唐高華，李 玉，吳嚴(yán)生

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530001)

群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的性質(zhì)

唐高華，李 玉，吳嚴(yán)生

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530001)

本文主要研究由模n高斯整數(shù)環(huán)Zn[i]和素?cái)?shù)階循環(huán)群G構(gòu)成的群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的性質(zhì)，分別給出了Zn[i]G的零因子圖的圍長、平面性和直徑的完全刻畫。

群環(huán)；零因子圖；圍長；平面性；直徑

0 引言

1988年，Beck在文獻(xiàn)[1]中最早給出交換環(huán)的零因子圖Γ(R)的定義：R中的每個(gè)元素都是Γ(R)的頂點(diǎn)，2個(gè)不同的頂點(diǎn)y與x有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)xy=0。1999年Anderson和Livingston在文獻(xiàn)[2]中對Beck關(guān)于交換環(huán)的零因子圖的定義進(jìn)行了修改，以環(huán)R的非零零因子集D(R)*為圖Γ(R)的頂點(diǎn)集，2個(gè)不同的頂點(diǎn)y與x有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)xy=0，并得出了關(guān)于環(huán)R的零因子圖的一些基本結(jié)果：對任意的交換環(huán)R，R的零因子圖Γ(R)是連通的，Γ(R)的直徑只能為0、1、2、3，Γ(R)的圍長只能為3、4、∞。唐高華、蘇華東等在文獻(xiàn)[3-6]給出了模n高斯整數(shù)環(huán)Zn[i]的單位群、素譜、零因子等代數(shù)結(jié)構(gòu)及其零因子圖的直徑、平面性、圍長、類數(shù)、中心集、半徑等圖結(jié)構(gòu)的刻畫。2015年，郭述峰等在文獻(xiàn)[7]中刻畫了群環(huán)ZnG的零因子圖的圍長、直徑和平面性，其中G為素?cái)?shù)階群。本文主要完全刻畫群環(huán)Zn[i]G的零因子圖Γ(Zn[i]G)的圍長、平面性和直徑，其中Zn[i]={a+bi|a，b∈Zn，i2=-1}為模n高斯整數(shù)環(huán)，G=〈a：ap=1〉為素?cái)?shù)p階群。

圖Γ是完全圖是指它的每一對不同的頂點(diǎn)都有一條邊相連。用Kn表示含有n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，用Kn，m表示完全二部圖。圖Γ上的兩點(diǎn)u、v之間的距離是指u和v之間的所有路徑中最短的長度，記為d(u,v)。圖Γ的直徑diam(Γ)=sup{d(u,v)|u,v∈V(Γ)}。圖Γ的圍長是指圖Γ中最短的圈長，用gr(Γ)表示，若圖Γ中不含圈，則定義gr(Γ)=∞。圖Γ是平面圖是指它能畫在平面上使得它的邊僅在端點(diǎn)相交。用|A|表示集合A的基數(shù)，A*=A-{0}，J(R)表示環(huán)R的Jacobson根。

1 預(yù)備知識

引理1(文獻(xiàn)[8]定理9.10) 一個(gè)圖是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)它不包含K5或K3,3的剖分圖。

引理2(文獻(xiàn)[9]命題19.10) 設(shè)K是一個(gè)特征為p>0的域，G是一個(gè)有限p群，則KG為局部環(huán)，且KG的增廣理想就是它的Jacobson根，J(A)|G|=0，A/radA≌K。

引理3(文獻(xiàn)[9]命題19.11) 設(shè)(R,m)是一個(gè)交換局部環(huán)且K=R/m的特征p>0，則對任意的有限p群G，群代數(shù)A=RG是一個(gè)局部環(huán)。

由引理4可推出引理5。

引理5 設(shè)n與p為互不相同的素?cái)?shù)，則：

②當(dāng)p|(n-1)時(shí)，xp-1+…+x+1在Zn[x]中完全可約。

引理6 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，n≡3(mod 4)，且n和p為互不相同的素?cái)?shù)，則同余方程xp≡1(modn)有除1以外的解當(dāng)且僅當(dāng)p|(n2-1)。

證明 當(dāng)n≡3(mod 4)，且n為素?cái)?shù)時(shí)，Zn[i]為n2元有限域，其單位群是n2-1階的循環(huán)群，則xp≡1(modn)在Zn[i]中有除1以外的解當(dāng)且僅當(dāng)p|(n2-1)。證畢。

綜合引理5與引理6易知存在互不相同的素?cái)?shù)n和p，使得xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可約但在Zn[i][x]中可約。

引理7(文獻(xiàn)[7]定理1) 設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則：

①gr(Γ(ZnG))=∞當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)n=p=2；

(b)n=2，p≠2。

②gr(Γ(ZnG))=3當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)p|n且當(dāng)p=2時(shí)n≠2；

(b)(p,n)=1且n為合數(shù)；

(c)n與p為互不相同的素?cái)?shù)，p≠2，且p|(n-1)。

③gr(Γ(ZnG))=4當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)p=2，n為奇素?cái)?shù)；

引理8(文獻(xiàn)[5]定理3) 設(shè)R=Zn[i]，則：

①當(dāng)n=2，p或2p，p是素?cái)?shù)且p≡3(mod 4)時(shí)，gr(Γ(R))=∞；

②當(dāng)n=p1p2，且p1、p2均是模4 余3的素?cái)?shù)或n=p，p是模4余1的素?cái)?shù)時(shí)，gr(Γ(R))=4；

③其他情況下，gr(Γ(R))=3。

引理9(文獻(xiàn)[11]推論3.6.9) 設(shè)R是一個(gè)環(huán)，G是一個(gè)有限群，如果|G|在R中可逆，則RG≌R⊕Δ(G)。

引理10(文獻(xiàn)[12]定理22)Γ(Zn[i])是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)n=2或4。

引理11(文獻(xiàn)[7]定理3) 設(shè)Zn為模n剩余類環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則Γ(ZnG)為平面圖當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一成立：

①n=p=2；②n=p=3；③n=4，p=2；④n=3，p=2；⑤n=2，p≠2；⑥n=3，p≥5。

引理13 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G=〈a〉為素?cái)?shù)p階群，(n,p)=1，Δ(G)為群環(huán)Zn[i]G的增廣理想，則a-1是Δ(G)中的正則元，即若(a-1)β=0，β∈Δ(G)，則必有β=0。

證明 若(a-1)β=0，β∈Δ(G)，則存在xi∈Zn[i]，i=1,2,…,p-1，使得β=x1(a-1)+x2(a2-1)+…+xp-1(ap-1-1)。 于是(a-1)β=(x1+x2+…+2xp-1)-(2x1+x2+…+xp-1)a+(x1-x2)a2+…+(xp-2-xp-1)ap-1=0，從而xi=x1，?2≤i≤p-1，故有px1=0，又(p,n)=1，所以x1=0，于是β=0，故a-1是Δ(G)中的正則元。證畢。

圖1 Z2[i]G的零因子圖Fig.1 The zero-divisor graphof Z2[i]G

引理14(文獻(xiàn)[2]定理2.3) 設(shè)R是交換環(huán)，則Γ(R)是連通圖，且diam(Γ(R))≤3。

下面先給出1個(gè)有用的例子。

例1 設(shè)Z2[i]為模2高斯整數(shù)環(huán)，G=〈a〉為2階群，則Z2[i]={0,1,i,1+i}，G={1,a}，D(Z2[i]G)={0,1+i,(1+i)a,1+a,i(1+a),1+i+(1+i)a,i+a,1+ia}，Z2[i]G的零因子圖如圖1所示，易知Γ(Z2[i]G)的直徑為2，圍長為3，它是平面圖。

2 Γ(Zn[i]G)的圍長

由于群環(huán)ZnG的零因子圖是群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的子圖，結(jié)合圖的圍長的定義及引理7，我們可得到下面引理15。

引理15 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，若以下條件(a)、(b)、(c)中有一個(gè)成立，則gr(Γ(Zn[i]G))=3：

(a)p|n且當(dāng)p=2時(shí)n≠2；

(b)(p,n)=1且n為合數(shù)；

(c)n與p為互不相同的素?cái)?shù)，p≠2，且p|(n-1)。

因此，要刻畫群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的圍長，只需要考慮以下4種情況：

①n=p=2；

②n=2，p≠2；

③p=2，n為奇素?cái)?shù)；

下面以引理的形式分別就上面4種情況給出結(jié)果。

引理16 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則：

①n=p=2時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=3；

②n=2，p≠2時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

證明 當(dāng)n=p=2時(shí)，由例1知，gr(Γ(ZnG))=3。當(dāng)n=2，p≠2時(shí)，在Γ(Zn[i]G)中，1+i—(1+i)a—(1+i)a2—1+i構(gòu)成一個(gè)長為3的圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。證畢。

引理17 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則：

①p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡3(mod 4)時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=4；

②p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡1(mod 4)時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

證明 當(dāng)p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡3(mod 4)時(shí)，Zn[i]為n2元有限域，且易知Zn[i]G≌Zn[i]⊕Zn[i]，此時(shí)Zn[i]G是2個(gè)域的直和，故Γ(Zn[i]G)是完全二部圖。又因?yàn)閨Zn[i]|≥9，故gr(Γ(Zn[i]G))=4。當(dāng)p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡1(mod 4)時(shí)，由引理8知gr(Γ(Zn[i]))=4，不妨設(shè)x—y—w—z—x是Γ(Zn[i])中的一個(gè)圈。再由引理9知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)，于是(x,0)—(y,z(a-1))—(0,x(a-1))—(x,0) 就是Γ(Zn[i]G)中的一個(gè)圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。證畢。

②當(dāng)n≡3(mod 4)，p|(n+1)時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=3；

③當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

(1,0,0,…,0)—(0,1,0,…,0)—(0,0,1,0,…,0)—(1,0,0,…,0)

構(gòu)成一個(gè)長為3的圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。 當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)，類似引理17可證，gr(Γ(Zn[i]G))=3。證畢。

綜合引理15～18，我們給出群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的圍長的一個(gè)刻畫：

定理1 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則：

①gr(Γ(Zn[i]G))=3當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)p|n且當(dāng)p=2時(shí)n≠2；

(b)(p,n)=1且n為合數(shù)；

(c)n與p為互不相同的素?cái)?shù)，p≠2，且p|(n-1)；

(d)n=p=2；

(e)n=2，p≠2；

(f)p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡1(mod 4)；

②gr(Γ(Zn[i]G))=4當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)p=2，n為奇素?cái)?shù)且n≡3(mod 4)；

3 Γ(Zn[i]G)的平面性

設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群。由于Γ(Zn[i])與Γ(ZnG) 都是Γ(Zn[i]G)的子圖，由引理10及引理11知，要刻畫Zn[i]G的零因子圖的平面性，只需要考慮以下3種情況：

①n=p=2；

②n=4，p=2；

③n=2，p≠2。

定理2 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則Γ(Zn[i]G) 是平面圖當(dāng)且僅當(dāng)n=p=2。

證明 ①當(dāng)n=p=2時(shí)，由例1知，Γ(Zn[i]G)是平面圖。

②當(dāng)n=4，p=2時(shí)，集合I={2,2i,2ia,2+2i,2+2a}?D(Zn[i]G)*，且集合I中的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)完全圖K5，由引理1知，此時(shí)Γ(Zn[i]G)是非平面圖。

③當(dāng)n=2，p≠2時(shí)，由引理9知，Z2[i]G≌Z2[i]⊕Δ(G)，此時(shí)|Z2[i]|=4，|Δ(G)|≥ 4p-1>4。由于Z2[i]×{0}中的點(diǎn)與{0}×Δ(G)中的點(diǎn)相連，所以K3,3是Γ(Zn[i]G)的子圖。由引理1知，Γ(Zn[i]G)是非平面圖。證畢。

4 Γ(Zn[i]G)的直徑

證明 當(dāng)p1≠p時(shí)，p在Zn[i]中可逆，由引理9得，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)。因?yàn)閚為合數(shù)，Zn[i]中有非零零因子x，于是，(x,a-1)，(1,0)均為Zn[i]⊕Δ(G)的非零零因子。由于(x,a-1)(1,0)=(x,0)≠(0,0)，故d((x,a-1)，(1,0))≥2。由引理13得，a-1為Δ(G)中的正則元，于是Ann((x,a-1))={(y,0)|y∈Zn[i]，xy=0}。又因?yàn)锳nn((1,0))={(0,x)|x∈Δ(G)}，所以Ann((x,a-1))∩Ann((1,0))={(0,0)}，于是d((x,a-1),(1,0))≥3，由引理14知，diam(Γ(Zn[i]G))=diam(Γ(Zn[i]⊕Δ(G)))=3。證畢。

引理20 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，n為素?cái)?shù)，G為素?cái)?shù)p階群，n≠p，則：

①n=2時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

②n≡1(mod 4)時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

③n≡3(mod 4)，p|(n-1)且p=2時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

④n≡3(mod 4)，p|(n-1)且p≠2時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

證明 ①當(dāng)n=2，n≠p時(shí)，由引理9知，Z2[i]G≌Z2[i]⊕Δ(G)。因?yàn)?+i為Z2[i]中的非零零因子，類似引理19知，d((1+i,a-1),(1,0))=3，故diam(Γ(Z2[i]G))=diam(Γ(Z2[i]⊕Δ(G)))=3。

②當(dāng)n≡1(mod 4)時(shí)，由引理9知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)。由于Zn[i]中有非零的零因子，類似引理19可證diam(Γ(Zn[i]G))=diam(Zn[i]⊕Δ(G))=3。

③當(dāng)n≡3(mod 4)時(shí)，Zn[i]為有限域，若p|(n-1)，則由引理5知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕…⊕Zn[i](共p個(gè)Zn[i])。當(dāng)p=2時(shí)，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Zn[i]，此時(shí)，Γ(Zn[i]G)為完全二部圖，故diam(Γ(Zn[i]G))=2。當(dāng)p≠2時(shí)，易知d((0,1,…,1),(1,0,1,…,1))=3，故diam(Γ(Zn[i]G))=3。

引理21 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，n=p，則：

①p=2時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

②p≡3(mod 4)時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

③p≡1(mod 4)時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

證明 當(dāng)n=p=2時(shí)，由例1知，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

當(dāng)p≡3(mod 4)時(shí)，Zn[i]為特征大于0的n2元有限域，G為有限p群，由引理2知，Zn[i]G是局部環(huán)，其唯一的極大理想m=Δ(G)=〈a-1〉，于是D(Zn[i]G)=〈a-1〉。由于(2a-2)(a-1)=2a2-4a+2≠ 0，故d((2a-2),(a-1))≥2。對任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，則存在μ，υ∈Zn[i]G，使得x=μ(a-1)，y=υ(a-1)。因?yàn)閤(ap-1+ap-2+…+x+1)=μ(a-1)(ap-1+ap-2+…+x+1)=0，y(ap-1+ap-2+…+x+1)=υ(a-1)(ap-1+ap-2+…+x+1)=0，所以d(x,y)≤2，故diam(Γ(Zn[i]G))=2。

當(dāng)p≡1(mod 4)時(shí)，Zn[i]≌Zn⊕Zn，于是Zn[i]G≌ZnG⊕ZnG，類似引理12可證，此時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3。證畢。

引理22 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，n=pk，k>1，則：

①p=2時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

②p≡3(mod 4)時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

③p≡1(mod 4)時(shí)，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

證明 當(dāng)p=2時(shí)，Zn[i]為局部環(huán)，其唯一的極大理想I=〈1+i〉且Zn[i]/I≌Z2。由引理3知，Zn[i]G為局部環(huán)，其唯一的極大理想m=IG+〈a-1〉。2a、a-1為Zn[i]G的不同的非零零因子，2a(a-1)=2-2a≠0，于是d(2a,a-1)≥2。對任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，存在α1，β1∈IG，α2，β2∈Zn[i]G， 使得x=α1+α2(a-1)，y=β1+β2(a-1)。因?yàn)?-i)k(1+i)2k-1α1=(-i)k(1+i)2k-1β1=0，所以(-i)k(1+i)2k-1(ap-1+ap-2+…+x+1)x=0，(-i)k(1+i)2k-1(ap-1+ap-2+…+x+1)y=0。故d(x,y)≤2，因此，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

當(dāng)p≡3(mod 4)時(shí)，Zn[i]為局部環(huán)，其唯一的極大理想I=〈p〉且Zn[i]/I≌Zp[i]。由引理3知，Zn[i]G為局部環(huán)，其唯一的極大理想m=IG+〈a-1〉。pa、a-1為Zn[i]G的不同的非零零因子，pa(a-1)=pa2-pa≠0，于是d(pa,a-1)≥2。對任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，存在α1，β1∈IG，α2，β2∈Zn[i]G，使得x=α1+α2(a-1)，y=β1+β2(a-1)。因?yàn)閜k-1α1=pk-1β1=0，所以pk-1(ap-1+ap-2+…+x+1)x=0，pk-1(ap-1+ap-2+…+x+1)y=0。故d(x,y)≤2，因此，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

當(dāng)p≡1(mod 4)時(shí)，由文獻(xiàn)[5]定理1知，p有不可約分解p=(c+bi)(c-di)，Zn[i]只有2個(gè)極大理想m1=〈c+bi〉，m2=〈c-bi〉且d((c+bi),(c-di))=3。下面將證：在群環(huán)Zn[i]G的零因子圖中d((c+bi),(c-di))=3。因?yàn)閗>1，(c+bi)(c-di)=p≠0，所以d((c+bi),(c-di))≥2。易知，Ann(c+bi)={(c-bi)pk-1x|x∈Zn[i]G，c+bi不能整除x}，Ann(c-bi)={(c+bi)pk-1y|y∈Zn[i]G，c-bi不能整除y}且Ann(c+bi)∩Ann(c-bi)=0，于是d((c+bi),(c-di))≥3，由引理14知，diam(Γ(Zn[i]G))=3。證畢。

綜合引理12及引理19～22，我們給出群環(huán)Zn[i]G的零因子圖的直徑的完全刻畫：

定理3 設(shè)Zn[i]為模n高斯整數(shù)環(huán)，G為素?cái)?shù)p階群，則：

①diam(Γ(Zn[i]G))=2當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

(a)n≡3(mod 4)，n為奇素?cái)?shù)，且p=2；

(c)n=pk(k≥1)，且p=2或p≡3(mod 4)。

②其他情況下，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

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(責(zé)任編輯 黃 勇)

Properties of Zero-divisor Graph of Group RingZn[i]G

TANG Gaohua，LI Yu， WU Yansheng

(School of Mathematics and Statistics，Guangxi Teachers Education University，Nanning Guangxi 530001，China)

LetGbe a cyclic group with prime order，Zn[i] be the Guassian integers modulonandZn[i]Gbe the group ring ofGoverZn[i]. Properties of the zero-divisor graph ofZn[i]Gare investigated in this paper and the girth，the planarity and the diameter of the zero-divisor graph ofZn[i]Gare completely characterized respectively.

group ring；zero-divisor graph；girth；planarity；diameter

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.04.016

2016-03-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11661014，11661013，11461010)；廣西科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)資助項(xiàng)目(桂科合1599005-2-13，桂科攻1598010-3)；廣西自然基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2016GXNSFDA380017)；廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(KY2015ZD075)

唐高華(1965—)，男，廣西桂林人，廣西師范學(xué)院教授，博士，博導(dǎo)。E-mail：tanggaohua@163.com

O153.3

A

1001-6600(2016)04-0109-07