1）R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán)；

2）R/J（R）為強(qiáng)π-正則環(huán)；

3）R/J（R）為雙正則環(huán)和exchange環(huán)；

4）R/J（R）為同態(tài)半本原環(huán)和exchange環(huán).

證明 1）?2）：顯然.

2）?3）：由于強(qiáng)π-正則環(huán)是exchange環(huán)，從而R/J（R）為exchange環(huán).由于R為nil-semicommutative環(huán)，由文獻(xiàn)［2］213命題2.1知N（R）?J（R）.由于摸J（R）冪等提升，故R 為exchange環(huán).由于R為nil-semicommutative環(huán)，由命題2知R 為左quasi-duo環(huán)，故R/J（R）為左quasi-duo環(huán)，于是由文獻(xiàn)［6］22推論2.4知R/J（R）是約化環(huán)，因此R/J（R）是強(qiáng)正則環(huán)，從而R/J（R）是雙正則環(huán).

3）?4）：設(shè)I/J（R）是R/J（R）的任一個(gè)真理想，則R/I是R/J（R）的同態(tài)像.設(shè)σ：R/J（R）→R/I為環(huán)滿同態(tài).若，則有，故有0≠a∈R/J（R）使得σ（a）=x.由于R/J（R）是雙正則環(huán)，故，e2=e∈R/J（R）且e 是R/J（R）的中心冪等元.設(shè)，則.又由于σ（e）2= σ（e），故σ（e）=0.設(shè)a=re，其中，易見，所以，矛盾，因此J（R/I）=0，R/I為半本原環(huán)，從而R/J（R）為同態(tài)半本原環(huán).

4）?1）：由于R/J（R）為exchange環(huán)，摸J（R）冪等提升，故R為exchange環(huán)，據(jù)命題2知R為左quasi-duo環(huán)，從而由文獻(xiàn)［6］29定理3.8得證.

由于左弱正則的左quasi-duo環(huán)是強(qiáng)正則環(huán)，因此有下面的推論.

推論8 設(shè)R為nil-semicommutative環(huán)，摸J（R）冪等提升，則下列條件等價(jià)：

1）R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán)；

2）R/J（R）為左弱正則的exchange環(huán).

證明 1）?2）：顯然.

2）?1）：設(shè)R/J（R）為左弱正則的exchange環(huán)，則由命題7的證明可知，R 為左quasi-duo環(huán)，從而R/J（R）為左quasi-duo環(huán)，故R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

文獻(xiàn)［10］引理3.1證明了：一個(gè)環(huán)R為強(qiáng)π-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的每個(gè)素理想P，有R/P是強(qiáng)π-正則環(huán).

命題9 設(shè)R為nil-semicommutative的exchange環(huán)，若R的每個(gè)素理想是左本原理想，則R為強(qiáng)π-正則環(huán)且R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

證明 設(shè)P為R 的任一個(gè)素理想，則由題設(shè)知P 為R 的左本原理想，由于R為nil-semicommutative的exchange環(huán)，所以由命題1知R/P 為除環(huán)，從而R/P 為強(qiáng)π-正則環(huán)，R為強(qiáng)π-正則環(huán)，故R/J（R）為強(qiáng)π-正則環(huán).由命題2知R為左quasi-duo環(huán)，于是由文獻(xiàn)［11］定理1知R/J（R）為左quasi-duo環(huán).由文獻(xiàn)［6］22推論2.4知R/J（R）為約化環(huán)，故R/J（R）為強(qiáng)正則環(huán).

［1］CHEN Weixing.On nil-semicommutative rings［J］.Thai J Math，2011，9（1）：39-47.

［2］QU Yinchun，WEI Junchao.Some notes on nil-semicommutative rings［J］.Turk Math J，2014，38（2）：212-224.

［3］WEI Junchao，CHEN Jianhua.Nil-injective rings［J］.Int Electron J Algebra，2007，2（1）：1-21.

［4］YU Huaping.On the structure of exchange rings［J］.Comm Algebra，1997，25（3）：661-670.

［5］WEI Junchao.Almost Abelian rings［J］.Comm Math，2013，21（1）：15-30.

［6］YU Huaping.On quasi-duo rings［J］.Glasgow Math J，1995，37（1）：21-31.

［7］NICHOLSON W K.Lifting idempotents and exchange rings［J］.Trans Amer Math Soc，1977，229（2）：269-278.

［8］BASS H.Finitistic dimension and a generalization of semiprimary rings［J］.Trans Amer Math Soc，1960，95（3）：466-488.

［9］CAMILLO V P，YU Huaping.Exchange rings，units and idempotents［J］.Comm Algebra，1994，22（21）：4737-4749.

［10］WEI Junchao，LI Libin.Quasi-normal rings［J］.Comm Algebra，2010，38（9）：1855-1868.

［11］魏俊潮.Quasi-duo環(huán)的刻畫［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，9（3）：1-4.

設(shè)R是nil-semicommutative的exchange環(huán)，證明了如下結(jié)論：1）對(duì)于R 的每個(gè)左本原理想P，R/P是除環(huán)；2）R是左quasi-duo環(huán)；3）若每個(gè)非零左R-模有一個(gè)極大子模，則R/J（R）是強(qiáng)正則環(huán)；4）R/J（R）是強(qiáng)正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/J（R）是同態(tài)半本原環(huán)；5）若R的每個(gè)素理想是左本原理想，則R 為強(qiáng)π-正則環(huán)且R/J（R）是強(qiáng)正則環(huán).

nil-semicommutative環(huán)；exchange環(huán)；左quasi-duo環(huán)；左本原理想；強(qiáng)正則環(huán)

O153.3；O154

A

1007-824X（2015）02-0012-03

Nil-semicommutative exchange rings

QU Yinchun1，2，ZHOU Ying1，WEI Junchao1*
（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Wuxi Inst of Tech，Wuxi 214121，China）

2013-11-04.*聯(lián)系人，E-mail：jcweiyz@126.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471282，11171291）；江蘇省高校自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11KJB110019）；江蘇省高等職業(yè)院校國(guó)內(nèi)高級(jí)訪問學(xué)者計(jì)劃資助項(xiàng)目（2014FX079）.

屈寅春，周穎，魏俊潮.Nil-semicommutative的exchange環(huán)［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，18（2）：12-14，21.

Let R be an exchange nil-semicommutative ring.Then 1）R/P is a division ring for each left primitive ideal P of R；2）R is a left quasi-duo ring；3）If every nonzero left R-module has a maximal submodule，then R/J（R）is strongly regular；4）R/J（R）is a strongly regular ring if and only if R/J（R）is a homomorphic semiprimitive ring；5）If every prime ideal of R is left primitive，then R is a stronglyπ-regular ring if and only if R/J（R）is a strongly regular ring.

nil-semicommutative ring；exchange ring；left quasi-duo ring；left primitive ideal；strongly regular ring

（責(zé)任編輯 林 子）