□宋健泳

拓展問(wèn)題空間 積累思維經(jīng)驗(yàn)
——以“三角形的面積”教學(xué)為例

□宋健泳

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)很大程度上體現(xiàn)為“思維的經(jīng)驗(yàn)”?！叭切蔚拿娣e”一課的教學(xué)實(shí)踐指出，有效的思考需要直觀基礎(chǔ)，需要問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，更需要互動(dòng)交流。教學(xué)中，拓展問(wèn)題思考的空間有助于引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地展開(kāi)思維活動(dòng)，從而為獲得“思維經(jīng)驗(yàn)”創(chuàng)造更有利的條件。

問(wèn)題空間 思維經(jīng)驗(yàn) 三角形的面積

“三角形面積”是人教版五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元的教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)教材的編排，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了平行四邊形面積計(jì)算之后展開(kāi)教學(xué)的。后者不僅為三角形的面積計(jì)算打下了認(rèn)知基礎(chǔ)，更奠定了思維基礎(chǔ)，即“化歸”思想。感悟“化歸”思想是平面圖形面積計(jì)算這個(gè)教學(xué)板塊主要的教學(xué)價(jià)值所在，而實(shí)現(xiàn)“化歸”的主要手段則是動(dòng)手實(shí)踐。如平行四邊形就是通過(guò)“剪拼”轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，進(jìn)而推導(dǎo)出面積計(jì)算公式；而三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)則主要通過(guò)“拼組”，即將兩個(gè)同樣的三角形（梯形）拼成一個(gè)等底等高的平行四邊形（如圖1）。

圖1

如果僅以知識(shí)技能的掌握為目的，這樣的操作活動(dòng)是直觀的，也是有效的。但從思維經(jīng)驗(yàn)積累和思維能力發(fā)展的角度看，如果三節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)始終停留在動(dòng)手操作層面，則體現(xiàn)出一定的局限性。我們有必要逐步加強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)的思維介入，讓學(xué)生在更富挑戰(zhàn)性的問(wèn)題引領(lǐng)下積極主動(dòng)地展開(kāi)思維活動(dòng)，為汲取“思維經(jīng)驗(yàn)”創(chuàng)造更有利的條件?；谶@樣的考慮，在本節(jié)課的教學(xué)中我們?cè)趯W(xué)習(xí)材料和活動(dòng)形式上進(jìn)行了調(diào)整，力圖給予學(xué)生更大的探索和思考的空間。

一、思考需要直觀基礎(chǔ)

【教學(xué)片段】

在下圖長(zhǎng)方形和平行四邊形中分別畫(huà)一個(gè)面積最大的三角形。

反饋（如圖2）：

圖2

討論中，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)方形中①號(hào)三角形是最大的，②號(hào)與③號(hào)存在爭(zhēng)議；而平行四邊形中則認(rèn)為④號(hào)、⑤號(hào)都是面積最大的三角形。

師：既然②號(hào)和③號(hào)的畫(huà)法有爭(zhēng)議，我們暫時(shí)不討論。請(qǐng)看其他三幅圖，這些三角形的面積與原圖有什么關(guān)系？

生：這些圖中的三角形面積正好是原圖的一半，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形（陰影部分與空白部分）一樣大。

【思考】

從反饋的情況看，絕大多數(shù)學(xué)生都能畫(huà)出正確的圖形。但我們必須認(rèn)識(shí)到這些只是學(xué)生未經(jīng)邏輯分析的直觀判斷，其中學(xué)生在面積學(xué)習(xí)過(guò)程中所獲得的經(jīng)驗(yàn)（對(duì)平面圖形大小的直觀感悟）起著很重要的作用。換句話(huà)說(shuō)，學(xué)生知道這樣畫(huà)出來(lái)的三角形面積是最大的，但并不知道為什么。這從隨后的課堂爭(zhēng)論中可見(jiàn)一斑，很多學(xué)生并不認(rèn)同②號(hào)和③號(hào)三角形是長(zhǎng)方形中面積最大的三角形。即便如此，這里的猜想和操作還是很有價(jià)值的。一方面它充分暴露了學(xué)情，便于我們把握教學(xué)的起點(diǎn)；另一方面則為進(jìn)一步探索三角形面積計(jì)算積累了方法和經(jīng)驗(yàn)。

二、思考需要問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

【教學(xué)片段】

能否求出下面各三角形的面積？試一試。

反饋一（如圖3.1～3.2）：

生：把①號(hào)三角形中間剪開(kāi)，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3.1）。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6cm，寬是高的一半，面積是6×2=12（cm2）。三角形與它的面積相等，也是12cm2。

生2：畫(huà)一條底邊的垂線(xiàn)，得到一個(gè)大長(zhǎng)方形（圖3.2），面積是6×4=24（cm2）。三角形面積正好是長(zhǎng)方形的一半，24÷2=12（cm2）。

反饋二（如圖4.1～4.2）：

生：在②號(hào)三角形左右兩邊各畫(huà)一條底邊的垂線(xiàn)，就得到一個(gè)長(zhǎng)方形（圖4.1），面積是24cm2。三角形的面積是它的一半，6×4÷2=12（cm2）。

師：三角形的面積是這個(gè)長(zhǎng)方形的一半嗎？

生：是的。把它看成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，左邊三角形占了一半，右邊也是一半，合起來(lái)三角形面積正好是大長(zhǎng)方形面積的一半。

生：先畫(huà)一條平行線(xiàn)，這樣就得到一個(gè)平行四邊形（圖4.2），它的底和高和三角形是一樣的，面積是6×4=24（cm2）。而三角形的面積是平行四邊形的一半，24÷2=12（cm2）。

反饋三（如圖5）：

生：這兩種方法是一樣的，都是先畫(huà)一條平行線(xiàn)，得到一個(gè)平行四邊形，面積是6×4=24（cm2)。三角形的面積為24÷2=12（cm2）。

師：回顧剛才的思考過(guò)程，我們用什么辦法算出了三角形的面積？

生：把三角形先看成長(zhǎng)方形或者平行四邊形。

師：長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形。平行四邊形與原三角形有什么關(guān)系？

生：它們的底相等，高也相等，平行四邊形面積是原三角形的2倍。

師：誰(shuí)能概括一下三角形的面積計(jì)算方法？

生：三角形面積=底×高÷2。

師：這里的“底×高”算出的是誰(shuí)的面積？

生：與這個(gè)三角形底相等，高也相等的平行四邊形的面積。

【思考】

教學(xué)中，有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)決定了學(xué)生思維的開(kāi)闊性與深刻性?！俺尸F(xiàn)三類(lèi)不同的三角形并計(jì)算它們的面積”，這樣的問(wèn)題不僅指向明確，而且頗具挑戰(zhàn)性。但從反饋的情況看，大多數(shù)學(xué)生都能積極主動(dòng)地展開(kāi)思考并順利解決了問(wèn)題。其主要原因在于學(xué)生在前面操作活動(dòng)中所獲得的直觀感知為這里的思考奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正因?yàn)閷W(xué)生建立了三角形與長(zhǎng)方形、平行四邊形之間的聯(lián)系，使得這里的“化歸”自然而然（事實(shí)上是作了逆向思考，即將三角形還原成長(zhǎng)方形或平行四邊形）。當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式也起到了減緩坡度、指引思考方向的作用，如“將三個(gè)三角形置于一組平行線(xiàn)內(nèi)”“三類(lèi)三角形先后次序的安排”等。值得注意的是，有了問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，“化歸”已不再是操作活動(dòng)的目的，而僅僅是解決問(wèn)題的一種手段。

三、思考需要互動(dòng)交流

【教學(xué)片段】

1.“三角形面積=底×高÷2”是否適用于計(jì)算任意三角形的面積？

生：我覺(jué)得可以。三角形按角分類(lèi)只有三種情況：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。這里的三個(gè)三角形包括了所有情況。

生：不管怎樣的三角形，都可以畫(huà)兩條平行線(xiàn)使它變成一個(gè)平行四邊形，所以三角形的面積都可以這樣計(jì)算。

生：我發(fā)現(xiàn)畫(huà)兩條平行線(xiàn)其實(shí)就是畫(huà)了一個(gè)一模一樣的倒著放的三角形，兩個(gè)三角形拼成了一個(gè)平行四邊形。所以“底×高”算出來(lái)的就是兩個(gè)三角形的面積，再除以2就行了。

【思考】

盡管學(xué)生已經(jīng)初步掌握了三角形面積計(jì)算的方法，但前面所討論的僅僅是個(gè)例。由個(gè)例到一般，需要運(yùn)用歸納思維展開(kāi)合情推理。因而，這里的討論是必要的。更重要的是，結(jié)合問(wèn)題的討論引發(fā)空間想象，進(jìn)而完善公式推導(dǎo)過(guò)程，這使得學(xué)生的思維更為深刻，體驗(yàn)也更為充分。

【教學(xué)片段】

2.圖中的三角形（見(jiàn)前文圖2）是不是長(zhǎng)方形內(nèi)最大的三角形？

師：剛才同學(xué)們對(duì)圖②和圖③有爭(zhēng)議，現(xiàn)在再來(lái)看一看它們是圖中最大的三角形嗎？

生：圖②和圖③也是長(zhǎng)方形中最大的三角形，它們的面積跟圖①是一樣的，都是長(zhǎng)方形面積的一半。

生：也可以這樣看，因?yàn)槿切蔚拿娣e與它的底和高有關(guān)，這里幾幅圖中三角形的底和高都已經(jīng)是最大的了，所以雖然形狀不一樣，但是面積肯定都是最大的。

師：那么除了這里的幾種畫(huà)法，還可以怎么畫(huà)？

生：只要選一條邊作三角形的底，另一個(gè)頂點(diǎn)在對(duì)邊，這樣的三角形面積就是最大的。

【思考】

這個(gè)問(wèn)題的討論是利用現(xiàn)場(chǎng)生成的資源展開(kāi)的。學(xué)生之前對(duì)圖②和圖③是不是長(zhǎng)方形內(nèi)面積最大的三角形存在質(zhì)疑，是因?yàn)檫@個(gè)結(jié)果是“看”出來(lái)的。在掌握了三角形面積計(jì)算的方法之后再次討論這個(gè)問(wèn)題，就不再是一種直觀判斷，而是一種邏輯思考。教學(xué)中展開(kāi)這樣的思辨活動(dòng)有助于將學(xué)生的思考引向深入。

【教學(xué)片段】

3.右圖是一個(gè)梯形，你能在圖中找到幾對(duì)面積相等的三角形？

生：三角形ABC和BCD的面積相等，因?yàn)樗鼈兊牡锥际荁C，高也相等，所以面積相等。

師：我們可以說(shuō)這是兩個(gè)“等底等高”的三角形，所以它們面積相等。還有嗎？

生：三角形ABD和三角形ACD的面積也是相等的，它們也是“等底等高”。

生：我感覺(jué)三角形ABO和三角形CDO的面積也是相等的。

師：這兩個(gè)三角形也是“等底等高”嗎？

生：它們不是“等底等高”，但是因?yàn)槿切蜛BD和三角形ACD的面積相等，只要它們同時(shí)減去三角形AOD的面積，剩下的面積就相等了。

師：有沒(méi)有聽(tīng)明白他的意思？還有什么方法也能證明這兩個(gè)三角形是相等的？

生：用三角形ABC和三角形BCD也能證明，它們都減去三角形BOC的面積，余下的面積相等。

【思考】

這個(gè)問(wèn)題具有一定的拓展性。在問(wèn)題的討論中涉及兩個(gè)層次：第一層次主要是利用“等底等高”來(lái)判斷面積相等的三角形；第二層次（梯形蝴蝶定理）則要用到幾何推理。找到面積相等的三角形并說(shuō)明面積相等的理由，這是一個(gè)思維水平不斷深入的過(guò)程。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)引入合適的學(xué)習(xí)材料加以拓展，對(duì)于積累“思維經(jīng)驗(yàn)”而言也不失為是一條有效的途徑。

4.這節(jié)課你學(xué)了什么？你是怎么學(xué)的？

生：今天學(xué)習(xí)了三角形的面積計(jì)算方法，三角形的面積=底×高÷2。

師：回憶一下，我們是通過(guò)什么辦法得到了這個(gè)計(jì)算公式的？

生：畫(huà)兩條平行線(xiàn)把三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)“等底等高”的平行四邊形，平行四邊形的面積除以2就得到了三角形的面積。

師：那我們?cè)倩貞浺幌虑懊嫫叫兴倪呅蔚拿娣e公式又是怎么得到的？

生：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

師：是的，“轉(zhuǎn)化”是一種很重要的數(shù)學(xué)思想。但同樣是“轉(zhuǎn)化”，它們有什么區(qū)別嗎？

生：平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形面積是不變的，但三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，面積要擴(kuò)大2倍。

師：三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，其面積一定要擴(kuò)大2倍嗎？

生：也可以不變的。但是面積不變的話(huà)，那么底或者高就要縮小到原來(lái)的一半。

學(xué)習(xí)過(guò)程的回顧與反思對(duì)于“思維經(jīng)驗(yàn)”的積累是極其重要的?！敖?jīng)驗(yàn)”是需要交流和分享的，而交流的過(guò)程恰恰是“經(jīng)驗(yàn)”積累的“固化”過(guò)程。也就是說(shuō)，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中所獲得的感性層面的體驗(yàn)需要借助語(yǔ)言的描述逐步積淀下來(lái)成為相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)知狀態(tài)，這就是“經(jīng)驗(yàn)”的積累。與此同時(shí)，從上述討論中我們還可以看到通過(guò)聯(lián)系與比較，前后獲得的“經(jīng)驗(yàn)”還可以鏈接、整合，融會(huì)貫通。因此，對(duì)于課堂小結(jié)我們絕不能走過(guò)場(chǎng)，也不能僅僅停留在“學(xué)了什么”，而更應(yīng)關(guān)注“怎么學(xué)的”。

綜上，由于“思維經(jīng)驗(yàn)”具有綜合性、內(nèi)隱性的特征，使得我們難以像知識(shí)技能那樣分門(mén)別類(lèi)地展開(kāi)教學(xué)。但正如史寧中教授所說(shuō)，“如果能設(shè)計(jì)出好的教學(xué)方案，一定能夠成為‘幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)’的有效載體”。這就需要我們?cè)谡n堂上堅(jiān)持以生為本、以學(xué)為本，盡可能創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)、積極展開(kāi)思考，從而獲得更為豐富的感悟與體驗(yàn)。并且，這絕非一朝一夕之功，而是一個(gè)長(zhǎng)期的累積過(guò)程。

[1]史寧中.基本概念與運(yùn)算法則[M].北京：高等教育出版社，2013（5）.

[2]張奠宙，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.

[3]宋健泳，范新林.經(jīng)歷圖形認(rèn)知過(guò)程 積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)——以“平面圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（9）.

（浙江省湖州市鳳凰小學(xué) 313000）