□孫惠惠

方格巧數(shù) 見微知著
——中國大陸、中國臺(tái)灣、美國紐約州教材方格點(diǎn)數(shù)策略比較

□孫惠惠

不同教材能幫助我們了解各地不同的教學(xué)特色，形成更具有包容性和吸引力的數(shù)學(xué)內(nèi)容。通過對(duì)中國大陸、中國臺(tái)灣、美國紐約州三地教材中方格點(diǎn)數(shù)策略的比較研究，從方法滲透、估算強(qiáng)化、表征建構(gòu)等方面探討了通過關(guān)注知識(shí)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)，形成有包容力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；通過關(guān)注經(jīng)驗(yàn)的漸進(jìn)性積累，形成有發(fā)展性的能力素養(yǎng)等問題與解決之法。

方格點(diǎn)數(shù) 教學(xué)策略 比較研究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)平行四邊形的面積探索給出了非常具體的過程要求：“利用方格紙或割補(bǔ)等方法，探索并掌握平行四邊形的面積公式?！狈礁窦垙臒o到有，直至正式列入課程標(biāo)準(zhǔn)，這不得不讓我們深思方格點(diǎn)數(shù)背后的現(xiàn)實(shí)價(jià)值所在。近期，有幸閱讀了美國和中國臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教材，對(duì)學(xué)生在平行四邊形面積探索中所需要的方格點(diǎn)數(shù)能力有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)如何形成包容性、開放性的課堂教學(xué)也有了更進(jìn)一步的思考。

一、方格點(diǎn)數(shù)教學(xué)策略實(shí)施的共性比較

方格點(diǎn)數(shù)是學(xué)生在圖形面積學(xué)習(xí)過程中一種不可或缺的探索方法，也是一種難度較低，容易為學(xué)生所掌握的探索技能。雖然點(diǎn)數(shù)的方法比較麻煩，但最本源的方法往往是最有教育價(jià)值的方法?？v觀三地教材，三地在方格點(diǎn)數(shù)策略實(shí)施中有很多共同點(diǎn)。

第一，在教材編排上，三地都在平行四邊形面積公式推導(dǎo)前安排了方格點(diǎn)數(shù)的教學(xué)內(nèi)容作為鋪墊，但實(shí)施教學(xué)的課時(shí)、程度、側(cè)重各有不同。

第二，在素材選擇上，三地都不約而同地選擇了面積是1平方厘米的方格圖，識(shí)圖便捷，累加簡(jiǎn)單。

第三，在方法選擇上，三地都是充分運(yùn)用單位面積累加，滲透面積的本質(zhì)內(nèi)涵。

第四，在教學(xué)實(shí)施過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生通過數(shù)方格直觀得出平行四邊形的面積，為面積公式的探究孕伏經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)；指導(dǎo)學(xué)生直接在方格紙上進(jìn)行圖形割補(bǔ)，直觀呈現(xiàn)割補(bǔ)結(jié)果，降低探究難度；引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)方格紙中平行四邊形和長(zhǎng)方形的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的底和高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、方格點(diǎn)數(shù)教學(xué)策略實(shí)施的差異比較

（一）中國大陸：注重點(diǎn)數(shù)方法的滲透和半格累加的教學(xué)

中國大陸現(xiàn)行的六套教材中，各套教材都在平行四邊形面積教學(xué)之前對(duì)方格點(diǎn)數(shù)法進(jìn)行了鋪墊，不同程度地讓學(xué)生接觸過方格紙和點(diǎn)數(shù)方法，其中北師版和蘇教版分別安排2課時(shí)和1課時(shí)的時(shí)間專門教學(xué)方格點(diǎn)數(shù)知識(shí)；西師版和青島版利用對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)的教學(xué)讓學(xué)生接觸了方格紙。人教版則在平行四邊形面積教學(xué)之后，單獨(dú)安排了利用方格點(diǎn)數(shù)法求不規(guī)則圖形面積的內(nèi)容。教學(xué)中，主要滲透“單位面積個(gè)數(shù)累加就等于面積之和”的點(diǎn)數(shù)基本方法，如4個(gè)1平方厘米的小正方形所拼成的圖形，它的面積是4平方厘米（見圖1）。

圖1

素材選擇上，中國大陸的教材中大多將素材的選擇限制在正好半格，引導(dǎo)學(xué)生掌握兩個(gè)半格可以拼成一個(gè)整格的累加方法。對(duì)于不滿半格的圖形，教材中通常告知學(xué)生“不滿一格”可以近似的看成一格，不滿半格可以近似看成半格，初步滲透估算的思想（見圖2）。

圖2

（二）中國臺(tái)灣：注重半格的基本表征和多元化應(yīng)用

在中國臺(tái)灣版的教材中，側(cè)重半格的基本表征和半格表征的多元化應(yīng)用。在教材中，你能夠充分感受到對(duì)學(xué)生思維關(guān)注的細(xì)膩程度。教材不僅給出半格的概念，更給出了半格表征的兩種方式（見圖3）。

圖3

第一種表征方式是沿對(duì)角線分割成兩個(gè)相等的三角形，每個(gè)三角形的大小正好是半格；第二種表征方式是沿著對(duì)邊的中點(diǎn)分割成兩個(gè)相等的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的大小也正好是半格。

為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于半格表征的運(yùn)用，教材繼續(xù)跟進(jìn)利用半格表征方法表示更大面積的圖形練習(xí)（見圖4）。利用半格的不同表征，學(xué)生可以創(chuàng)造出各種個(gè)性化的表示方法，如1.5平方公分的表示方法就有很多種，有些學(xué)生甚至在半格的基礎(chǔ)上繼續(xù)拓展，創(chuàng)造出兩個(gè)四分之一格可以表示半格的作品。在這個(gè)過程中，學(xué)生熟練運(yùn)用方格點(diǎn)數(shù)技法的能力得以提升，解決非整數(shù)面積問題的能力也得到了迅速發(fā)展。

圖4

統(tǒng)覽中國兩地的教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，從“隨意數(shù)”到“有方法地?cái)?shù)”到最后“結(jié)構(gòu)化地?cái)?shù)”，這種最簡(jiǎn)單的也是最笨的方格點(diǎn)數(shù)法，正在不知不覺中提升著學(xué)生解決面積問題的實(shí)際能力。教材編寫者在這些細(xì)微處的良苦用心，其實(shí)正來自于他們對(duì)面積本體知識(shí)的深度解讀。

（三）美國紐約州：注重點(diǎn)數(shù)估算的強(qiáng)化和方法的系統(tǒng)化

美國在方格點(diǎn)數(shù)方法的教學(xué)中，側(cè)重讓學(xué)生理解怎樣的幾個(gè)“不滿一格”可以近似的看成一格。如教材中給出了拉米雷斯先生利用網(wǎng)格來解決玻璃面積大小的問題，并給出了不滿一格的部分如何計(jì)算面積的具體方法（圖5）。如④、⑤屬能于一格多一點(diǎn)點(diǎn)，可看成近似一格；①、②、③、⑦屬于怎樣的兩格可以看成近似的一格；⑥、⑧、⑨屬于怎樣的三格可以看成近似的一格。這樣給出具體實(shí)例的分析，既能讓學(xué)生在實(shí)際單數(shù)中有方法指引和具體指導(dǎo)，又能夠讓學(xué)生在面對(duì)不同圖形的點(diǎn)數(shù)過程提高估算的精準(zhǔn)度。

圖5

同時(shí)，教材中還配以跟進(jìn)型的練習(xí)，讓學(xué)生在練習(xí)中，學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情境分析情況，恰當(dāng)使用點(diǎn)數(shù)估算策略，熟練點(diǎn)數(shù)技能（見圖6）。

圖6

三、教學(xué)啟示與思考

方格點(diǎn)數(shù)不僅是面積度量中的一種重要方法，更是一種問題解決的方式。它有助于面積概念從具體到抽象的建構(gòu)，有助于對(duì)度量過程的優(yōu)化與抽象，更有助于學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)概念的理解與把握。

（一）理性認(rèn)識(shí)累加，明確單位量累加的目的與意義

方塊累加是學(xué)生的一種操作活動(dòng)，具有很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性。如12個(gè)面積1平方厘米的小正方形可以擺出如下圖形（見圖7），它們的面積都是12平方厘米，但這其中，只有②③④號(hào)是長(zhǎng)方形。借助拼組活動(dòng)，可以滲透“標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位個(gè)數(shù)累加的和就是總面積”的面積守恒原理；同時(shí)在這個(gè)過程中引入一些數(shù)學(xué)詞句，如“一行中有四個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)單位”“每行的個(gè)數(shù)同樣多”等等，用言語表征來強(qiáng)化圖形表征的特點(diǎn)，進(jìn)而加固經(jīng)驗(yàn)，則會(huì)收到事半功倍的效果。而這些原始經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)規(guī)范語言的對(duì)接，會(huì)在以后的教學(xué)中產(chǎn)生重要的作用。

圖7

（二）結(jié)合想象優(yōu)化度量，掌握面積的逐步抽象過程

在空間度量的背景下進(jìn)行方格點(diǎn)數(shù)，就能發(fā)現(xiàn)，方格點(diǎn)數(shù)的過程，其實(shí)就是“度量思想”逐步滲透，面積表象逐步抽象的過程（見圖8）。

第一步：密鋪感知。見圖8-①，將12個(gè)小正方形完全密鋪完，所以長(zhǎng)方形的面積就是12個(gè)小正方形的面積之和。

圖8

第二步：直觀感知。見圖8-②，在這個(gè)長(zhǎng)方形中，第一行可以放4個(gè)小方格，可以放三行，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是4×3=12個(gè)。

第三步：估量感知。見圖8-③，在這個(gè)長(zhǎng)方形中，以這個(gè)小方塊為標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行測(cè)量，第一行可以放4個(gè)小方格，可以放三行，因此這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是4×3=12個(gè)。在這一步中，學(xué)生已經(jīng)有了“被測(cè)對(duì)象含有幾個(gè)度量單位”的初步意識(shí)。

第四步：度量感知。見圖8-④，沒有標(biāo)準(zhǔn)單位可參考，只能根據(jù)度量來確定長(zhǎng)和寬，從而確定沿著長(zhǎng)或?qū)捀骺梢詳[放幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位。

通過一次次的擺放和數(shù)，學(xué)生的數(shù)從“按個(gè)點(diǎn)數(shù)”到“按行點(diǎn)數(shù)”，從“按量（估計(jì)量）點(diǎn)數(shù)”到“按量計(jì)算”，充分感受到度量的逐步優(yōu)化過程，感受到數(shù)學(xué)的抽象過程，以及抽象所帶來的問題解決的便捷。

（三）豐富核心表征，凸顯底和高的垂直關(guān)系

表征的豐富會(huì)帶來表象的牢固建立與知識(shí)的深入理解，而核心表征的建立，在理解概念和算理中顯得尤為重要。在長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)中，盡管教師已經(jīng)給出了盡量多元的表征，幫助不同層次的學(xué)生理解公式的形成過程，理解算式中各個(gè)數(shù)的含義。但在遷移到平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)時(shí)，依然有學(xué)生會(huì)毫不猶豫地猜測(cè)是底和鄰邊相乘，還有部分學(xué)生在選擇面積計(jì)算所需要的數(shù)字時(shí)，也會(huì)隨意選擇底和高，而不是選擇互相垂直的一組底和高。這些行為不由得令我們思考，是不是我們所提供的面積表征出現(xiàn)了問題，才致使知識(shí)的遷移產(chǎn)生了誤導(dǎo)?？磥肀碚鞑粌H需要多元，更需要突出底和高互相垂直的本質(zhì)。

翻閱近10年的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們可以明顯地發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形面積公式的抽象過程中，我們提供給學(xué)生的關(guān)于長(zhǎng)和寬各包含多少個(gè)長(zhǎng)度單位的例子，通常都是沿鄰邊擺放的（見圖9-①），很少有沿非鄰邊擺放的例子（見圖9-②③）。因此，在大量實(shí)例的強(qiáng)烈刺激下，學(xué)生無意中就對(duì)底（長(zhǎng)邊上計(jì)量單位的個(gè)數(shù)）、高（寬邊上計(jì)量單位的個(gè)數(shù)）形成了錯(cuò)誤的關(guān)聯(lián)關(guān)系，引發(fā)后續(xù)公式推導(dǎo)的錯(cuò)誤沖突。正是我們一直強(qiáng)調(diào)公式中是底×高，但在表征對(duì)應(yīng)的一組底和高（互相垂直）時(shí)缺乏多元的表征，才使得學(xué)生疑惑，平行四邊形面積中為什么必須選擇和底邊對(duì)應(yīng)的高相乘？

圖9

至此我們已經(jīng)可以掩卷深思：學(xué)生思維中的這些疑慮、這些誤解、這些磕磕碰碰，都無一不在提醒著我們，該如何回到面積的本源展開教學(xué)，該如何借助操作活動(dòng)、多元表征、理性解讀來幫助學(xué)生形成更有包容力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?？磥?，表征不僅需要多元，更需要變式?；A(chǔ)知識(shí)的掌握程度直接決定著學(xué)生未來持續(xù)學(xué)習(xí)的能力！

[1]德里克·海洛克.數(shù)學(xué)教學(xué)ABC基本概念與核心理念[M].北京：教育科學(xué)出版社，2015.

[2]劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)幾何公式教學(xué)的教育價(jià)值分析——以“長(zhǎng)方體的體積”為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)版，2012.

（浙江省寧波藝術(shù)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 315040）

（注：本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）