武維民 孫雪娜

【摘 要】數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。本文主要從重視數(shù)概念的建立，重視數(shù)位和位值制的理解，重視對(duì)大數(shù)的感受三方面來(lái)論述如何在建立數(shù)概念的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

【關(guān)鍵詞】數(shù)概念 培養(yǎng) 學(xué)生 數(shù)感

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知；又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟?！啊小峭饨绱碳ぷ饔糜谥黧w而產(chǎn)生的，是通過(guò)肢體（如感官等）而不是通過(guò)大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分?！颉侵黧w自身的，是通過(guò)大腦思維而產(chǎn)生的?！形颉羌韧ㄟ^(guò)肢體又通過(guò)大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們又該怎樣幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)感呢？

一、重視數(shù)概念的建立

理解數(shù)的意義一般有兩個(gè)角度，一是從數(shù)的組成去理解，通過(guò)組成理解數(shù)的大小和多少，加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。二是聯(lián)系生活實(shí)際來(lái)體會(huì)，通過(guò)在具體現(xiàn)實(shí)的情境中，理解數(shù)在生活實(shí)際中的意義，使抽象的數(shù)和具體的量有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步理解數(shù)的意義。在實(shí)際教學(xué)中我們要把這兩種方式有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，這樣更有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)的意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（一）在情境中理解

學(xué)生對(duì)數(shù)并不陌生，在入學(xué)之前，學(xué)生已對(duì)具體的數(shù)有了比較豐富的感知，他們會(huì)讀、會(huì)寫(xiě)，會(huì)說(shuō)一些具體的數(shù)。我們?cè)诮虒W(xué)中就要關(guān)注從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)的過(guò)程，例如從具體的2匹馬、2棵樹(shù)、2頭牛、2個(gè)人，抽象為2這個(gè)數(shù)。這時(shí)用一個(gè)數(shù)字也是一個(gè)特殊的符號(hào)來(lái)表示數(shù)量，已經(jīng)把具體的單位和這個(gè)數(shù)量的具體含義去掉，抽象為數(shù)“2”。反過(guò)來(lái)，2可以表示任何具有2這樣數(shù)量特征的事物，例如2支鉛筆、

2個(gè)人、2只小動(dòng)物……隨著教學(xué)的深入，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的豐富含義，比如計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)等。

（二）在操作中感知

自然數(shù)的認(rèn)識(shí)的教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生從數(shù)量抽象到數(shù)，抽象離不開(kāi)直觀的支撐和操作，例如計(jì)數(shù)器、小棒、圖形等，讓學(xué)生親自數(shù)一數(shù)、擺一擺、圈一圈、畫(huà)一畫(huà)，學(xué)生數(shù)的過(guò)程也是一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程，同時(shí)感受具體的數(shù)量。

【案例名稱】認(rèn)識(shí)百以內(nèi)的數(shù)

【案例背景】這里介紹吉林市第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)陳曉梅老師教學(xué)“認(rèn)識(shí)百以內(nèi)的數(shù)”的過(guò)程。教科書(shū)設(shè)計(jì)了“數(shù)鉛筆”的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出數(shù)的過(guò)程。陳老師為學(xué)生擺放了數(shù)目不同的學(xué)具，云豆、小正方體、小棒、鉛筆等，讓學(xué)生經(jīng)歷了4次數(shù)的過(guò)程。

【案例描述】

“數(shù)一數(shù)”活動(dòng)1：初數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

學(xué)生都把學(xué)具輕輕地倒在桌面上，小心翼翼地?cái)?shù)起來(lái)：

“45，46，47，48……91，92，93，94，95，我有95根小棒?！?/p>

“……98，99，100。我的正好是100個(gè)云豆粒兒！”

“我只有88支鉛筆?！?/p>

“我的小正方體是103個(gè)，哇，比100還多呢！”

……

筆者不停地巡視，與學(xué)生交流，發(fā)現(xiàn)他們幾乎都是“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)”。

“數(shù)一數(shù)”活動(dòng)2：再數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

“同學(xué)們，看到你們數(shù)數(shù)、匯報(bào)結(jié)果時(shí)認(rèn)真高興的樣子我特別快樂(lè)?？墒?，你們數(shù)過(guò)后的豆子、小棒、小正方體、鉛筆都一堆一堆地放到一起，你們自己知道多少，但別人不知道。能不能想個(gè)好辦法，讓別人一看就知道呢？”

“我們小組想出了好辦法，你看，只要把云豆10個(gè)一堆，10個(gè)一堆，就知道有多少了。”

“我們把小棒10根一捆，10根一捆。有幾捆就是幾十，比如我的小棒能捆9捆，剩5根，合在一起就是95根小棒。”

“我們小組把小正方體10個(gè)擺一排，10個(gè)擺一排，10個(gè)10個(gè)數(shù)，正好是100個(gè)?！保ń處熛鄼C(jī)板書(shū)：10個(gè)十是100）……

數(shù)一數(shù)活動(dòng)3：三數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

“同學(xué)們，這節(jié)課我們就是認(rèn)識(shí)一百以內(nèi)的數(shù)（板書(shū)課題）。剛才誰(shuí)數(shù)的數(shù)正好是100？”

只有一個(gè)人舉起了手（只給學(xué)生準(zhǔn)備了一袋），其他同學(xué)都有點(diǎn)“沮喪”。于是便進(jìn)一步問(wèn)道：“只有亮亮的正好是100個(gè)，那你怎樣才能得到100個(gè)呢？”

“我有95個(gè)云豆，只要再給我5個(gè)就是100了?！?/p>

“我的是99根小棒，再加1根就是100根?！?/p>

“我的鉛筆只有88支，再數(shù)……再數(shù)……反正再接著數(shù)10多支也能數(shù)到100支?！?/p>

還有學(xué)生說(shuō)：“我的是105個(gè)云豆，再去掉5個(gè)就是100個(gè)了。”

“我的是103個(gè)小正方體，去掉3個(gè)就得到100個(gè)?！薄?/p>

“數(shù)一數(shù)”活動(dòng)4：四數(shù)百以內(nèi)數(shù)。

①數(shù)出35個(gè)學(xué)具，讓別人很容易看出，并說(shuō)說(shuō)35這個(gè)數(shù)的組成。

②從35數(shù)到44，說(shuō)44的組成。

③從89、32、76各數(shù)的后面連續(xù)數(shù)出5個(gè)數(shù)。

④10個(gè)10個(gè)數(shù)到100。

⑤5個(gè)5個(gè)數(shù)到100。

⑥從學(xué)具中快速數(shù)出90個(gè)（挑戰(zhàn)學(xué)生的智慧）。

⑦感受100有多少（結(jié)合具體的學(xué)具和情境）。

本節(jié)課安排了4次數(shù)一數(shù)活動(dòng)，每個(gè)活動(dòng)都富有目的、具有挑戰(zhàn)，學(xué)生的數(shù)感正是在挑戰(zhàn)性的活動(dòng)中逐漸得以發(fā)展。挑戰(zhàn)之一：初數(shù)百以內(nèi)各數(shù)，了解學(xué)生已有的數(shù)數(shù)經(jīng)驗(yàn)。挑戰(zhàn)之二：再數(shù)百以內(nèi)各數(shù)，感受十進(jìn)制的意義和數(shù)數(shù)策略的多樣化。挑戰(zhàn)之三：三數(shù)百以內(nèi)數(shù)，感受百以內(nèi)數(shù)之間的聯(lián)系。挑戰(zhàn)之四：四數(shù)百以內(nèi)數(shù)，發(fā)展學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。采用“正數(shù)、倒數(shù)、跳數(shù)、接數(shù)”等多種方式，不僅體會(huì)了數(shù)位、基數(shù)、數(shù)序的意義，也發(fā)展了學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。這一切都源自教師的有價(jià)值的教學(xué)行為。一是充分地了解并尊重了學(xué)生的基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)；二是充分鼓勵(lì)學(xué)生操作，并在操作中展示自己的思維；三是提供給學(xué)生充分思考和表達(dá)的空間；四是及時(shí)提出具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生不斷思考；五是及時(shí)鼓勵(lì)，并示范高水平的思維活動(dòng)。不斷的挑戰(zhàn)，不斷的突破，這正是數(shù)學(xué)課所要追求的價(jià)值，使所有學(xué)生都變得聰明伶俐，充滿智慧！

（三） 利用模型理解

在數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，我們要注意運(yùn)用多種模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義、建立數(shù)的概念，比如計(jì)數(shù)器、數(shù)位桶、方格圖、數(shù)位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道數(shù)的大小和現(xiàn)實(shí)中的多少之間的關(guān)系，這也是數(shù)感很重要的本質(zhì)問(wèn)題。

例如，利用多種模型幫助學(xué)生理解、建立分?jǐn)?shù)的概念。

分?jǐn)?shù)的面積模型：用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)

兒童最早是通過(guò)“部分—整體” 來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，因此在教材中分?jǐn)?shù)概念的引入是通過(guò)“平均分”某個(gè)“正方形”或者“圓”取其中的1份或幾份（涂上“陰影”）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，這些直觀模型即為分?jǐn)?shù)的“面積模型”。

分?jǐn)?shù)的集合模型：用集合的“子集—全集”來(lái)表示分?jǐn)?shù)

這是“部分—整體”的另外一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型聯(lián)系密切，但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是“單位1”不再真正是“1個(gè)整體”了，而是把幾個(gè)物體看作“1個(gè)整體”，作為一個(gè)“單位”，所取的“1份”也不是“1個(gè)”，可能是“幾個(gè)”作為“1份”，例如把4個(gè)桃子看作“單位1”，平均分成2份，每份占整體的2個(gè)。分?jǐn)?shù)的集合模型需要學(xué)生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個(gè)”看作“整體1”。

分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”：數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)

除此之外，分?jǐn)?shù)墻是一個(gè)很好的學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的直觀模型，有助于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位、分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)、等值分?jǐn)?shù)（數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系）、分?jǐn)?shù)之間簡(jiǎn)單的加減法、倒數(shù)等。

二、重視位值制的理解

為了表示更大的數(shù)，位值制概念的建立十分重要。要讓學(xué)生理解不同位置上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，沒(méi)有位值制的規(guī)定就沒(méi)有辦法表示更大的數(shù)。認(rèn)識(shí)個(gè)、十、百、千、萬(wàn)等不同的數(shù)位，理解不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同大小的數(shù)，是理解整數(shù)概念所必須了解的。學(xué)生必須清楚地了解，同樣一個(gè)數(shù)字“3”，在個(gè)位上表示3個(gè)一；在十位上表示30，即3個(gè)十；在百位上表示300，即3個(gè)百。第一學(xué)段完成整數(shù)萬(wàn)級(jí)的認(rèn)識(shí)，第二學(xué)段認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)，進(jìn)而整理十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。我國(guó)采用四位分級(jí)的方法，萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的個(gè)位、十位、百位、千位為個(gè)級(jí)，學(xué)生理解各級(jí)上的每個(gè)數(shù)字的意義，這是理解多位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字意義的前提條件。

（一）重視10的概念的建立

要讓學(xué)生理解數(shù)位和位值制，一定要走好關(guān)鍵的第一步：10的認(rèn)識(shí)，要重視10的概念的建立。在教學(xué)10的認(rèn)識(shí)時(shí)，要讓學(xué)生親自感受到由9再加1變成10的過(guò)程，可以通過(guò)數(shù)、擺、捆、撥、說(shuō)等方法，讓學(xué)生充分感受10個(gè)1是一個(gè)十，1個(gè)十是10個(gè)一，建立10的概念，在11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)中仍然要關(guān)注10的概念的建立，體會(huì)滿十進(jìn)一的過(guò)程。

（二）重視數(shù)計(jì)數(shù)單位

為幫助學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法和位置制。要重視數(shù)計(jì)數(shù)單位，逐步建立新的計(jì)數(shù)單位，讓學(xué)生10個(gè)10個(gè)數(shù)，100個(gè)100個(gè)數(shù)，1000個(gè)1000個(gè)數(shù)……在數(shù)的過(guò)程中進(jìn)一步明確10個(gè)一是1個(gè)十，10個(gè)十是一百，10個(gè)百是一千，10個(gè)千是一萬(wàn)……從而引出了新的計(jì)數(shù)單位，在一個(gè)單位、一個(gè)單位數(shù)的活動(dòng)中，學(xué)生充分體會(huì)滿10個(gè)單位就產(chǎn)生一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位。感受了兩個(gè)相鄰計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十。

（三）重視數(shù)位順序表的使用

從認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)起就讓學(xué)生了解個(gè)位和十位，認(rèn)識(shí)百以內(nèi)數(shù)時(shí)補(bǔ)充認(rèn)識(shí)百位，在認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的時(shí)候認(rèn)識(shí)了千位和萬(wàn)位，在認(rèn)識(shí)大數(shù)時(shí)，學(xué)生將認(rèn)識(shí)萬(wàn)級(jí)和億級(jí)的數(shù)以及比億更大的數(shù)。在每一階段教學(xué)時(shí)，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生完善數(shù)位順序表，這樣有助于學(xué)生了解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀數(shù)寫(xiě)數(shù)的方法。

三、重視對(duì)大數(shù)的感受

在第一、二學(xué)段都提出感受大數(shù)意義和對(duì)大數(shù)進(jìn)行估計(jì)的要求。第一學(xué)段是要求在生活情境中感受大數(shù)的意義，第二學(xué)段創(chuàng)設(shè)情境的范圍有所擴(kuò)大，要求在現(xiàn)實(shí)情境中感受大數(shù)的意義。其本質(zhì)是相同的，都是希望通過(guò)具體的情境對(duì)大數(shù)加以感受，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。感受大數(shù)與情境的具體內(nèi)容有關(guān)，1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長(zhǎng)？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？這些具體的情境學(xué)生可以通過(guò)實(shí)際操作和觀察來(lái)感受。有時(shí)還要加入想象的成分。1200名學(xué)生需要多大場(chǎng)地，學(xué)生就需要了解自己的學(xué)校有多少人，占多大地方，再想象1200人會(huì)占多大地方。這個(gè)抽象過(guò)程在小學(xué)一年級(jí)開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)時(shí)就強(qiáng)調(diào)，直到認(rèn)識(shí)較大的數(shù)。學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)數(shù)的抽象表示，從而逐步建立數(shù)的概念。

【案例名稱】千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)

【案例背景】北京的王欣老師在講授“千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，設(shè)計(jì)了豐富多彩的活動(dòng)幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，臨下課的最后1分鐘， 教師要給學(xué)生“頒獎(jiǎng)”時(shí)， 依然不放過(guò)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的機(jī)會(huì)。

【案例描述】

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