●鐘順榮(云和中學(xué)浙江云和323600)

利用伸縮變換求解直線與橢圓相切問(wèn)題初探

●鐘順榮(云和中學(xué)浙江云和323600)

1 問(wèn)題提出

1)已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);

2)若過(guò)原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明:點(diǎn)P到直線l1距離的最大值為a-b.

圖1

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

直線和圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題解決策略主要有5個(gè)步驟:“設(shè)”(點(diǎn)的坐標(biāo)、直線、曲線方程)，“聯(lián)”(聯(lián)立方程組)，“消”(消去或得到一元二次方程)，“用”(運(yùn)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長(zhǎng)公式等)，“判”(運(yùn)用判別式檢驗(yàn)、求參數(shù)的值或縮小參數(shù)的取值范圍).利用這種常規(guī)思路，在第1)小題的求解中，可假設(shè)直線l:y=kx+m(其中k＜ 0)，并與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合Δ=0求解出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo).

由于求解過(guò)程中涉及到直線與圓錐曲線聯(lián)立、消元等問(wèn)題，計(jì)算量較大.若能避開(kāi)直線與圓錐曲線聯(lián)立，便可達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

2 源于教材的知識(shí)再探

人教A版選修1-1第34頁(yè):在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么?

問(wèn)題揭示了圓與橢圓之間的內(nèi)在關(guān)系，即通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)的伸縮變換，可以在平面直角坐標(biāo)系中實(shí)現(xiàn)橢圓與圓的互換.類似的伸縮變換思想在三角函數(shù)變換中也有.

事實(shí)上，設(shè)M(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，在變換φ:的作用下，點(diǎn)M(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M'(x'，y')，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.同時(shí)，由方程確定的伸縮變換具有下列性質(zhì):

1)點(diǎn)M(x，y)的像為點(diǎn)M'(x'，y')，斜率是k的直線的像為斜率是的直線;

2)變換后共線3個(gè)點(diǎn)的2條線段的比值和變換前的比值一樣;

3)設(shè)封閉曲線C圍成的面積為S，C的像C'所圍成的面積為S'，則S'=mnS;

4)2條曲線C1，C2有公共點(diǎn)M，則曲線C1，C2的像C1'，C2'必有公共點(diǎn)M'，且M'是M的像;

5)2條曲線C1，C2在點(diǎn)M處相切，則曲線C1，C2的像C1'，C2'在點(diǎn)M的像M'處也相切.

3 利用伸縮變換解決直線與橢圓相切問(wèn)題初探

基于上述伸縮變換的性質(zhì)，可以用圓的性質(zhì)去探索橢圓的相關(guān)性質(zhì)，同時(shí)也可以將橢圓的有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓的問(wèn)題去解決，借助圓的一些特性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.現(xiàn)以直線與橢圓相切問(wèn)題舉例如下:

3.1 過(guò)橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓相切問(wèn)題

例1第1)小題的伸縮變換解法如下:

圖2

解如圖2，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，在伸縮變換作用下，橢圓變換為圓x'2+ y'2=1，橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)變換為圓上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線l變換為過(guò)點(diǎn)P'的切線l'，且由點(diǎn)P'在x'2+y'2=1圓上得

由O'P'⊥l'得

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的焦點(diǎn)，M為線段AF2的中點(diǎn)，求證:∠ATM=∠AF1T.

圖3

再思考:已知∠TAF1=∠MAT，要證明的是∠ATM=∠AF1T，于是△TAF1∽△MAT，從而轉(zhuǎn)為求相關(guān)邊長(zhǎng)的比值，但在橢圓中直接求|AT|較復(fù)雜，借助伸縮變換成圓后，發(fā)現(xiàn)，由性質(zhì)2)知必為，從而輕松求出|AT|.

例2的伸縮變換解法如下:

圖4

又∠TAF1=∠MAT，從而△TAF1∽△MAT，得∠ATM=∠AF1T.

過(guò)橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓相切問(wèn)題經(jīng)過(guò)伸縮變換后轉(zhuǎn)化成過(guò)圓上一點(diǎn)的直線與圓相切問(wèn)題，再利用圓心與切點(diǎn)的連線和切線垂直的特性，借助2條直線斜率之積等于-1或圓心到切線距離為半徑求解，巧妙避開(kāi)了解析幾何中的聯(lián)立消元.

3.2 過(guò)橢圓外一點(diǎn)的直線與橢圓相切問(wèn)題

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的2條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2014年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

思路1設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，并與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0得到關(guān)于k的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理得到2條切線斜率kPA·kPB的關(guān)系，結(jié)合kPA·kPB=-1求解(要注意對(duì)切線斜率是否存在進(jìn)行討論).

上面2種思路都需要聯(lián)立直線和橢圓方程，計(jì)算較為復(fù)雜，可借助伸縮變換重新整理如下:

圖5

直線P'A'，P'B'與圓O'相切.設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為

根據(jù)韋達(dá)定理知

故點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.

將例3中的橢圓推廣到一般情況可以得到如下命題(證明同上):

例3變式若P是直線4x+3y-18=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是橢圓C的2條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形面積PAOB的最小值.

例3變式的伸縮變換解法如下:

圖6

易知當(dāng)O'P'⊥l'時(shí)，|O'P'|有最小值，于是

由性質(zhì)3)得

用常規(guī)方法求解與橢圓相關(guān)的三角形面積問(wèn)題時(shí)計(jì)算量很大.若另辟蹊徑，通過(guò)伸縮變換轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的三角形面積，則會(huì)起到事半功倍之效.

轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，體現(xiàn)為化抽象為具體，化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.基于圓的特性及橢圓和圓的內(nèi)在聯(lián)系，可以利用伸縮變換將橢圓變換為單位圓，把直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)“橢圓問(wèn)題圓解決”，避開(kāi)解析幾何繁瑣的運(yùn)算.同時(shí)，橢圓的性質(zhì)也可以類比圓的性質(zhì)學(xué)習(xí).用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以使孤立的知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，這對(duì)于我們構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、提升數(shù)學(xué)思維有著重要意義.

［1］劉殿光.利用壓縮變換研究橢圓［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2003(1):33.

［2］湯敬鵬.利用仿射變換解決與橢圓有關(guān)的高考試題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2010(4):44.