陳燕

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)圖象教學(xué)是一個重點和難點. 傳統(tǒng)的教學(xué)中，函數(shù)圖象的認(rèn)識往往集中在描點法作圖，并利用圖象解決數(shù)學(xué)問題上，這種知識應(yīng)用導(dǎo)向的教學(xué)架構(gòu)不利于學(xué)生形成持續(xù)有效的能力；思維導(dǎo)向的教學(xué)可以讓學(xué)生在圖象學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)識到圖象的意義；反比例函數(shù)的教學(xué)中，學(xué)生可以認(rèn)識到圖象上以及圖象之外的點共同存在的意義. 思維導(dǎo)向可以改善當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)架構(gòu)，可以提高學(xué)生的解題能力，更可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；圖象；思維導(dǎo)向；教學(xué)實踐；反比例函數(shù)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，文字、公式、圖象等，成為表示數(shù)學(xué)內(nèi)容的主要形式，從教學(xué)內(nèi)容的角度來看，這些都是教學(xué)對象，也是學(xué)生需要理解或掌握的技能，比如在函數(shù)知識的教學(xué)中，讓學(xué)生用文字去表述函數(shù)的特征，用公式去對函數(shù)的相關(guān)問題進(jìn)行解決，用圖象對函數(shù)特征進(jìn)行另一角度的描述，都是數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)內(nèi)容. 就函數(shù)（下文一般指正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)）圖象而言，如果僅以教學(xué)內(nèi)容的視角對待，似乎有著諸多的不足，比如說利用圖象去描述正比例函數(shù)的特征，就只是通過描點法在直角坐標(biāo)系上作出一根直線而已，而從思維的角度去審視圖象的教學(xué)，就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生在構(gòu)建圖象或者說利用圖象來表述知識的過程中，存在著更多需要關(guān)注的細(xì)節(jié). 本文試以筆者的教學(xué)實踐為基礎(chǔ)，談?wù)剰膶W(xué)生思維的角度進(jìn)行函數(shù)圖象教學(xué)的一些感受.

思維角度下函數(shù)圖象構(gòu)建的過

程分析

函數(shù)圖象在用來表述數(shù)學(xué)內(nèi)容之前，首先有一個函數(shù)圖象的產(chǎn)生過程，之所以稱之為過程，是因為筆者想從函數(shù)圖象構(gòu)建的角度來理解其教學(xué)，也就是說不只是將函數(shù)圖象當(dāng)成教學(xué)的對象，而且要將函數(shù)圖象當(dāng)成學(xué)生用來表述數(shù)學(xué)知識的一種工具.

以反比例函數(shù)的圖象教學(xué)為例，在知道了反比例函數(shù)的解析式為y=（k為常數(shù)且不為0）之后，提出的問題一般是：能否仿照正比例函數(shù)去作出反比例函數(shù)的圖象呢？這一問題從數(shù)學(xué)知識的邏輯性上來看，沒有任何的問題. 因為在正比例函數(shù)的教學(xué)中，可能就是遵循這樣的順序的；但在筆者看來，這樣的提問實際上仍然在無意當(dāng)中將反比例函數(shù)的圖象僅僅當(dāng)成了教學(xué)內(nèi)容，于是讓學(xué)生用描點法作出圖象可能就成為一個純粹的技術(shù)活兒——這一判斷的背后意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程可能是一種機器人式的學(xué)習(xí)，即由教師或教科書輸入作出函數(shù)圖象指令（作圖步驟），然后學(xué)生按步驟作出函數(shù)的圖象.

這樣的學(xué)習(xí)過程從結(jié)果上來看沒有任何的問題，甚至還有可能獲得高效教學(xué)的評價，因為學(xué)生可以在很短的時間內(nèi)獲得作出反比例函數(shù)的技能，效率無疑是高的. 但從學(xué)生思維發(fā)展的角度來看，則又存在問題：這種機器人式的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生純粹是獲得一種作圖的技能，而不是用圖象去表述反比例函數(shù)特點的理解. 因此，學(xué)生所作出的圖象很可能孤立在學(xué)生所建構(gòu)出的反比例函數(shù)的知識之外.

相反，如果從思維發(fā)展的角度來引導(dǎo)學(xué)生作圖，則過程應(yīng)當(dāng)是這樣理解的：學(xué)生在掌握了正比例函數(shù)作圖的基礎(chǔ)上（關(guān)于正比例函數(shù)的圖象，可以采用傳統(tǒng)的作圖教學(xué)思路，也可以采用思維導(dǎo)向的作圖思路，這個要視學(xué)生的學(xué)情而定），讓學(xué)生去反思正比例函數(shù)圖象的作用，教師的目的在于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，圖象是表述正比例函數(shù)特征的一種方式，圖象上y值隨x值的變化規(guī)律相比于表格而言，更直觀，更形象，因此是一種很好的表述手段；而到了反比例函數(shù)圖象的教學(xué)中，教師提出的問題可以是：如果要更為直觀地表述反比例函數(shù)中y值隨x的變化而變化的規(guī)律，那我們可以采用什么樣的方法？學(xué)生對于這個問題的回答，直接反映出學(xué)生原有的對正比例函數(shù)圖象的認(rèn)知；而在學(xué)生反映出可以用圖象來表述時，教師則可以進(jìn)一步引出作圖的話題，從而也就打開了思維導(dǎo)向下反比例函數(shù)圖象教學(xué)的大門.

基于思維的函數(shù)圖象構(gòu)建的教

學(xué)實踐

基于學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律去實施反比例函數(shù)的教學(xué)，筆者稱之為思維導(dǎo)向. 思維導(dǎo)向下反比例函數(shù)圖象的教學(xué)一般需要經(jīng)過這樣的幾個過程：

第一步，引導(dǎo)學(xué)生思考圖象是如何生成的. 從技術(shù)的角度來看，函數(shù)是通過描點法生成的，這個時候顯然需要學(xué)生借助于反比例函數(shù)的解析式，通過具體的數(shù)值代入，以在坐標(biāo)系上得到一些具有典型意義的點，然后用平滑的曲線將這些點連出來，就形成了反比例函數(shù)的圖象. 這樣的一個借助于正比例函數(shù)教學(xué)中形成的技能在這個地方一般不會存在多大的困難. 而思維導(dǎo)向的教學(xué)更要求學(xué)生思考：這一圖象形成的過程意味著什么？筆者以為需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到的是：圖象并不是由這幾個特殊點決定的，反比例函數(shù)的圖象嚴(yán)格意義上是直角坐標(biāo)系上所有符合反比例函數(shù)規(guī)律的點的集合，但是因為尋找所有的符合規(guī)律的點在實踐中是不可能的，因此只能選擇有代表性的來代替，以平滑曲線來完善——平滑曲線的意義理解不在于平滑，而在于引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到平滑背后是圖象與反比例規(guī)律的吻合.

第二步，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圖象是如何描述反比例函數(shù)的特征的. 反比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)的規(guī)律具有一致意義，這種意義的認(rèn)識是圖象教學(xué)中必須高度重視的內(nèi)容. 靜態(tài)的“列表—描點—連線”的方法其實能夠表述函數(shù)的部分特征，即列表、描點的過程中，學(xué)生在運用反比例函數(shù)解析式進(jìn)行定點的時候，會發(fā)現(xiàn)點與解析式之間的一致性，而在連線的時候，學(xué)生關(guān)注的往往是所確定的點，而對自己所描的線缺少認(rèn)識，這也是思維導(dǎo)向的函數(shù)圖象教學(xué)所要關(guān)注的內(nèi)容. 筆者的觀點是：引導(dǎo)學(xué)生在連線的過程中強化一種認(rèn)識，即自己所連之線，實際上是無數(shù)個符合反比例函數(shù)規(guī)律的點的集合. 事實證明，初中學(xué)生的理解能力足以化解這一難題，他們?nèi)鄙俚那∏∈沁@種認(rèn)識！

第三步，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散性思考圖象在函數(shù)中的作用. 圖象在函數(shù)中的作用是什么？很少有學(xué)生甚至是教師關(guān)心這個問題，只將其當(dāng)成一個學(xué)習(xí)內(nèi)容. 筆者以為需要在教學(xué)中加強這方面的教學(xué). 圖象意義其實非常多，筆者在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維的時候，一個重要的出發(fā)點就是讓學(xué)生思考函數(shù)圖象以外的點的含義，簡單如為什么別的點不在反比例函數(shù)的圖象上？復(fù)雜如為什么圖象不經(jīng)過原點？函數(shù)圖象為什么只共存于第一、三或第二、四象限？這些問題不是簡單的回答因為不在所以不在就能解決的，是需要思考坐標(biāo)系上所有的點中存在著反比例關(guān)系的，是需要結(jié)合反比例函數(shù)的特征去回答的.endprint

實踐證明，經(jīng)過這樣三步的教學(xué)，學(xué)生在理解反比例函數(shù)圖象的時候，就有了更多深入的理解，他們在作圖或者利用圖象去解決問題的時候，往往也能夠思考到更多方面的內(nèi)容. 需要強調(diào)的是，本課圖象的教學(xué)需要結(jié)合正比例函數(shù)圖象的教學(xué)，需要彌補正比例函數(shù)圖象教學(xué)中可能存在的不足，或當(dāng)時無法深入學(xué)習(xí)的地方，還需要向前思考一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象教學(xué)中可能存在的共同點，以為后面的圖象教學(xué)奠定基礎(chǔ).

從思維角度反思函數(shù)圖象的教

學(xué)架構(gòu)

以上的教學(xué)過程與以往的教學(xué)有所不同，筆者不再局限于圖象的作法教學(xué)，而是將教學(xué)的重心放在學(xué)生的思維上，通過對學(xué)生思維的把握，去判斷學(xué)生學(xué)習(xí)圖象具有哪些特征，或者說有哪些規(guī)律，還需要去判斷學(xué)生在圖象教學(xué)中可能存在的問題，以便在后續(xù)的教學(xué)中即時解決.

筆者以為這是一個教學(xué)架構(gòu)的問題，即用什么樣的教學(xué)思路去設(shè)計課堂的架構(gòu)的問題. 從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的角度來看，圖象相比較于文字和公式而言，是一種較為形象的手段，其是適合初中學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律的，但在學(xué)生具體構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的過程中，圖象卻又會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點. 原因就在于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)架構(gòu)不適合學(xué)生思維發(fā)展的需要，學(xué)生在傳統(tǒng)的圖象教學(xué)中只能收獲對圖象的淺顯認(rèn)識與機械的作圖步驟，很難認(rèn)識到圖象在描述數(shù)學(xué)規(guī)律上的生動的作用. 而基于學(xué)生的思維去設(shè)計課堂架構(gòu)，學(xué)生則可以在符合自身思維發(fā)展規(guī)律的前提下，逐步科學(xué)地認(rèn)識到圖象原來能夠這么巧妙地描述一個數(shù)學(xué)規(guī)律，而圖象上的點與圖象之外的點原來也存在著很多的意義.

此外，思維導(dǎo)向的圖象教學(xué)架構(gòu)，從實際應(yīng)試所需要的問題解決角度來看，也有著十分的必要性. 現(xiàn)在的中考試題非常靈活，以圖象為素材的函數(shù)難題又很多，這個時候只有學(xué)生生成真正的圖象問題解決的能力，才能有效地應(yīng)對這些難題. 顯然，思維導(dǎo)向的圖象教學(xué)的課堂架構(gòu)，可以讓學(xué)生在圖象理解方面生成強大的能力，而這個能力在遇到新穎的中考圖象題時，往往可以發(fā)揮作用，比如上面強調(diào)的發(fā)散思維，就可以引導(dǎo)學(xué)生在面對中考題時進(jìn)行發(fā)散性地思考，從而尋找到有效的解題思路，而傳統(tǒng)的知識導(dǎo)向只能得到講過的才會的結(jié)果.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到圖象問題時，需要從學(xué)生的思維發(fā)展角度設(shè)計教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識教材上所提供的圖象之外的知識，需要超越傳統(tǒng)的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圖象之外的數(shù)學(xué)意義. 而從整個數(shù)學(xué)教學(xué)來看，這樣的思路應(yīng)當(dāng)擴(kuò)展到幾乎全部數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，因為筆者注意到很多數(shù)學(xué)知識的教學(xué)還處于就事論事的階段，往往只是從應(yīng)試的角度去讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的意義，這種狹隘的認(rèn)識顯然阻礙了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，自然也就無法形成有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知. 而只有基于思維發(fā)展，學(xué)生才能真正形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，才能真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).endprint