顧文彬，陸 鳴，2，劉建青，董勤星，陳江海，王振雄

（1.解放軍理工大學(xué) 野戰(zhàn)工程學(xué)院，南京210007；2.武漢軍械士官學(xué)校，武漢430075）

近年來(lái)，受全球極端氣候變化和地震活動(dòng)的影響，世界各國(guó)重大自然災(zāi)害頻發(fā)。然而，大量救援工作卻因自然災(zāi)害導(dǎo)致的道路、橋梁被破壞以及深塹峽谷和江河的阻斷，貽誤了72h最佳救援時(shí)機(jī)，造成災(zāi)區(qū)民眾生命和財(cái)產(chǎn)的重大損失。因此，研究一種能快速形成空中索道，克服深塹峽谷等障礙，渡送救援物資和人員的技術(shù)與裝備是國(guó)家減災(zāi)防災(zāi)領(lǐng)域亟待解決的問(wèn)題。

制導(dǎo)火箭拋繩技術(shù)能夠在復(fù)雜地理與氣象條件下和極短時(shí)間內(nèi)，將工作索快速而精確地送達(dá)彼岸，形成大跨度救援空中通道，滿足應(yīng)急救援人員和物資的渡送要求。因此，制導(dǎo)火箭拋繩技術(shù)與裝備研制對(duì)提高災(zāi)害救援的效率，提升當(dāng)前國(guó)家整體應(yīng)急救援保障能力具有十分重要的意義。而火箭拋繩系統(tǒng)的飛行動(dòng)力學(xué)理論是該問(wèn)題研究的難點(diǎn)和關(guān)鍵。

制導(dǎo)火箭拋繩的工作過(guò)程是：火箭通過(guò)鋼絲繩與高強(qiáng)度工作繩一端連接，繩索被整齊地碼在儲(chǔ)繩箱內(nèi)；發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火后，在火藥氣體推力作用下，火箭沿滑軌向空中飛出，牽引儲(chǔ)繩箱里工作繩飛向瞄準(zhǔn)點(diǎn)。參與飛行的繩索為變質(zhì)量柔性系統(tǒng)，它具有無(wú)限自由度，動(dòng)力學(xué)特性非常復(fù)雜。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于火箭拖帶軟繩索飛行的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究較少［1－3］。

本文基于 Kane方法［4］，采用“有限段思想”［5－6］對(duì)繩索進(jìn)行建模，建立了拋繩火箭飛行動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析。通過(guò)該項(xiàng)研究，提出較為精確的拋繩火箭飛行的動(dòng)力學(xué)模型，為研究繩子對(duì)拋繩火箭飛行的擾動(dòng)以及拋繩火箭制導(dǎo)控制提供理論模型。

1 火箭拋繩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)飛行建模

1.1 基本假設(shè)

假設(shè)火箭和繩子在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；火箭簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量點(diǎn)；參與飛行的繩索均勻離散為n個(gè)繩段，從火箭拉起端到剛離開地面端標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n。前n－1段每段長(zhǎng)度為li，第n段為變長(zhǎng)度變質(zhì)量繩段；不考慮繩段的軸向伸長(zhǎng)和彎曲，每個(gè)繩段質(zhì)量集中在遠(yuǎn)離火箭的一端，大小等于該段的質(zhì)量；段與段之間通過(guò)鉸鏈連接。在繩索不斷被拉出的過(guò)程中，當(dāng)最后一段的長(zhǎng)度達(dá)到設(shè)定條件時(shí)，長(zhǎng)度不再變化，并拉起一個(gè)新的繩段n＋1。

1.2 火箭拋繩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

建立圖1所示慣性坐標(biāo)系，以火箭發(fā)射點(diǎn)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，火箭射向的水平方向?yàn)閤軸，豎直向上方向?yàn)閥軸，火箭拋繩系統(tǒng)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

1.2.1 位置分析

設(shè)某時(shí)刻火箭的位置為（xR（t）yR（t））T，第i個(gè)繩段與y軸的夾角為θi（t），i＝1，2，…，n。選取火箭位置（xR（t），yR（t）），以及每個(gè)繩段與y軸的夾角θi（t）為廣義坐標(biāo)，則共有n＋2個(gè)廣義坐標(biāo)。每個(gè)繩段集中質(zhì)量點(diǎn)處的位置坐標(biāo)為

圖1 簡(jiǎn)化模型圖

1.2.2 速度分析

對(duì)火箭和每段繩段的位置進(jìn)行求導(dǎo)則得到它們的速度。令（t）＝ωi（t），則火箭速度為（xR（t）yR（t））T，每個(gè)繩段集中質(zhì)量點(diǎn)處的速度為

1.2.3 偏速度分析

根據(jù)Kane方法推導(dǎo)得各集中質(zhì)量點(diǎn)相對(duì)于各廣義速度的偏速度uij表達(dá)式：

對(duì)偏速度求導(dǎo)，得到各偏速度的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式：

1.2.4 加速度分析

對(duì)火箭和每段繩段的速度進(jìn)行求導(dǎo)可得到它們的加速度，則火箭及每個(gè)繩段集中質(zhì)量點(diǎn)處的加速度為

1.3 動(dòng)力學(xué)分析

1.3.1 廣義主動(dòng)力

廣義主動(dòng)力是指作用在火箭拖繩系統(tǒng)上的主動(dòng)力，由重力Fg、空氣動(dòng)力Fd、推力Fp和末段繩子受力Ft等組成，用FL表示。

1）重力。

火箭的質(zhì)量為mR，火箭所受重力為

繩子的線密度為ρl，每段繩段的質(zhì)量為mi＝ρlli，每段繩段所受重力為

2）空氣動(dòng)力。

火箭在空氣中飛行要受到空氣動(dòng)力的作用。實(shí)驗(yàn)分析表明：作用在火箭上的空氣動(dòng)力與來(lái)流的動(dòng)壓以及火箭的特征面積成正比［7］。假設(shè)火箭彈軸與速度矢量重合，則作用于火箭的空氣動(dòng)力沿彈軸向后，空氣阻力為

式中：CR為火箭的阻力系數(shù)，SR為火箭的特征面積，動(dòng)壓為火箭所處高度的空氣密度，vRx、vRy分別為火箭在x軸和y軸方向上的速度。

由于柔軟織物具有透氣性，所以準(zhǔn)確計(jì)算繩索所受氣動(dòng)力是非常困難的［8］。考慮到工程需求，采用與火箭所受空氣阻力相似的方法，得每段繩段所受空氣阻力：

式中：Ci為第i個(gè)繩段的阻力系數(shù)，Si為第i個(gè)繩段的特征面積，qix、qiy為第i個(gè)繩段x軸和y軸方向上的動(dòng)壓。

3）推力。

火箭點(diǎn)火后，發(fā)動(dòng)機(jī)開始工作，火藥氣體燃燒，燃燒產(chǎn)物從噴管噴出，從而推動(dòng)火箭向前飛行。這是推動(dòng)火箭飛行的動(dòng)力，該力一直作用在火箭上直到發(fā)動(dòng)機(jī)工作結(jié)束，稱為推力。假設(shè)推力沿著火箭彈軸方向，大小為Fp，則：

式中：Fpx、Fpy分別為推力沿x軸和y軸的分量。

4）末段繩段所受力。

繩子被不斷拉出的過(guò)程中，末段繩段的受力相當(dāng)復(fù)雜，根據(jù)Wolf的直線拉出模型［9］，假設(shè)末段繩段所受力為Ft，則：

式中：Ftx、Fty分別為末段繩段所受力沿x軸和y軸的分量。

5）主動(dòng)力合力。

主動(dòng)力合力用Fz表示，它的表達(dá)式為

其矩陣形式可表達(dá)為

6）廣義主動(dòng)力。

根據(jù)Kane法，第j個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義主動(dòng)力為

整個(gè)系統(tǒng)的廣義主動(dòng)力為

1.3.2 廣義慣性力

廣義慣性力用F＊L表示。根據(jù)Kane法，第j個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義慣性力為

式中：j＝1，2，…，n＋2。

整個(gè)系統(tǒng)的廣義慣性力為

式中：u、、分 別 為uij、、的 矩 陣 形 式，M＝diag｛m0，m1，…，mn｝。

1.4 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)Kane方程：

將式（17）代入式（18），得：

移項(xiàng)得：

式（20）可寫為

式中：A＝uTMu，B＝FL－uT

式（21）包含n＋2個(gè)方程，共有n＋2個(gè)變量，故可解算得火箭及各繩段的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。

2 仿真計(jì)算與討論

2.1 物理模型

按照所建模型，以某火箭為例進(jìn)行計(jì)算，模型參數(shù)：火箭長(zhǎng)1m，直徑為122mm，質(zhì)量20kg，火藥質(zhì)量為2.33kg，火箭總沖為4 770N·s，工作時(shí)間0.43s，繩索線密度為0.43kg／m，繩索每段取為1m，發(fā)射角度分別為25°、35°、45°、55°和65°。

2.2 運(yùn)動(dòng)規(guī)律

①射角分別為25°、35°、45°、55°和65°時(shí)，火箭運(yùn)動(dòng)軌跡的變化規(guī)律如圖2所示。從圖2中可以看到：彈道不對(duì)稱性顯著，降弧比升弧陡，頂點(diǎn)距離遠(yuǎn)大于半射程；隨著射角增大，彈道頂點(diǎn)的高度不斷增加，而射程先是相應(yīng)增大，當(dāng)射角達(dá)到某一值后又逐漸減小；在相同條件下，存在一個(gè)使拋繩火箭最大射程的射角。

圖2 不同射角的彈道軌跡

②火箭速度vR隨不同射角的變化規(guī)律如圖3所示。從圖3中可以看到：速度在很短的時(shí)間內(nèi)由0達(dá)到最大值，而后開始減小，減小到極小值后又開始增大。主要是在主動(dòng)段內(nèi)，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力遠(yuǎn)比空氣阻力、火箭和拉起繩子的重力以及末段繩子所受力大，所以火箭速度快速增加直到達(dá)到最大值。主動(dòng)段結(jié)束后，發(fā)動(dòng)機(jī)工作結(jié)束，此時(shí)火箭在慣性作用下仍繼續(xù)上升，但受到空氣阻力、重力以及繩子拉力的作用，速度開始不斷減小，直到火箭到達(dá)彈道頂點(diǎn)。過(guò)頂點(diǎn)后，火箭運(yùn)動(dòng)方向改為向下運(yùn)動(dòng)，重力加速了這種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，速度很快降到極小值后又開始增加直到火箭落地；隨著射角增大，火箭在空中飛行的時(shí)間也增加，火箭的落點(diǎn)速度也相應(yīng)增加。

圖3 不同射角下火箭速度曲線圖

③火箭彈道傾角αR隨不同射角的變化規(guī)律如圖4所示。從圖4中可以看到：在初期彈道傾角變化較平緩，隨著火箭的飛行，彈道傾角快速減小并由正值變?yōu)樨?fù)值，過(guò)零點(diǎn)后繼續(xù)減小直至落點(diǎn)。主要是在初期，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力起主導(dǎo)作用，彈道傾角變化較緩，發(fā)動(dòng)機(jī)工作結(jié)束后，重力起主導(dǎo)作用，迫使火箭低頭，彈道傾角為0時(shí)對(duì)應(yīng)彈道頂點(diǎn)；當(dāng)射角從25°到65°變化時(shí)，火箭落地時(shí)的角度都比較大，火箭的降弧比較陡。

圖4 不同射角下火箭彈道傾角曲線圖

④射角為45°時(shí)，拋繩火箭飛行到1.6s、3.7s、5.8s、7.9s時(shí)繩子在空中飛行的狀態(tài)如圖5所示。

圖5 不同時(shí)刻繩索的飛行狀態(tài)圖

可以看到：一開始繩子比較平直，到了飛行后期，繩子中間部分出現(xiàn)向上凸的形狀。主要是因?yàn)轱w行初期，火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力很大，火箭速度很快，基本在一直線上運(yùn)動(dòng)，繩子被快速拉出，因此，繩子較平直；到了飛行后期，火箭速度減小，繩索后端運(yùn)動(dòng)滯后于前端，同時(shí)由于空氣阻力的作用，繩索形成中間部分向上凸的現(xiàn)象，符合實(shí)際情況。

⑤射角為45°時(shí)，火箭的加速度aR－時(shí)間t曲線如圖6所示?？梢钥吹剑涸诔跏紩r(shí)刻加速度為正值，且值較大，隨后開始減小，到0.43s時(shí)突變?yōu)樨?fù)值，并繼續(xù)減小，減小到最小值后開始增大，并越過(guò)零點(diǎn)又變?yōu)檎?，然后曲線變化較平坦。加速度一開始很大是因?yàn)榇藭r(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)推力起主要作用。隨著速度的增加以及參與飛行的繩子增多，火箭受到空氣阻力以及繩子拉力也相應(yīng)增加，因此，火箭加速度開始減小。加速度發(fā)生突變是因?yàn)榘l(fā)動(dòng)機(jī)工作結(jié)束沒(méi)有了推力，而空氣阻力以及繩子拉力與火箭的運(yùn)動(dòng)方向相反。加速度由最小值增大過(guò)零點(diǎn)的時(shí)刻對(duì)應(yīng)火箭速度最小值的時(shí)刻。

圖6 火箭加速度曲線圖

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)拋繩火箭進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，考慮了作用在火箭和被拉起繩子上的作用力，并將其等效為廣義主動(dòng)力和慣性力，建立了拋繩火箭飛行的動(dòng)力學(xué)模型。

對(duì)拋繩火箭進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，該動(dòng)力學(xué)模型能夠有效地實(shí)現(xiàn)拋繩火箭的數(shù)值仿真，揭示運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是一種切實(shí)可行的理論模型。

該動(dòng)力學(xué)模型的建立對(duì)下一步研究拋繩火箭飛行的擾動(dòng)以及拋繩火箭的制導(dǎo)、飛行控制具有理論指導(dǎo)意義。

［1］吳小平，鄭友祥，丘光申.拖纜火箭彈道計(jì)算研究［J］.彈道學(xué)報(bào)，1995，7（1）：41－49.WU Xiao－ping，ZHENG You－xiang，QIU Guang－shen.Study on ballistics calculation of line throwing rocket［J］.Journal of Ballistics，1995，7（1）：41－49.（in Chinese）

［2］吳宏，李開明.直列裝藥火箭爆破器爆炸帶空氣阻力特性研究［J］.工兵裝備研究，2003，22（6）：42－44.WU Hong，LI Kai－ming.Study on the air resistance characteristics in explosive hose of rocket－propelled line charge demolition device［J］.Engineer Equipment Research，2003，22（6）：42－44.（in Chinese）

［3］吳宏，王勇.柔性體的有限質(zhì)點(diǎn)模型彈道計(jì)算研究［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào)，2006，26（3）：162－165.WU Hong，WANG Yong.Study of ballistic calculation in finite particles model of flexible body［J］.Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2006，26（3）：162－165.（in Chinese）

［4］休斯頓，劉又午.多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)［M］.天津：天津大學(xué)出版社，1987.HUSTON R L，LIU Y W.Dynamics of multibody systems［M］.Tianjin：Tianjin University Publishing House，1987.（in Chinese）

［5］HUSTON R L，KAMMAN J W.Validation of finite segment cable models［J］.Computers and Structures，1982，15（6）：653－660.

［6］WANG Y，HUSTON R L.A lumped parameter method in the nonlinear analysis of flexible multibody systems［J］.Computers and Structures.1994，50（3）：421－432.

［7］韓子鵬.彈箭外彈道學(xué)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2008.HAN Zi－peng.Ballistics of projectile and rocket［M］.Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2008.（in Chinese）

［8］MCVEY D F，WOLF D F.Analysis of deployment and inflation of large parachute［J］.Journal of Aircraft，1974，11（2）：96－103.

［9］WOLF D.Dynamics stability of a nonrigid parachute and payload system［J］.Journal of Aircraft，1971，8（8）：603－609.