茅雅琳

[摘 要] 南通中考數(shù)學卷在知識內(nèi)容、題型、題量、難度等方面總體保持穩(wěn)定，重視對知識、技能、能力和情感狀況的考查，適度體現(xiàn)對學生解決問題能力的要求. 文中以一道南通中考題為例，分析試題特色. 該題緊扣課標要求，把握考查方向；立足教材原題，注重能力立意；拓寬思維空間，引爆精彩解法.

[關鍵詞] 課標要求；教材原題；解法特色

原題再現(xiàn)

如圖1，點E是菱形ABCD的對角線CA的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD.連接EB，GD.

（1）求證：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的長.

特色分析

1. 緊扣課標要求，把握考查方向

新課標中明確指出：對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握課程內(nèi)容中的要求.關于菱形，課標要求“探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直；以及他們的判定定理：四條邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”.本題已知兩個四邊形為菱形，考查學生對菱形的性質(zhì)定理——菱形的四條邊都相等，并且對角線平分一組對角的掌握情況. 已知條件中給出了兩個菱形相似，課標中有關知識要求是“了解相似多邊形”，故本題中，只要求學生能夠由已知菱形相似，得出對應角相等；而關于全等三角形的判定，課標中的要求是“掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”，故本題第一小問，就是要求學生能夠清晰地書寫出證明過程. 至于第二小問求線段的長度，課標的要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題”，這里就是考查學生運用勾股定理解決簡單的線段長度計算的問題.本題嚴格遵照課標對不同內(nèi)容的不同能級要求，精確定位考查方向，很好地在課標的指導下，考查了學生四基，即基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的掌握情況.

2. 立足教材原題，注重能力立意

本題原型來自于人教版義務教育教科書初中數(shù)學八年級上冊83頁第12題：

如圖2，△ABD和△AEC都是等邊三角形，求證：BE=DC.

首先本題立足教材原題.將原題中的等邊三角形改為菱形，雖然改變了圖形，但是圖形的基本特征沒有變化，仍是鄰邊相等及兩邊的夾角相等，問題一的證明方法與原題相同.

其次本題又在原題的基礎上有所提升.原題中兩邊的夾角相等是由已知等邊三角形直接得出，而本題是由菱形相似得出，加入了對相似多邊形性質(zhì)的理解.另外本題中用到的知識有：①菱形的性質(zhì)；②相似多邊形的性質(zhì)；③全等三角形的判定；④特殊角的三角函數(shù)值；⑤二次根式的運算；⑥勾股定理.這些初中數(shù)學的重要概念定理的有效整合使本題顯得大氣磅礴.

最后，本題的編制注重能力立意.第一小問，利用兩邊及其夾角證明兩個三角形全等，意在考查學生的演繹推理能力；至于第二小問，通過分解圖形，可以發(fā)現(xiàn)，其實質(zhì)就是如圖3的三角形中，已知兩邊及其夾角，求第三條邊DG的長，這就需要學生具備一定的分析問題和抽象概括的能力，同時也考查了學生的計算能力.

3. 拓寬思維空間，引爆精彩解法

本題滿分10分，全市均分為7.36分，難易程度適中.第一小問，與教材原題類似，學生得分率較高，這樣就保證學生在獲得基本分的前提下，騰出更多的時間思考第二小問，由此，在閱卷中涌現(xiàn)了很多精彩的解法：

解法1（如圖4）：

延長CD，GA交于點H，可證得∠H=90°.

在菱形ABCD中，∠DAB=60°，

所以∠1=30°，∠EAG=∠BAD=60°.

所以∠2=30°.

所以AH=AD·cos30°=，DH=AD·sin30°=1.

在Rt△HDG中，

GD

解法特色 先利用30°角的三角函數(shù)值求出線段AH和DH的長，再利用勾股定理，求出線段GD的長.考查了對勾股定理的掌握程度，以及解直角三角形和運用勾股定理解題的能力.

解法2（如圖5）：

作DH⊥AB于H，連接GH.

因為∠DAB=60°， 所以∠1=30°，

所以∠GAB=∠DHA=90°，

所以AG∥DH.

又在Rt△ADH中，

AH= AD·cos60°=1，DH= AD·sin60°=，

所以AG=DH.

所以四邊形AGHD是平行四邊形.

所以GD=2DO=2.

解法特色 先通過一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形，利用勾股定理求出GD的一半，再由平行四邊形對角線互相平分這一性質(zhì)得GD的長.考查了對平行四邊形的判定和性質(zhì)的運用.

解法3（如圖6）：

連接BD，

在菱形ABCD中， BD⊥AC.

又因為∠DAB=60°，

所以∠1=30°.

在Rt△ABO中，BO=1，AO=；

在Rt△EBO中，EB=.

由△ABE≌△ADG得GD=EB=

解法特色 借助第一小題證得的結(jié)論，將所求線段GB轉(zhuǎn)化為求線段EB的長，再利用菱形的對角線互相垂直，由勾股定理可求得線段的長.考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理的運用.

解法4（如圖7）：

如圖，建立平面直角坐標系，

可求得點D的坐標為（，1），

點G的坐標為-.

由勾股定理得

DG=.

解法特色 通過建立直角坐標系，將求線段的長轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離，考查了對平面內(nèi)點的坐標的理解，以及數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學解題中的運用能力.

由于不同的學生對問題的理解程度不同，解決問題的策略不同，表現(xiàn)出來的解題方法不盡相同.以上四種解法中，解法1和解法4，是直接求出線段的長，而解法2和解法3，則是間接法計算.其中解法2，先求出線段的一半；而解法3，利用問題1中已得出的結(jié)論，先求線段BE的長；至于解法4，建立平面直角坐標系，借助坐標算出線段的長度，體現(xiàn)了很好的轉(zhuǎn)化思想.以上四種解法殊途同歸，最后都用勾股定理求得線段的長.

總之，本題既能以學生為本，注重考查學生的四基，給學生以較為廣闊的解題切入口，又能有效引領教師的教學，注重培養(yǎng)學生的思維能力.中考試題的編制是命題教師認真研讀課標，鉆研教材的結(jié)晶，認真分析試題，可以幫助一線教師明確命題方向，把握教學動態(tài)，更好地為學生服務.

本文成稿過程中，參考了南通市教研室袁亞良老師所作的講座《新課程下中考數(shù)學試卷的命制技術》，在此表示感謝.endprint