茹峰

【摘要】 如何解決中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)內(nèi)容多、參考資料雜而課時(shí)有限的困境？本文借賞析藤麗老師《平面直角坐標(biāo)系中的平行直線》一課中對(duì)一道中考復(fù)習(xí)題的支架式教學(xué)，指出中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該借助重點(diǎn)習(xí)題的教學(xué)構(gòu)建一個(gè)遞進(jìn)式的知識(shí)體系，讓學(xué)生消化得了，并形成數(shù)學(xué)思考與方法，學(xué)生舉一反三。

【關(guān)鍵詞】 中考題 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 支架

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2016）02-073-030

一、背景

面對(duì)歷年的中考數(shù)學(xué)難題，不少老師總是感到變化無(wú)常而無(wú)規(guī)律可循，導(dǎo)致復(fù)習(xí)時(shí)械重復(fù)訓(xùn)練很多且收效甚微。近年來(lái)，筆者聽(tīng)過(guò)不少?gòu)?fù)習(xí)課，但印象頗深的要數(shù)寧波蛟川書(shū)院藤麗老師的課了。藤老師借助2012年中考數(shù)學(xué)寧波卷第26題的第（3）問(wèn)，以兩條平行線為基本模型，由平面直角坐標(biāo)系中的簡(jiǎn)單的平行線設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題讓學(xué)生積極探索，充分挖掘平行線在數(shù)學(xué)中考中的廣泛應(yīng)用，科學(xué)地設(shè)置了知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，通過(guò)模型的不斷變式，有效地啟發(fā)和培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，使在場(chǎng)教師受益匪淺。

原題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。在此拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以F為圓心、為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

很明顯，這一習(xí)題的解答對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用程度極高，依現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)畢業(yè)班備考階段的通行做法，本題講解的一般思路是：考點(diǎn)分析——解題分析——解題過(guò)程講解——方法總結(jié)。選擇這種習(xí)題講授法的教師占多數(shù)，主要原因是心理上所承受的中考應(yīng)試壓力大，理念上受“雙基”的影響，行為上采取“滿堂灌”式的傳授。但依伍德的學(xué)習(xí)支架理論來(lái)進(jìn)行教學(xué)診斷，這種常規(guī)講解方法屬于支架過(guò)度：教師代替并束縛了學(xué)生的思維，就算學(xué)生聽(tīng)懂了也只是達(dá)成了一個(gè)短期的記憶效果，并沒(méi)有讓大多數(shù)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想上的認(rèn)知或收獲。還有部分教師選擇的是先學(xué)后教的方式，讓學(xué)生以合作探究或獨(dú)立思考方式先進(jìn)行自我嘗試，然后再進(jìn)行全面講解。但由于第（3）問(wèn)不易想出解題方法，學(xué)生的“已知區(qū)”與“最近發(fā)展區(qū)”之間鴻溝過(guò)大，多數(shù)學(xué)生都會(huì)束手無(wú)側(cè)。本文擬結(jié)合藤老師的教學(xué)過(guò)程作一個(gè)賞析評(píng)價(jià)，與同行分享并研討。

二、學(xué)習(xí)支架的遞進(jìn)構(gòu)建

支架性問(wèn)題1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB 分別交x軸，y軸于點(diǎn)A（-2，0），B（0，-2）。（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）若直線l與直線AB平行，增加一個(gè)怎樣的條件就可以確定直線l的解析式？（3）若直線AB 向下平移2個(gè)單位，求所得的函數(shù)解析式？

分析：對(duì)于（2）的解答有學(xué)生提出增加“直線l過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（0，1）”。因?yàn)橥ㄟ^(guò)第一小題可得直線AB的函數(shù)解析式為y=-x-2，再結(jié)合已知條件兩直線平行，則x的系數(shù)是相等的，所以只要再知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定函數(shù)解析式了。

有學(xué)生認(rèn)為，若知道直線l與AB之間距離為22，應(yīng)該可以得出函數(shù)解析式的。

有的則說(shuō)可以增加“將直線AB向右平移1個(gè)單位”。還有的認(rèn)為可以求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而兩點(diǎn)決定一條直線。有一個(gè)學(xué)生則認(rèn)為：平移后的直線和原直線平行，所以k=-1，如增加（3），則直線l與y軸的交點(diǎn)為（0，-4）”函數(shù)解析式為y=-x-4。

教學(xué)評(píng)析：通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，能有效打開(kāi)學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生積極探索，歸納總結(jié)兩平行直線解析式的

特征和決定一直線的條件，

為下面的教學(xué)埋下了伏筆。

支架性問(wèn)題2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x-1分別交x軸， y軸于點(diǎn)A、B. 若直線l與直線AB平行，且與直線AB的距離等于55.求直線l的解析式。

師生解析：過(guò)A作PA⊥AB，使得PA=55，再過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，

則△AOB∽△PAM，得到AM=15，PM=25，所以點(diǎn)P（-95，25），過(guò)P作直線l∥AB，設(shè)直線l為y=-12x+b代入點(diǎn)P得b=-12，類似地在直線AB下方也可以求出b=-32.

既然只要再求出一個(gè)點(diǎn)就可以確定解析式了，那么我們這個(gè)點(diǎn)就可以取得特殊點(diǎn)，在y軸上找一點(diǎn)P，使得PM⊥AB，則△BMP∽△BOA，得到點(diǎn)P（0，-12），所以直線l為y=-12x-12，類似直線下方的解析式為y=-12x-32.

教學(xué)評(píng)析：用特殊點(diǎn)和方程思想來(lái)解決問(wèn)題，其實(shí)線段與點(diǎn)的坐標(biāo)也存在著一定的關(guān)系，得出y=-12x-12是由原來(lái)直線向上平移12個(gè)單位，或者向下平移12個(gè)單位得到進(jìn)一步強(qiáng)化通過(guò)平行線之間的距離來(lái)求解析式，強(qiáng)化用特殊到一般，熟練掌握用方程的思想在幾何中的運(yùn)用。

支架性問(wèn)題3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）。問(wèn)題1：在此拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)、BC為腰的四邊形是梯形？

若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

師生解析：當(dāng)AC為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，得點(diǎn)D1 （-12，-1）；當(dāng)AB為底時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，點(diǎn)D為直線CD與拋物線的交點(diǎn)，求得D2 （-3，2）。

教學(xué)評(píng)析：用分類思想探究問(wèn)題，方程思想解決問(wèn)題，從而求出點(diǎn)D坐標(biāo)。這里已經(jīng)逐步過(guò)渡到第26題的第3問(wèn)，讓學(xué)生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。讓分類更為完備，逐步加大平行線想象難度，培養(yǎng)學(xué)生的分類思想，同時(shí)也強(qiáng)化了兩平行線的函數(shù)特征。

支架性問(wèn)題4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問(wèn)題2：在此拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE的面積等于0.5 ？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

師生解析：由SΔABC=12和AB=5，可得AB邊上的高為55，那么就是學(xué)生7所求的兩直線和已知拋物線的交點(diǎn)，計(jì)算得E1（-2-1，22），E2（2-1，-22），E3（-1，-1）。

教學(xué)評(píng)析：逐步過(guò)渡到第26題的第3問(wèn)，把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為剛才我們所解的直線方程與拋物線的交點(diǎn)，運(yùn)用了方程的思想求解，讓學(xué)生回憶并用轉(zhuǎn)化的思想。

支架性問(wèn)題5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、B（0，-1）、C（1，0）。問(wèn)題3：在此拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得以F為圓心、55為半徑的圓和直線AB相切 ？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

師生解析：這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為就是拋物線上的點(diǎn)到直線AB的距離為55.

三、值得借鑒之處

藤麗老師的課為我們老師怎樣上一節(jié)高效的復(fù)習(xí)課指明了方向，從課堂的教學(xué)評(píng)價(jià)來(lái)看，學(xué)生顯然做到了舉一反三，形成了解決所有類似問(wèn)題的技能。

1.巧妙整合，形成探究支架

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)支架是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中老師所給予的、讓學(xué)生順利地跨越“已知區(qū)”到“最近發(fā)展區(qū)”、甚至“未知區(qū)”的支持，它具有過(guò)渡性與支撐性兩個(gè)特點(diǎn)。復(fù)習(xí)課最忌“題海戰(zhàn)術(shù)”與“炒冷飯”，藤老師注意知識(shí)的整合，把一道復(fù)雜習(xí)題的解析過(guò)程演變?yōu)橐粋€(gè)平行線的系列問(wèn)題進(jìn)行剖析。通過(guò)一個(gè)個(gè)問(wèn)題的遞進(jìn)式解決，最終大題的解決已經(jīng)水到渠成，同時(shí)又系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了相關(guān)知識(shí)，形成了解題能力。

2.開(kāi)放性設(shè)問(wèn)，留給學(xué)生思考

藤麗老師的很多問(wèn)題都沒(méi)有固定答案，她將問(wèn)題的多種思考方向留給學(xué)生自己去探究，這有助于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

3.提煉方法，引導(dǎo)舉一反三

數(shù)學(xué)是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的工具與方法，更是一種思維方式與思想模型。藤老師的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)生與發(fā)展的全過(guò)程，把綜合題分解為基本題，又能把基本題整合成綜合題。

四、小結(jié)

在例題教學(xué)中，我們先通過(guò)設(shè)置具有開(kāi)放性的學(xué)習(xí)支架來(lái)暴露問(wèn)題本質(zhì)要素，引發(fā)學(xué)生對(duì)虛擬的動(dòng)態(tài)點(diǎn)線進(jìn)行追蹤或以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行圖形觀察，促使學(xué)生形成必要的幾何直觀與數(shù)學(xué)悟性；然后再利用指南支架讓學(xué)生形成解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以小結(jié)的形式及時(shí)歸納經(jīng)驗(yàn)性的認(rèn)識(shí)與思想性的認(rèn)識(shí)。教師在支架的構(gòu)建過(guò)程中一方面要具備重新抓住一條主線整合知識(shí)的能力，讓學(xué)生有耳目一新之感，通過(guò)拾級(jí)而上順利解決問(wèn)題，又能形成思想方法與舉一反三的能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]丁爾陞.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論[M].北京：高等教育出版社，1990.