李霄民， 聞道君

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)

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財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容體系研究*

李霄民， 聞道君

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067)

摘要：針對財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的專業(yè)知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析了財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模課程的現(xiàn)狀及特點(diǎn)，提出了符合財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生特點(diǎn)的數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)內(nèi)容體系及編寫相關(guān)教材的構(gòu)想;通過實(shí)踐教學(xué)及近年來數(shù)學(xué)建模取得的成績證明，該內(nèi)容是符合財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生特點(diǎn)的。

關(guān)鍵詞：財(cái)經(jīng)類院校；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)內(nèi)容；教材

自1992年以來，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽取得了巨大的發(fā)展，各高校紛紛開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程。相對于理工科院校，財(cái)經(jīng)類院校開設(shè)數(shù)學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)的課程，在數(shù)學(xué)知識方面的處理就要另具特色。首先因?yàn)樨?cái)經(jīng)類院校的生源相當(dāng)一部分是文科學(xué)生，這部分學(xué)生相對而言，數(shù)學(xué)底子要薄弱一些；其次就是專業(yè)特點(diǎn)，財(cái)經(jīng)類院校的大部分專業(yè)屬于經(jīng)管類專業(yè)，在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用方面和理工類專業(yè)有很大的區(qū)別，因此在開設(shè)數(shù)學(xué)建模及實(shí)驗(yàn)的課程時(shí)就要充分考慮到這些因素，才能做到因材施教，取得相應(yīng)的教學(xué)效果，同時(shí)也才能使開設(shè)的課程更具有生命力。

1數(shù)學(xué)建模課程的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模課程難度大，涉及面廣，形式靈活。首先，從教學(xué)內(nèi)容上講，涉及面十分廣泛，它既和數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，又不是純粹的數(shù)學(xué)課程，沒有數(shù)學(xué)課內(nèi)容前后的邏輯性。課程的內(nèi)容要涉及數(shù)學(xué)的許多的領(lǐng)域和分支，但又不能系統(tǒng)地闡述相關(guān)方面的數(shù)學(xué)知識，如何把握這個(gè)中間的度，對教師和學(xué)生都是個(gè)挑戰(zhàn)。同時(shí)數(shù)學(xué)建模所解決的具體問題又涉及許多非數(shù)學(xué)專業(yè)方面的知識和背景，如管理、經(jīng)濟(jì)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等，幾乎是包羅萬象。其次，從教學(xué)的角度講，對教師是一個(gè)極大的挑戰(zhàn)。教師既要熟悉數(shù)學(xué)各領(lǐng)域的知識，又要熟悉許多非數(shù)學(xué)專業(yè)方面的知識和背景，并能將二者有機(jī)結(jié)合起來，講給不同專業(yè)背景的學(xué)生聽，這給教學(xué)帶來較大的難度。最后，從學(xué)習(xí)的角度講，對學(xué)生也有較大的挑戰(zhàn)性。來自不同省份的文理科學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，在不同專業(yè)背景下應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的思路和技巧也相差很大。大部分專業(yè)的學(xué)生只學(xué)過微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識，但是數(shù)學(xué)建模課程需要的數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)超出這個(gè)范圍。同時(shí)，不同的專業(yè)背景也決定了對不同建模問題理解的差異。

2財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

首先，是數(shù)學(xué)課程的開設(shè)。一般財(cái)經(jīng)類院校各專業(yè)開設(shè)的數(shù)學(xué)課程有微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)，還有部分專業(yè)開設(shè)了運(yùn)籌學(xué)等。由于文科生生源比較多，這些課程講授的難度比理工科院校要低，講授的內(nèi)容也比理工科專業(yè)的學(xué)生要少，這樣財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的數(shù)學(xué)知識在深度和廣度上相對于理工科院校的學(xué)生就有些先天不足，再加上訓(xùn)練強(qiáng)度的差別，邏輯思維能力和復(fù)雜運(yùn)算能力上也比理工科的學(xué)生要弱一些。另一方面，財(cái)經(jīng)類院校的專業(yè)大多是經(jīng)濟(jì)、管理、金融等方面的專業(yè)，這些專業(yè)的學(xué)生有良好的經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)的素養(yǎng)，并且也有深厚的文字功底，這些比理工科學(xué)生占有優(yōu)勢。

3財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模課程的現(xiàn)狀

重慶工商大學(xué)作為重慶市財(cái)經(jīng)類院校的典型代表,數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)經(jīng)歷了全校宣講、分類指導(dǎo)和建模課程建設(shè)等幾個(gè)階段,經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐和參賽,我校學(xué)生分別獲得了全國一、二等獎(jiǎng)若干項(xiàng)的良好成績。同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)建模競賽的推廣和縱深發(fā)展，關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程設(shè)置的一些問題也逐漸顯露, 這引發(fā)出對傳統(tǒng)的課程設(shè)置和課程改革的思考，發(fā)現(xiàn)還存在著以下幾方面的問題：

課程設(shè)置:應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)沒有開設(shè)專業(yè)的數(shù)學(xué)建模課程,這是一大缺陷,就好比一輛好的車失去了發(fā)動(dòng)機(jī)。數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)是全校其他專業(yè)數(shù)學(xué)建模課程的龍頭,失去了這個(gè)龍頭就失去了源動(dòng)力。同時(shí)在其他專業(yè),也只是作為選修課程開設(shè)了數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)課程,并且學(xué)時(shí)偏少。

教材和內(nèi)容:隨著數(shù)學(xué)建模課程在大專院校教學(xué)中的普及,國內(nèi)有不少數(shù)學(xué)建模方面的教材問世, 但是這些教材多數(shù)是針對理工科學(xué)生編寫的,針對財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的教材卻很少。

教學(xué)方法和手段:數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的特點(diǎn)應(yīng)該是基本上脫離了傳統(tǒng)的以教師板書講授為主,學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的教學(xué)方法。課程內(nèi)容教學(xué)應(yīng)該采用以教師簡略講解理論,學(xué)生為主動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的教學(xué)方式。練習(xí)和考核方式應(yīng)該明顯有別于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程，平時(shí)練習(xí)應(yīng)多采用上機(jī)、案例分析和論文等方式,采用綜合考核,即平時(shí)練習(xí)、階段論文、期末考試3部分綜合評定成績,而不是簡單靠一張?jiān)嚲怼Ｄ壳?，教學(xué)方法和手段離建模課程要求還有一定差距。除了個(gè)別專業(yè)開設(shè)了少量的選修課外,大部分學(xué)生要參加數(shù)學(xué)建模競賽,只有利用假期參加快餐式的短期培訓(xùn),這樣的教學(xué)效果就大打折扣,也就不可避免地影響我校的參賽成績。

教師隊(duì)伍:數(shù)學(xué)建模的教學(xué), 需要老師有較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力,精通數(shù)學(xué)各門基礎(chǔ)課,在教學(xué)中善于滲透數(shù)學(xué)建模的思想或設(shè)置開放型應(yīng)用題,培養(yǎng)學(xué)生提出問題的習(xí)慣和能力,讓學(xué)生嘗試實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程。目前，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教師隊(duì)伍在這方面還有不足,教師這方面的能力還比較薄弱,師生互動(dòng)機(jī)會較少,學(xué)生沒有建立起自己動(dòng)手、動(dòng)腦相結(jié)合的學(xué)習(xí)模式。

4財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置

數(shù)學(xué)知識的補(bǔ)充。由于專業(yè)的要求，財(cái)經(jīng)類專業(yè)的數(shù)學(xué)課程僅限于微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)。雖然有個(gè)別專業(yè)開設(shè)了運(yùn)籌學(xué)課程，但在教學(xué)內(nèi)容的深度和廣度上相對于理工科各專業(yè)顯得不夠。針對上述特點(diǎn)，應(yīng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識做有選擇性的補(bǔ)充?；趬蛴玫脑瓌t，教師在課程中分別介紹了線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃及最優(yōu)化理論，同時(shí)對微分方程和差分方程做了進(jìn)一步的加深。另外，對圖論與組合的基礎(chǔ)知識也做了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充。介紹了組合數(shù)學(xué)的基本原理，對圖論中的內(nèi)容有選擇地介紹了最短路的概念及算法、涉及行遍性問題的歐拉圖及哈密爾頓圖的知識、匹配與覆蓋、網(wǎng)絡(luò)流及染色的知識。對計(jì)算數(shù)學(xué)中的插值與擬合也做了方法上的介紹。對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方法(如回歸分析等等)也做了比較系統(tǒng)的介紹?；诮?jīng)濟(jì)模型的需要，也初步介紹了博弈論方面的基本知識。

計(jì)算機(jī)知識的補(bǔ)充。鑒于計(jì)算機(jī)在建模過程中的廣泛應(yīng)用，也應(yīng)有選擇性地補(bǔ)充一些該方面的知識。首先，給學(xué)生介紹一些常用軟件的高級功能，由于平時(shí)學(xué)生用到的WORD和EXCEL的功能不能滿足數(shù)學(xué)建模的需要，給學(xué)生補(bǔ)充一些WORD和EXCEL的稍高級的使用技巧就變得非常必要。特別是EXCEL里數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析功能，用這些功能做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析有時(shí)比用其他軟件編程解決更快更容易入手。其次，重點(diǎn)介紹最常用的幾個(gè)軟件的使用，如MATLAB，LINGO，SPSS，SAS等。最后，再給學(xué)生介紹一些計(jì)算機(jī)中在數(shù)學(xué)建模中常用的算法，如蒙特卡羅算法，數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法，線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類算法，圖論算法，動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法，最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、遺傳算法，網(wǎng)格算法和窮舉法，一些連續(xù)數(shù)據(jù)離散化方法，數(shù)值分析算法，圖像處理算法等。

常用模型的介紹。線性規(guī)劃模型：利用前面補(bǔ)充過的線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)知識，從實(shí)例引出線性規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后從財(cái)經(jīng)類專業(yè)學(xué)生熟悉的投資收益與風(fēng)險(xiǎn)問題做為案例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立線性規(guī)劃模型的方法，最后介紹如何用MATLAB和LINGO解這類模型。

非線性規(guī)劃模型：主要介紹非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型及其建立的方法，同時(shí)介紹非線性規(guī)劃問題的解的概念，然后介紹用MATLAB如何求解非線性規(guī)劃模型，最后利用案例如鋼管訂購和運(yùn)輸，來完整展示非線性規(guī)劃模型建立求解的全過程。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型：主要介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方法、概念和方程；最優(yōu)化原理和最優(yōu)性定理；構(gòu)成動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的條件；動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推方法；動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型建立及求解的示例等。

無約束優(yōu)化模型：主要介紹無約束最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，無約束最優(yōu)化問題的解及解法，如搜索法、最速下降法、牛頓法等，然后介紹用MATLAB求解無約束最優(yōu)化問題的方法。

微分方程模型：主要介紹微分方程模型的常用建模方法，如根據(jù)問題自身規(guī)律建立模型、微元法建模、模擬近似法建模等；介紹微分方程的定性理論、穩(wěn)定性理論和數(shù)值解的方法，如歐拉法、梯形方法、龍格庫塔方法等；最后介紹用MATLAB解微分方程的方法。

差分方程模型：主要介紹差分方程的基本概念及模型、基本解法及其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，最后介紹一個(gè)案例，如最優(yōu)捕魚策略問題等。

圖論模型：主要介紹最短路問題及其應(yīng)用，案例主要有多階段決策問題、中心及重心問題；匹配與覆蓋問題及其應(yīng)用，案例主要有鎖具裝箱問題；行遍性問題及應(yīng)用，案例主要有著名的中國郵遞員問題及推銷員問題，同時(shí)作為這兩個(gè)問題的應(yīng)用，介紹最佳災(zāi)情巡視路線問題；網(wǎng)絡(luò)流問題，主要有最大流的概念及求法，案例有最小費(fèi)用流問題等。

隨機(jī)模型：隨機(jī)模型主要用到概率論的相關(guān)知識。主要介紹電梯問題、釣魚問題、經(jīng)濟(jì)軋鋼問題、報(bào)童的策略問題及設(shè)備檢查問題等。

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型：主要介紹博弈論中的相關(guān)模型，包括二人零和游戲模型、非合作博弈模型，還包括納什均衡、子博弈精煉納什均衡、貝葉期納什均衡及精煉貝葉斯均衡。

5財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模教材編寫的構(gòu)想

科學(xué)的教材內(nèi)容是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，也是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。隨著數(shù)學(xué)建模課程在大專院校的普及,有不少教材問世,但是這些教材多數(shù)是針對理工科學(xué)生編寫的,針對財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的教材卻很少,為此擬編寫一套適合財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生的相關(guān)教材，相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容也能夠緊密結(jié)合學(xué)生的專業(yè)展開。理工類學(xué)生的數(shù)學(xué)建模教材,會對經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的學(xué)生造成無形的壓力，特別是文科學(xué)生居多的財(cái)經(jīng)類院校，由于數(shù)學(xué)底子差，比例過重的數(shù)學(xué)理論易造成學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的困難，從而失去學(xué)習(xí)的興趣，更談不上數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)了。結(jié)合財(cái)經(jīng)類院校專業(yè)學(xué)生的特點(diǎn),在編寫教材時(shí),盡可能由淺入深,多介紹一些入門知識,然后引導(dǎo)學(xué)生逐步加深;在案例的選材上,最好能結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識,這樣學(xué)生才容易入門,也容易了解數(shù)學(xué)在本學(xué)科當(dāng)中的應(yīng)用背景;最后，結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬,提供具體生動(dòng)的建模和實(shí)驗(yàn)過程,彌補(bǔ)文科學(xué)生對數(shù)學(xué)知識抽象性理解的缺乏。總之,教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)設(shè)置是教學(xué)成敗的關(guān)鍵.

6結(jié)語

數(shù)學(xué)建模課程是非數(shù)學(xué)專業(yè)類學(xué)生數(shù)學(xué)課程的自然拓展。這門課程能使學(xué)生看到數(shù)學(xué)知識的巨大應(yīng)用前景，不僅能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的興趣，更重要的是使學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，對學(xué)生以后的工作和學(xué)習(xí)有重要的影響。同時(shí)，使財(cái)經(jīng)類院校的學(xué)生不再對數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生“畏懼”感。因而, 構(gòu)建有財(cái)經(jīng)院校特色的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)內(nèi)容體系并規(guī)范財(cái)經(jīng)類院校數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué), 對提高數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的效果具有重要的實(shí)際意義, 對培養(yǎng)高層次的經(jīng)濟(jì)管理人才也有著重要的實(shí)踐意義。通過教學(xué)實(shí)踐及近年來我校取得的數(shù)學(xué)建模成績，說明此處提出的針對財(cái)經(jīng)類院校學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容體系是符合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)的，并且是有成效的。

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責(zé)任編輯：李翠薇

Research on Teaching Content System of Mathematical Modeling Courses inFinancial and Economics Type Colleges and Universities

LI Xiao-min, WEN Dao-jun

(School of Mathematics and Statistics, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067, China)

Abstract：According to structural characteristics of professional knowledge of the students in financial and economics type colleges and universities, this paper analyzes the status quo and characteristics of mathematical modeling courses in the colleges and universities, points out the teaching content system of the mathematical modeling courses matching the characteristics of the students in the colleges and universities and presents the related ideas for composing the relative textbooks. Practical teaching and the achievements in mathematical modeling in recent years prove that the content matches the characteristics of the students in the colleges and universities.

Key words：financial and economics type colleges and universities; mathematical modeling; teaching content; textbook

中圖分類號：G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-058X(2016)02-0125-04

作者簡介：李霄民(1970-)，男，教授，山西稷山人，從事圖論及數(shù)學(xué)建模研究.

*基金項(xiàng)目：重慶市高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目資助(1203057；143059).

收稿日期：2015-09-20；修回日期：2015-11-25.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2016.0002.024