□朱雪蓮

提升幾何直觀能力 助推學(xué)生數(shù)學(xué)理解

□朱雪蓮

幾何直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)課程十大核心概念之一，也是新課標(biāo)新增加的四個(gè)核心概念之一。發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力可以采取以下教學(xué)策略：直觀表征策略、直觀明理策略、直觀促思策略、直觀梳理策略。由此，可以對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解起到助推作用，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

幾何直觀 策略 數(shù)學(xué)理解

幾何直觀是小學(xué)數(shù)學(xué)課程十大核心概念之一，也是新課標(biāo)新增加的四個(gè)核心概念之一。教師如果能認(rèn)清幾何直觀的本質(zhì)，找準(zhǔn)提升學(xué)生直觀能力的實(shí)踐策略，就能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)效率，并對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解起到助推作用。

一、抽象概念——直觀表征策略

所謂表征活動(dòng)，就是將一個(gè)“被表征”的對(duì)象，用另一種表征方式重新表現(xiàn)出來(lái)，而不失其意義，以達(dá)到溝通的目的。小學(xué)生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，具有較強(qiáng)的直觀性。受到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)比較抽象，有些概念很難用學(xué)生理解的語(yǔ)言加以表述。這時(shí)，圖形直觀往往會(huì)成為有效的表達(dá)工具，學(xué)生對(duì)能看的到的或自己動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)內(nèi)容，往往容易接受。

【案例1】“平均數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段

師：老師身高175厘米，一條河平均水深140厘米，能沒(méi)過(guò)老師嗎？

生：不會(huì)淹沒(méi)的，175厘米大于140厘米呀。

生：如果淹沒(méi)，說(shuō)明數(shù)據(jù)有錯(cuò)。

生：蹲著會(huì)淹沒(méi)的。

生：平均水深又不是每個(gè)地方都是140厘米，有可能比140厘米淺，也有可能比140厘米深。如果老師經(jīng)過(guò)比140厘米深的地方就不行了。我可以上來(lái)畫一畫嗎？（生板書）

生：當(dāng)老師走到175厘米的地方頭就淹沒(méi)了，到最深的200厘米處更不用說(shuō)了，而175厘米以上就沒(méi)問(wèn)題了。

教師用圖中長(zhǎng)度相當(dāng)?shù)男“糇鳛槟M人，演示從池塘壁沿一直走到深處，學(xué)生隨著走動(dòng)的路線呼應(yīng)“會(huì)”或者“不會(huì)”。

平均數(shù)是一個(gè)虛擬數(shù)，比較抽象。教師提供了一個(gè)能讓學(xué)生有話說(shuō)并引發(fā)思考的生活問(wèn)題，一開始引發(fā)了學(xué)生的爭(zhēng)辯，有一位學(xué)生主動(dòng)提出用直觀圖來(lái)說(shuō)明自己的觀點(diǎn)，在師生對(duì)話中不斷修正直觀圖，增進(jìn)學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的理解。由此可見，描述數(shù)學(xué)事實(shí)、概念或關(guān)系時(shí)，圖形語(yǔ)言的描述為文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言的描述提供了直觀表象，也為理解和掌握相關(guān)的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的意義和內(nèi)涵奠定認(rèn)知基礎(chǔ)。教師要注意三者的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生溝通幾何直觀與數(shù)學(xué)本質(zhì)之間的聯(lián)系。

二、理解算理——直觀明理策略

在計(jì)算教學(xué)中，教師往往注重計(jì)算方法的教學(xué)，忽視算理理解，造成部分學(xué)生即使能掌握計(jì)算方法，對(duì)算理理解較難深入，常常是知其然而不知其所以然，停留在形式模仿階段。學(xué)生不能理解算理主要是因?yàn)闆](méi)有實(shí)現(xiàn)“把抽象的算法具體化”與“從具體中進(jìn)行抽象”的兩個(gè)轉(zhuǎn)化。

為理解算理，我們常用的方式就是動(dòng)手操作。比如低年級(jí)學(xué)生常用的小棒、計(jì)數(shù)器和直尺，通過(guò)動(dòng)手操作在人腦中形成知識(shí)表象，在表征過(guò)程中對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次的思考，形成更深刻的、個(gè)性化的認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)，使外在的操作行為真正成為學(xué)生知識(shí)內(nèi)化的推手。

【案例2】“小數(shù)除法——整數(shù)除以整數(shù)”教學(xué)片段

師：小明帶了100元錢到書店買書，買4本《格林童話》，服務(wù)員找了3元。一本書多少錢？（生嘗試練習(xí)）

生：一本書24元余1元。

生獨(dú)立思考。

生：1元=10角，100÷4=25（分），一本書用了24元25分。

每本2角，共8角 余下2角怎么辦？

生：繼續(xù)分。

畫圖：2角=20分，20÷4=5（分）（第二次分）。

生：還可以1元=100分，又能分了，100÷4= 25（分）。

師再引導(dǎo)生，結(jié)合豎式算到個(gè)位有余數(shù)還要繼續(xù)往下算的每一步理由。

小數(shù)除法的計(jì)算方法屬于程序性知識(shí)，教師直接教算法學(xué)生能看得清晰，通過(guò)一定量的練習(xí)也能算得正確，對(duì)于“為什么這樣算”，有不少教師不愿意花這么多的時(shí)間來(lái)探究，而寧愿花更多的時(shí)間做習(xí)題。在上面的案例中，學(xué)生受原先有余數(shù)除法知識(shí)的負(fù)遷移，余下1元就作為結(jié)果呈現(xiàn)，與現(xiàn)實(shí)不能這樣付錢產(chǎn)生認(rèn)知沖突，于是想到了“破1元為10角”繼續(xù)分，當(dāng)?shù)谝淮畏至酥筮€剩2角時(shí)，學(xué)生又產(chǎn)生了第二次分的想法，一直到分完為止。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，能基于學(xué)生的認(rèn)知心理，引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)直觀畫圖來(lái)表達(dá)自己對(duì)算法的理解，自己說(shuō)得清楚，別人也聽得明白，真正做到了理解算理和明晰算法的有機(jī)結(jié)合。

三、解決問(wèn)題——直觀促思策略

小學(xué)生的思維特點(diǎn)，以形象思維為主，逐步向抽象思維過(guò)渡。雖然教材中呈現(xiàn)問(wèn)題的形式多樣，有圖畫式、對(duì)話式、圖表式、文字式等，隨著年級(jí)的升高，以文字形式呈現(xiàn)成為主流。純文字的問(wèn)題語(yǔ)言表述上比較簡(jiǎn)潔，枯燥乏味，致使學(xué)生常常讀不懂題意。如果學(xué)生能自己在紙上畫一畫、理一理、排一排，借助直觀圖形把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，就能幫助讀懂題意、理解題意，找到解決問(wèn)題的思路，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

【案例3】“有余數(shù)的除法”習(xí)題教學(xué)片段

（生解決了“六月份有30天，共有幾個(gè)星期，還剩幾天”的數(shù)學(xué)問(wèn)題之后）

師：六月份有30天，如果六月份有5個(gè)星期六和星期日，那么6月1日是星期幾？（生獨(dú)立思考）

生：星期五。我猜想這樣排下去應(yīng)該都有5個(gè)的。

生：不對(duì)，第一個(gè)星期2天（星期五、星期六），加4乘7有28天，剛好30天。這樣，星期日只有4個(gè)。

師生在交流中填寫日期圖表，星期日的確只有4個(gè)。

生：1日往后移1天，這樣剛好。

師：果然不用寫日期，也能說(shuō)明問(wèn)題，真了不起，很方便！

生：其實(shí)我連圖都不用畫，算算就可以了。30天里肯定有4個(gè)7天的，中間填滿四行，還有2天，第一行1天，最后1天放最后一行。7×4+1+1= 30天。

日一二三四五六

師：有了前面的圖表說(shuō)明，這個(gè)看上去很簡(jiǎn)潔的算式大家都理解了吧。

生：那我有一個(gè)問(wèn)題，如果有28天、31天的，也會(huì)有2個(gè)星期六和星期日嗎？

學(xué)生借助簡(jiǎn)約符號(hào)直觀，對(duì)問(wèn)題逐漸深入的過(guò)程，完美地詮釋了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，也再次說(shuō)明了幾何直觀是推動(dòng)思維展開的基礎(chǔ)，也是獲得對(duì)數(shù)學(xué)深度理解的依托。從最原生態(tài)的排日期，發(fā)現(xiàn)不行后移1天，又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)用“”符號(hào)代替具體日期也能解決問(wèn)題，還有學(xué)生頓悟用算式這個(gè)模型也能解決問(wèn)題。整個(gè)過(guò)程，也是數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，從具體的每一天到簡(jiǎn)單的一個(gè)算式，學(xué)生的思維也逐漸遞進(jìn)，經(jīng)歷了一個(gè)完美的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

四、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)——直觀梳理策略

在課的總結(jié)階段，或者在復(fù)習(xí)教學(xué)中，其目標(biāo)之一就是梳理知識(shí)體系，而往往在厘清知識(shí)之間的抽象、復(fù)雜關(guān)系，需要突破教學(xué)中的重難點(diǎn)問(wèn)題、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，借助幾何直觀說(shuō)明問(wèn)題。

【案例4】“三角形的分類”教學(xué)片段

在課的總結(jié)環(huán)節(jié)。

師：今天你學(xué)到了什么？有什么新的收獲？

師生在對(duì)話過(guò)程中形成集合圈：

師：如果要把等腰三角形放到集合圈中，可以怎么放？

生：（思考片刻）因?yàn)槿惾切味加械妊切危苑旁谥虚g。

師：等邊三角形可以放進(jìn)去嗎？

生：因?yàn)榈冗吶切渭仁卿J角三角形，也是等腰三角形，所以要放到左上角。

師：那等腰直角三角形呢？

生：放在內(nèi)圈的下面，既屬于直角三角形，也是等腰三角形。

生：那還有等腰銳角三角形、等腰鈍角三角形。

在這節(jié)課中，按角分把三角形分為三類；依據(jù)邊的特點(diǎn)，有等腰三角形也有等邊三角形，這兩種三角形屬于包含關(guān)系；結(jié)合角和邊的特點(diǎn)，比較特殊的有等腰直角三角形。受按角分類思想的影響，學(xué)生喜歡把等邊三角形、等腰三角形分為兩類，這是知識(shí)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移；而等腰直角三角形也是一種特殊情況，需要和按角分類命名、按邊的特點(diǎn)命名的三角形找聯(lián)系。雖然是幾何圖形教學(xué)，當(dāng)這么多接近的三角形名稱集中在一起時(shí)，學(xué)生容易混淆，一般教師愿意在教學(xué)中按角或按邊分開來(lái)認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)。而這位教師在分的基礎(chǔ)上，借助集合圈幾何模型，先分類，再辨別類型，還大膽引導(dǎo)學(xué)生尋找這些三角形名稱之間的關(guān)系，很好地理順了知識(shí)點(diǎn)，也突破了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。

數(shù)學(xué)家張廣厚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)無(wú)疑是一門高度抽象的學(xué)科，需要人們具有高度抽象思維的能力，但是也同樣需要很強(qiáng)的幾何直觀能力。課堂是學(xué)生獲取知識(shí)的主要途徑，學(xué)生的思維方式和價(jià)值感受也主要在課堂中形成的。有較強(qiáng)的幾何直觀意識(shí)和能力的教師，學(xué)生相應(yīng)的能力也會(huì)增強(qiáng)。教師需多創(chuàng)設(shè)這樣的教學(xué)情境，讓學(xué)生經(jīng)常在課堂中感受幾何直觀價(jià)值，多用幾何直觀的方式來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)的內(nèi)在道理，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解。這樣的課堂，學(xué)生不僅收獲了數(shù)學(xué)知識(shí)，更增強(qiáng)了學(xué)生的直觀意識(shí)，提升了學(xué)生的幾何直觀能力，讓數(shù)學(xué)變得簡(jiǎn)單。

[1]秦德生.關(guān)于幾何直觀的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005（10）.

[2]蔡宏圣.幾何直觀:小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的視角[J].課程·教材·教法，2013（5）.

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