【摘 要】在高三后期有效地穿插“微專題”，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的一些不足與缺陷?！鞍⒉_尼斯圓”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，反思微專題教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：課題的確定，遵循真、小、實(shí)的原則;課型的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重知識的整合，突出以小見大;習(xí)題的選擇突出見微知著以及“微專題”教學(xué)注重教學(xué)的生成性，以便提高高三復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】微專題;課本資源;教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）42-0032-03

【作者簡介】李寬珍，江蘇省溧水高級中學(xué)（南京，211200）教師，中學(xué)高級教師。

專題復(fù)習(xí)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)后期的重要階段。它是在一輪復(fù)習(xí)的整體梳理、知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)之后，必須經(jīng)歷的以綜合訓(xùn)練為主，以訓(xùn)練解題能力和優(yōu)化思維品質(zhì)為最終目的的復(fù)習(xí)階段。如何提高這一階段的復(fù)習(xí)效率呢？筆者經(jīng)過幾屆畢業(yè)班的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)在高三后期的專題復(fù)習(xí)中，“微專題”復(fù)習(xí)是對數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的有效補(bǔ)充，對學(xué)生掌握難點(diǎn)問題、查漏補(bǔ)缺有很好的幫助。近幾年的高考中，以“阿波羅尼斯圓”為背景的試題一度成為考查熱點(diǎn)，而此背景源自課本，由此，筆者基于課本資源開設(shè)了一節(jié)關(guān)于“阿波羅尼斯圓”及其簡單應(yīng)用的“微專題”復(fù)習(xí)課，取得了良好的效果，本文以此為例來談?wù)剬?shí)施“微專題”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，僅供參考。

一、“微專題”課題的確定，遵循真、小、實(shí)的原則

“微專題”是立足于學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況而選擇的切口小、角度新、針對性強(qiáng)的小專題。它貼近學(xué)情，難度適中;可以進(jìn)行適度拓展，激發(fā)學(xué)生潛能?！拔ｎ}”的選題不求面面俱到，而是要結(jié)合復(fù)習(xí)的目標(biāo)要求，針對學(xué)生在單元復(fù)習(xí)和大專題復(fù)習(xí)中暴露出的在知識、方法和能力等方面的薄弱環(huán)節(jié)，以學(xué)生復(fù)習(xí)中的“問題”促“專題”的生成，力求解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的“真問題”“實(shí)問題”。比如筆者設(shè)計(jì)本專題主要是考慮到以下兩點(diǎn)因素。

1.學(xué)生的難點(diǎn)。

筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在多次的作業(yè)及考試中對隱含的阿波羅尼斯圓的關(guān)注度不是很高，從而導(dǎo)致這類題目答題的正確率較低。應(yīng)該說，這類問題涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等多個(gè)知識點(diǎn)及思想方法，問題本身具有一定的綜合性。

2.考試的熱點(diǎn)。

筆者查閱了近幾年的高考題，有關(guān)阿波羅尼斯圓的問題出現(xiàn)在多個(gè)省份的高考題中，如2003年北京春季卷，2008年四川卷，2005年、2008年、2009年、2013年江蘇卷，2014年、2015年湖北卷，等等。在這些題目中雖沒有直接出現(xiàn)阿波羅尼斯圓的概念，但經(jīng)過推導(dǎo)、變形均能轉(zhuǎn)化得到阿波羅尼斯圓。

二、“微專題”課型的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重知識的整合，突出以小見大

“微專題”教學(xué)關(guān)鍵在于抓住課堂內(nèi)容的“主線”，以“真問題”“實(shí)問題”驅(qū)動教學(xué)，讓學(xué)生在真情境、真討論、真問題、真思考中學(xué)會學(xué)習(xí)，提出能體現(xiàn)核心要旨的“問題”，從而將豐富的教學(xué)內(nèi)容整合成清晰的結(jié)構(gòu)。

我們在對某一個(gè)“微專題”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要力求找到一條能串起零散問題的“主線”，要注重揭示這些問題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，這樣才能讓學(xué)生做到舉一反三，觸類旁通。要防止復(fù)習(xí)的“碎片化”，避免“就題論題”，將專題復(fù)習(xí)異化為對幾個(gè)題目的復(fù)習(xí)。

筆者分析后發(fā)現(xiàn)，造成學(xué)生對阿波羅尼斯圓背景判斷困難的根本原因是沒有真正理解這類曲線的本質(zhì)。因此，在本專題的設(shè)計(jì)中，筆者沒有像以往的一些專題復(fù)習(xí)課那樣，過多考慮題目的綜合性或新穎性，過多注重解題的技巧訓(xùn)練，而是從一組課本的習(xí)題開始，以理解阿波羅尼斯圓的本質(zhì)為主線，通過回顧課本習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生回歸問題的起點(diǎn)，真正達(dá)到追本溯源、微中見著的目的。通過梳理學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、相對“零散”的題組，以“阿波羅尼斯圓”的概念為核心構(gòu)建這類問題的本質(zhì)聯(lián)系，為學(xué)生以后解決這類問題形成了一條更為清晰的“線路圖”。本專題設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)。

活動1：課本溯源，奠定基礎(chǔ)。

展示課本上的兩道題：

例1.（蘇教版《數(shù)學(xué)》必修2 P112）已知點(diǎn)M（x，y）與兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為1：2，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

例2.（蘇教版《數(shù)學(xué)》選修2-1 P63）求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比等于2的動點(diǎn)M的軌跡方程。

（學(xué)生思考、自主解答，具體解答過程略）

（設(shè)計(jì)意圖：挖掘課本習(xí)題的教育功能和教學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生體會到高考題是源于課本的。此外，在此處還可以聯(lián)系橢圓與雙曲線的知識，使學(xué)生深刻理解橢圓與雙曲線的定義，熟悉其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，強(qiáng)化分類討論的意識，滲透類比的思想。）

活動2：特殊到一般，完善定理。

將課本習(xí)題一般化：設(shè)A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值λ（λ>0），求動點(diǎn)M的軌跡。

讓學(xué)生類比課本習(xí)題的方法給出解決方法。接著由教師給出阿波羅尼斯軌跡定理：

在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上，且滿足=λ，當(dāng)λ>0且λ≠0時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”。（λ=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線）

活動3：數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接高考。

習(xí)題1（2008年江蘇卷）滿足條件AB=2，AC=BC的△ABC的面積的最大值是______。

習(xí)題2（2008年四川卷）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上，且AK=AF，則△AFK的面積為_______。

習(xí)題3（2013年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程;

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

（設(shè)計(jì)意圖：由課本習(xí)題提煉出定理，再回到高考中體會試題出現(xiàn)的情境，讓學(xué)生體會這些高考題原來都是源于課本的，接地氣，易于接受。）

活動4：延伸拓展，深化思維。

在數(shù)學(xué)解題中，若僅僅滿足解出正確結(jié)果是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要善于回顧和反思，再來分析例1條件和結(jié)論：

條件：①平面上的定點(diǎn)O（0，0）;②平面上的定點(diǎn)A（3，0）;③在同一平面上動點(diǎn)M滿足=;

結(jié)論：點(diǎn)M的軌跡方程是（x+1）2+y2=4。

命題中涉及兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定比和動點(diǎn)的軌跡方程，若將這些重新組合，改變它們的邏輯次序（在已知動點(diǎn)的軌跡的條件下），就可以得到新的結(jié)論。

延伸1（探求定比）：已知點(diǎn)O（0，0），A（3，0），點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問：是否存在這樣的常數(shù)λ，使得=λ？若存在，求出常數(shù)λ;若不存在，請說明理由。

這個(gè)其實(shí)是我們經(jīng)常遇到的一類定值問題：定點(diǎn)A，定點(diǎn)B，定圓C？圯定值λ。

延伸2（探求一個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M 是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問：在平面上是否存在點(diǎn)A，使得=？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

這個(gè)其實(shí)也是我們經(jīng)常研究的定點(diǎn)問題：定點(diǎn)A，定值λ，定圓C？圯定點(diǎn)B。

延伸3（探求兩個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)P，Q，使得=？若存在，求出兩個(gè)定點(diǎn)P，Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

這個(gè)是我們常見的求定點(diǎn)問題：定圓C，定值

λ？圯定點(diǎn)A，定點(diǎn)B。

延伸4（探求定比和一個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問：在平面上是否存在不同于點(diǎn)O的定點(diǎn)A，使得為常數(shù)λ？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及常數(shù)λ;若不存在，請說明理由。

此問題即為常見的求定值定點(diǎn)問題：定點(diǎn)A，定圓C？圯定點(diǎn)B，定值λ。

通過這幾次變式，將圓中的幾類定點(diǎn)、定值問題一線串之，讓學(xué)生從中看到問題的根源在于課本，認(rèn)清本質(zhì)，進(jìn)而能做到運(yùn)用自如。

三、“微專題”教學(xué)習(xí)題的選擇，突出見微知著

“微專題”教學(xué)的例題和習(xí)題選擇不要刻意求新求異，而是要立足于解決學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的真問題，應(yīng)選擇部分本專題中具有代表性、可以從多個(gè)角度認(rèn)識和解決、且具有深入探究價(jià)值和思維含量的問題，這類題目能夠體現(xiàn)解決本專題問題的核心思想與方法。筆者認(rèn)為選題時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面的習(xí)題。

1.源于“易錯易混點(diǎn)”的辨析。

心理學(xué)家奧蘇貝爾說過：“影響學(xué)習(xí)的唯一的最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”學(xué)生的錯題是反映學(xué)情的第一手材料，特別是學(xué)生反復(fù)做錯的一些題目，更是我們要格外關(guān)注的。此外，選擇學(xué)生作業(yè)中相關(guān)的一些易錯易混題作為專題復(fù)習(xí)的素材還有助于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成回顧與反思的良好習(xí)慣。本課例所選的阿波羅尼斯圓就是學(xué)生的易錯題。

2.源于課本習(xí)題的延伸。

高考題的源頭是教材，這是高三復(fù)習(xí)必須研究和回歸的起點(diǎn)和終點(diǎn)。當(dāng)前專題復(fù)習(xí)中對一些知識和方法交匯處的綜合題、高考題關(guān)注得比較多，而對課本的習(xí)題關(guān)注得不夠。課本的習(xí)題都是經(jīng)過專家反復(fù)推敲，最能反映相關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法應(yīng)用的典型題目，歷屆高考試卷中來自課本原題或改編題的考題比比皆是。因此，課本的習(xí)題理應(yīng)成為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。本課例的背景就是來源于課本，由課本題展開并延伸拓展，讓學(xué)生對高大上的高考題不再畏懼。

3.源于典型的高考題。

選擇一些典型高考題作為復(fù)習(xí)題有助于我們在復(fù)習(xí)中準(zhǔn)確把握高考的命題方向，克服復(fù)習(xí)中出現(xiàn)一些偏題、怪題。但在使用高考題時(shí)要注意和復(fù)習(xí)的專題相吻合，不可生搬硬套，沖淡復(fù)習(xí)的主題。本專題中的“活動3：數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接高考”中的習(xí)題均是選自近幾年的高考題，讓學(xué)生體會阿波羅尼斯圓在高考題中的呈現(xiàn)形式。

四、“微專題”復(fù)習(xí)課的教學(xué)，注重課堂的生成

課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)和生成的有機(jī)融合，預(yù)設(shè)是為了更好地生成?！拔ｎ}”復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，更要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生回顧和梳理問題解答的過程，體會它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，最好讓學(xué)生自主生成串起這個(gè)專題的一條“主線”，進(jìn)而在頭腦中形成對一類問題的本質(zhì)認(rèn)識。因此，“微專題”復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生對解決本專題問題的一般思想方法的生成上，而不是在單個(gè)題目的具體解法上，否則，這樣的專題教學(xué)會異化為同類題的綜合訓(xùn)練，起不到專題復(fù)習(xí)的效果。例如在本專題的教學(xué)中，筆者將教學(xué)的重點(diǎn)放在以下兩個(gè)方面：一是幫助學(xué)生自主構(gòu)建阿波羅尼斯圓定義的基本方法，二是讓學(xué)生體會函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

以上是筆者對“微專題”在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一些實(shí)踐和思考，由于“微專題”是立足于具體的學(xué)情、教情和考情而靈活設(shè)置的專題，沒有現(xiàn)成的復(fù)習(xí)資料可以照搬，對如何提高這種形式的復(fù)習(xí)課的效果、還有待各位專家和同仁不斷研究和實(shí)踐，以更好提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)‘微專題教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題編號：D/2015/02/165）的階段研究成果之一。