方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

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數(shù)學(xué)問題教學(xué)的五個探索點

方均斌，梁 凱，朱 玲

（溫州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

摘要：隨著提問、說題、講題等一些話題的延伸，很多圍繞數(shù)學(xué)問題的教學(xué)形式研究已經(jīng)擺到日程上來．目前，數(shù)學(xué)問題教學(xué)過程中有5個探索點需要數(shù)學(xué)教師特別關(guān)注：選題、顯題、變題、鏈題、戀題，即：重新審視數(shù)學(xué)問題的題源，關(guān)注數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的呈現(xiàn)策略，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題變化訓(xùn)練，讓學(xué)生把相關(guān)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的鏈接，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)問題解決的反思教學(xué)活動．

關(guān)鍵詞：問題選擇；問題呈現(xiàn)；問題變化；問題鏈接；問題情結(jié)

中國目前在問題教學(xué)中出現(xiàn)了諸如提問、說題、講題等一些動態(tài)研究的積極發(fā)展態(tài)勢，盡管中國在數(shù)學(xué)問題教學(xué)方面號稱“解題王國”，但受應(yīng)試教育、具體教學(xué)操作約束、傳統(tǒng)觀念等影響，使一些亟待研究的話題還沒有引起人們足夠重視．為了更好地提高數(shù)學(xué)問題的教育效果，目前中國數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的選題、顯題、變題、鏈題、戀題5個探索點亟待開發(fā)．

1 選 題

與相對比較成熟的問題解決層面研究相比，中國基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)問題選題工作至少有以下3方面亟待完善．

首先，目前中國數(shù)學(xué)問題解決僅針對“‘沒有毛病’的數(shù)學(xué)問題”，使得學(xué)生對問題的批判意識普遍削弱．例如，2003年江蘇省高考數(shù)學(xué)題的第一個數(shù)學(xué)考題引起了很大爭議[1]，由于該題是選擇題且位于整個卷面的首位，一些數(shù)學(xué)成績不錯的學(xué)生“紛紛中招”．從這個問題可以看出，學(xué)生對錯題幾乎沒有“免疫力”．因為，目前給學(xué)生所解決數(shù)學(xué)問題的一個大前提是所給的問題條件很少出現(xiàn)“殘缺”、“冗余”甚至“矛盾”等“錯題”現(xiàn)象[2]，學(xué)生對出現(xiàn)這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)問題處理的批判性意識很差[3]，幾乎毫無“心理防備”，有學(xué)者曾經(jīng)對此提出自己的擔(dān)憂，認(rèn)為一些現(xiàn)實問題信息的“抽絲剝繭”任務(wù)絕大部分被數(shù)學(xué)家或者教師完成了，“錢學(xué)森之問”的困局或許就在于此[4]．也就是說，教師目前給學(xué)生解決的問題好比讓他們“消化”的是“精糧”而非“粗糧”，這對他們的“消化功能”提高不利．因此，適當(dāng)?shù)臅r候可以出一些“錯題”使學(xué)生在解決過程中提高審題能力，增加他們的批判性意識，如一個極端的例子“船長年齡問題”．在歐洲，流傳著這樣一個笑話：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”法國的一份調(diào)查報告顯示，有64%的學(xué)生給出了“答案”：75-32=43歲．華東師大的張奠宙教授在中國一些中小學(xué)做了同樣的測驗，得到上述答案的學(xué)生比例竟高達(dá)92%，甚至在上海市某重點中學(xué)的高三年級，也有10%的學(xué)生如此作答[5]．經(jīng)調(diào)查，大部分學(xué)生對在平時的練習(xí)中適當(dāng)放個別錯題讓學(xué)生辨析這一做法持支持的態(tài)度[3]．

其次，即使是“正確的”數(shù)學(xué)問題，也只關(guān)注能夠“有評價標(biāo)準(zhǔn)”的那些封閉題或者部分開放題，一些無法采取評價標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題（開放題）由于難以成為試題而淡出教師的教學(xué)視野．有研究者認(rèn)為，根據(jù)教材設(shè)置一些難度適中，具有可研究的開放題是實施教學(xué)內(nèi)容開放的有效手段[6]．其實，盡管像張奠宙教授等一些學(xué)者呼吁讓“開放題教學(xué)”成為“家常菜”[7]，但就目前的情況來看，效果并非理想，問題解決方法發(fā)散性、創(chuàng)新性的培養(yǎng)策略受到了應(yīng)試教育的限制．

第三，中國數(shù)學(xué)教學(xué)由于應(yīng)試的影響，與實際情境掛鉤的數(shù)學(xué)問題明顯偏少，雖曾經(jīng)一段時間關(guān)注應(yīng)用題的教學(xué)，但后來因應(yīng)用題在考試中出現(xiàn)了諸如選題背景要公平[8]、學(xué)生認(rèn)知條件（如：生活經(jīng)驗等）等原因，使應(yīng)用題的教學(xué)也受到了一定的局限．

選題是問題教學(xué)的起始點，新加坡的著名數(shù)學(xué)教育家李秉彝先生在談?wù)摂?shù)學(xué)教學(xué)的時候，寓意深刻地指出：吃什么比怎么吃更重要，意在強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容選擇的重要性．中國數(shù)學(xué)問題的題源由于與實際問題聯(lián)系欠缺并且要求問題“不能出錯”且有“評價標(biāo)準(zhǔn)”，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決過程中固守于某些套路或者模式，思維的培養(yǎng)途徑窄化．這種現(xiàn)象的根本原因在于中國考試文化的負(fù)面影響．有學(xué)者通過研究認(rèn)為：從某種意義上講，“考試文化”深刻烙印學(xué)生而扭曲自己的信念而改變行為[9]．其實，根據(jù)觀察，教師的信念及相應(yīng)的行為也會受“考試文化”負(fù)面影響的，因為常聽到數(shù)學(xué)教師的觀點：“高考怎么考，我們就怎么教．”因此，建議教師不能只盯住考試題目類型，在平時選題時，必須擺脫傳統(tǒng)觀念的束縛，拓寬題源，適度組織一些諸如數(shù)學(xué)建模、出“錯題”[3]、解決無絕對評價標(biāo)準(zhǔn)的開放題等活動，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的來源以及培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)問題原始信息捕捉及處理能力，提高他們的創(chuàng)新意識和能力．

2 顯 題

選題觀念拓寬是一方面，隨之而來的問題是：如何將所選問題以恰當(dāng)?shù)男问秸故驹趯W(xué)生面前？那就是第二個話題：顯題．顯題是指數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)的策略研究．這個話題在課堂教學(xué)實踐中也不太引發(fā)教師的注意，一個數(shù)學(xué)問題經(jīng)教師選擇后該以怎樣的信息呈現(xiàn)順序以達(dá)到完美的教育功能？

學(xué)生平時接觸到的往往都是紙質(zhì)信息媒介（紙質(zhì)課本及練習(xí)），數(shù)學(xué)問題的信息呈現(xiàn)“一目了然”．但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育常采用多媒體信息技術(shù)，由于它具有信息呈現(xiàn)的播放功能，教師可以設(shè)置數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)的不同方式，以增加或開發(fā)數(shù)學(xué)問題的教育功能．對此，研究者曾經(jīng)撰文探討，主要觀點是根據(jù)教學(xué)需要對例題信息進(jìn)行逐步呈現(xiàn)以發(fā)掘數(shù)學(xué)例題的教育功能[10]．

其實，這個思想可以延拓到其它數(shù)學(xué)教育過程．一個數(shù)學(xué)問題往往具有題設(shè)（條件）和欲求（結(jié)論）部分，不同的呈現(xiàn)策略可以增加不同的教育功能．以課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題為例，從大的方面來說，數(shù)學(xué)問題可以按照題設(shè)（條件）信息和欲求（結(jié)論）信息分先后呈現(xiàn)，中間穿插教師的口語或體態(tài)語言信息．如，呈現(xiàn)問題條件信息后，教師輔之以口語“根據(jù)問題的條件，你能夠得到什么結(jié)論？”同樣，呈現(xiàn)欲求（結(jié)論）信息后，教師問“根據(jù)問題的結(jié)論，你認(rèn)為，需要補充什么條件？”

從小的方面說，數(shù)學(xué)問題千差萬別，為實現(xiàn)教師的教學(xué)意圖，完全可以按照一定的順序呈現(xiàn)部分信息并輔之以口語及體態(tài)語言信息等，把封閉的數(shù)學(xué)問題變得開放．如，有不少的數(shù)學(xué)問題包括圖形信息，可以先呈現(xiàn)圖形信息后，教師提問：“根據(jù)這個圖形，你能夠提出什么問題？”也可以先呈現(xiàn)文字或者符號信息后問：“根據(jù)問題的條件和結(jié)論，你能夠作出需要的圖形嗎？”等等．這樣，能夠使數(shù)學(xué)問題從原先的封閉、一元到開放、多元，擴(kuò)大其教育功能．

如果數(shù)學(xué)問題用以練習(xí)，教師完全可以按照課堂教學(xué)的程序把一個數(shù)學(xué)問題出成“半拉子題”，把教師原先準(zhǔn)備用以輔助教學(xué)的口語用文字呈現(xiàn)，如，原先準(zhǔn)備用“冷冰冰”的“已知A，求證：B”改為“根據(jù)條件A，你覺得結(jié)論B可能成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由”，甚至改為“A是B的什么條件？請說明你的理由”等．

如果數(shù)學(xué)問題用以測試，則根據(jù)需要把數(shù)學(xué)題以不同的信息呈現(xiàn)，如有些選擇題，可以去掉選支信息而成為填空題等，也能夠體現(xiàn)一些測試功能和意圖上的變化．

顯題是問題教學(xué)展開的第一步，它的呈現(xiàn)策略是實現(xiàn)策略性教育功能聚焦的一種手段，有時不需要刻意去尋求所謂的“開放題”[11]，也不必拘泥于課本例題的“一覽無遺”，只要在問題信息呈現(xiàn)策略上“動一些腦子”．當(dāng)然，顯題過程中教師的附加信息也很重要，帶有啟發(fā)式的提問、微笑的表情、期待的眼神等，都在某個程度上激發(fā)學(xué)生對問題本身的興趣．

數(shù)學(xué)問題信息呈現(xiàn)是一項教師的教學(xué)藝術(shù)，是引導(dǎo)學(xué)生思維從發(fā)散到收斂的過程，可以提高數(shù)學(xué)問題的教育價值，可以在實現(xiàn)教學(xué)意圖上做更多的工作，而且還可以把其思想推廣到其它教學(xué)環(huán)節(jié)．例如，一節(jié)課的課題呈現(xiàn)時機(jī)如果把握得好，可以讓學(xué)生從思維定勢中汲取教訓(xùn)和提高他們對這節(jié)課學(xué)習(xí)意圖的理解；一個數(shù)學(xué)結(jié)論的信息呈現(xiàn)順序如果構(gòu)思精妙，可以提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識和能力；一張試卷的試題適度排序，可以把考核學(xué)生對知識、技能和能力掌握情況的工作做得更好一些，等等．

3 變 題

顯題是對現(xiàn)有問題在信息呈現(xiàn)策略上改變使之教育功能發(fā)生變化，而“變題”則是指數(shù)學(xué)問題的變式．“變式教學(xué)”是中國數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個傳統(tǒng)，也是一大特色，備受廣大一線教師的推崇與青睞[12]．應(yīng)該說，教師在變式教學(xué)上所花的精力比較多，變式教學(xué)之所以受到重視應(yīng)該與考試文化有關(guān)，因為不少試題都是命題人員絞盡腦汁對包括課本在內(nèi)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行的變式，自然促進(jìn)授課教師在平時教學(xué)也進(jìn)行變式．變式教學(xué)的“掌控權(quán)”基本上在數(shù)學(xué)教師手里，教師“我想變，就變”，固然，教師根據(jù)自己的教學(xué)意圖掌控變式教學(xué)未嘗不可，但在學(xué)生的眼里，有時摸不清教師變的意圖和變的手段，讓他們處于一種被動狀態(tài)，他們思維主動性受到不利的影響．

首先，要讓學(xué)生進(jìn)行“要我變”的訓(xùn)練，即：教師拿出一個數(shù)學(xué)問題，問學(xué)生：“針對這樣的數(shù)學(xué)問題，你準(zhǔn)備怎樣將其進(jìn)行變化，而成為另外的一個數(shù)學(xué)問題？”讓學(xué)生變題可以訓(xùn)練他們的類比、歸納、聯(lián)想等一些命題變化的基本技能，甚至可以在變化的過程中發(fā)現(xiàn)一些有趣的數(shù)學(xué)問題，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為他們認(rèn)清一些數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，從而提高問題解決的參與感，為數(shù)學(xué)教師提供源源不斷的數(shù)學(xué)問題研究素材，一舉多得．例如，學(xué)生是通過一個實際情境問題來學(xué)習(xí)平方差公式的[13]，但在后續(xù)學(xué)習(xí)完全平方公式，教材又設(shè)置一個實際情境．強調(diào)數(shù)學(xué)與實際情境的聯(lián)系并無異議．但這里缺失了一個“要我變”的訓(xùn)練，即對學(xué)生提出：“對公式(a+b)( a-b)=a2-b2，你能不能進(jìn)行一些變化而得到其它等式？”甚至問學(xué)生：“針對這個公式，你有什么問題可提嗎？”

其次，在學(xué)生“要我變”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生主動地產(chǎn)生“我要變”的欲望．學(xué)生拿到一個數(shù)學(xué)問題，解決完后往往沒有再思考諸如：“這個問題的條件要是變一下，會得到什么結(jié)果？”“根據(jù)這個問題的條件，還能夠得到什么結(jié)論？”等問題．例如，在一張試卷的最后采取開放式加試題：請你針對本卷中的任何一個問題進(jìn)行變式，使之成為一個有趣的或者比較有意義的數(shù)學(xué)問題，并給出你的解答或發(fā)現(xiàn)、建議等．讓那些應(yīng)對考試能力“綽綽有余”的學(xué)生“有事可干”，而這些優(yōu)質(zhì)學(xué)生恰恰需要培養(yǎng)他們的發(fā)現(xiàn)能力，何樂而不為？只要長期堅持，這種測試導(dǎo)向往往會使學(xué)生特別是那些優(yōu)秀學(xué)生針對數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生“我要變”的意識．

第三，教師要對學(xué)生進(jìn)行一些數(shù)學(xué)問題變化技能的訓(xùn)練和探討，即對學(xué)生進(jìn)行“如何變”的教學(xué)，教師不僅是在學(xué)生面前展示“教師變題的成果”，而且要顯示變題的過程與方法．這樣，既增強了“變”的意識，也提高了“變”的技能．例如，對學(xué)生實施4種數(shù)學(xué)命題之間的變化（指原命題、否命題、逆命題、逆否命題之間的變化）而進(jìn)行的提問訓(xùn)練，還有諸如類比、歸納、實驗、猜想等，也可以創(chuàng)設(shè)一種讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題變化的欲望情境等．如：勾股定理a2+b2=c2（其中，a，b，c分別為直角三角形的兩直角邊和斜邊），教師可以把學(xué)生已經(jīng)知道的結(jié)論“a+b＞c”挪在一起，問學(xué)生：“根據(jù)我們所知道的這兩個式子，你能夠提出什么問題？”以期引發(fā)學(xué)生探究“an+bn”與“cn”的關(guān)系問題．甚至，教師完全可以針對勾股定理設(shè)置要求學(xué)生對其進(jìn)行變化的更開放問題：“針對勾股定理，你能否將其條件或者結(jié)論進(jìn)行變化，使之成為另外一個數(shù)學(xué)問題？”余弦定理或許將納入學(xué)生的視野，盡管余弦定理屬于“高中數(shù)學(xué)教學(xué)范疇”，但初中生能夠自己提出這樣的問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個“可喜成果”．

教師把數(shù)學(xué)問題的“變式”掌握在自己的手里很可能基于這樣的兩個顧慮：一是考試中并沒有考學(xué)生的變題技能，教師所變的問題一般經(jīng)過自己的“篩選”后才展示在學(xué)生面前的，這樣可以“掌控教學(xué)”；二是萬一學(xué)生變題中出現(xiàn)了自己解決不了的問題，很可能導(dǎo)致教學(xué)的“失控”，怎么辦？

可以這樣認(rèn)為，變題是問題教學(xué)的高潮．盡管中國對數(shù)學(xué)問題的變式教學(xué)比較重視，也取得了一些豐碩的實踐性成果．但在“為什么要變？”“如何變？”“何時變？”“誰是變的主體？”等方面的研究確實存在短板現(xiàn)象．讓學(xué)生從學(xué)會解題到學(xué)會變題，從“要我變”到“我要變”，讓學(xué)生從被動的解題者到主動的變題者，讓“應(yīng)變能力”不再停留在“應(yīng)付變的能力”，而是一種“應(yīng)該變的能力”，進(jìn)而形成一種主動求變的良好意識，這是創(chuàng)新性人才培養(yǎng)的必然訴求，也是今后很重要的一個數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展研究領(lǐng)域．

4 鏈 題

數(shù)學(xué)問題解決中的遷移，很大程度上依賴于問題之間的抽象關(guān)系[14]．變題是將問題“打散”的過程，讓多如牛毛的數(shù)學(xué)問題成為“一盤散沙”絕不是我們教育工作者的本意，變題之后的一項舉措就是要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清不同數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系，“鏈題”工作自然納入研究者的視野．研究者查閱到的提及“鏈題”一詞最早的一篇文獻(xiàn) “鏈題——高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑之一”[15]，但該文及后續(xù)文獻(xiàn)中對“鏈題”概念并無明確界定．鏈題主要有兩個層面的含義：一是指數(shù)學(xué)問題與其它問題的鏈接，也就是把相關(guān)數(shù)學(xué)問題從知識、條件、結(jié)論、命題變化、思想方法等方面進(jìn)行鏈接；二是指一個數(shù)學(xué)問題與諸如教材等學(xué)習(xí)材料中的相關(guān)知識鏈接．

鏈題是問題解決者對命題者意圖猜測及尋求這個問題源頭的一項舉措．也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決綜合能力的一種重要手段．

加強鏈題訓(xùn)練，可以提高學(xué)生問題解決的能力．因為，學(xué)生通過顯題后很可能就會聯(lián)想到之前解決過類似的數(shù)學(xué)問題，從而提高問題解決的效率．同時，鏈題訓(xùn)練，可以讓學(xué)生在知識、思想方法上對已經(jīng)解決過的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)化，這也是一種數(shù)學(xué)知識、思想方法的有效梳理手段．

加強學(xué)生的鏈題訓(xùn)練方法：一是在解題過程進(jìn)行知識、思想方法鏈接．如：“之前我們曾經(jīng)見過類似的數(shù)學(xué)問題嗎？”“這個數(shù)學(xué)問題牽涉到哪些知識？”“這個問題你準(zhǔn)備嘗試哪些方法？這些方法以前在解決其他問題時的成功率是多少？”等，從而啟發(fā)學(xué)生通過鏈題達(dá)到對相關(guān)知識方法復(fù)習(xí)鞏固的目的，提高了數(shù)學(xué)問題解決的成功率．二是問題解決成功后進(jìn)行的鏈接．如：“這個問題可以與之前的哪些數(shù)學(xué)問題一起歸類？請說明你的歸類理由．”“請你把課本里面的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行必要的歸類，并說明你的歸類理由．”等，這樣的鏈接往往能夠使學(xué)生把問題解決系統(tǒng)化，做到既見樹木又見森林，完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

鏈題是問題教學(xué)的整合，將一題一題的教學(xué)，從知識與方法上串合起來，像一顆顆珍珠串成美麗的珠鏈．在問題教學(xué)如此普遍的今天，這項工作也應(yīng)該引起廣大教師的關(guān)注．

5 戀 題

前面討論了數(shù)學(xué)問題教學(xué)應(yīng)該引起大家注意的4個方面，但還有一點更需要教師注意，那就是對數(shù)學(xué)問題的情感．?dāng)?shù)學(xué)情感需要培養(yǎng)，數(shù)學(xué)所蘊涵的深刻文化內(nèi)涵需要數(shù)學(xué)教育工作者們?nèi)グl(fā)掘、去創(chuàng)造、去推陳出新[16]，引起聯(lián)想的是“戀題”二字．研究者查到提及“戀題”的文獻(xiàn)是一位考生的咨詢[17]，該文所提“戀題”大意是學(xué)生考試時老是對之前某個未解決的數(shù)學(xué)問題“耿耿于懷”而影響了其它問題的解決．與此負(fù)面提法相反，這里所提的戀題概念是指當(dāng)學(xué)生解決（完）一個問題后，對問題進(jìn)行反思和回味，顯示出對已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)問題的一種“依依不舍”心態(tài)．這種心態(tài)可以引領(lǐng)學(xué)生對問題解決過程進(jìn)行認(rèn)真總結(jié)，揣摩編題者的意圖，為編題者的精妙構(gòu)題而“拍案叫絕”．根據(jù)了解，一些學(xué)生對數(shù)學(xué)問題采取的態(tài)度是做一題拋一題，使自己深陷題海而迷失數(shù)學(xué)問題解決之根本目的．導(dǎo)致他們往往對數(shù)學(xué)問題感情淡薄甚至“恨之入骨”，體會不到編題者的“苦口良心”．

戀題可以分為問題未能夠解決和能夠解決兩種情況．

如果學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中對某個數(shù)學(xué)問題由于解決不順而戀戀不舍，不言放棄，這絕對是一個好現(xiàn)象，教師只要適度指導(dǎo)，此類學(xué)生肯定“大有前途”．但因遇到一個難題而影響其它問題的解決或者缺乏整體的學(xué)習(xí)規(guī)劃，則需要在學(xué)習(xí)策略上進(jìn)行必要的指導(dǎo)甚至進(jìn)行心理疏導(dǎo)．

與因問題解決遇到不順情況相比，學(xué)生如果能夠在問題解決后還繼續(xù)保持一種割舍不下的心態(tài)而對其進(jìn)行研究，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)問題教學(xué)的“理想狀態(tài)”．

首先，戀題讓學(xué)生問題解決后不急于拋棄，而是認(rèn)真總結(jié)和反思，把握問題解決的根本規(guī)律，并且對自己在解決過程中出現(xiàn)的相關(guān)知識和方法進(jìn)行回顧，與其它問題進(jìn)行必要的鏈接，能夠達(dá)到做一題而對相關(guān)內(nèi)容融會貫通的目的，增加了問題解決的收獲．

其次，戀題也是揣摩命題者意圖的過程，通過戀題，往往能夠使學(xué)生有針對性地進(jìn)行相關(guān)的復(fù)習(xí)，查漏補缺．

第三，戀題不僅是問題解決、揣摩命題意圖的過程，而且還帶著欣賞的眼光看待數(shù)學(xué)問題，拉近學(xué)生與命題者的心理距離，培養(yǎng)學(xué)生問題解決的積極心態(tài)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．

戀題是需要教師積極引導(dǎo)的，在諸如試卷點評課等對數(shù)學(xué)問題解決的相關(guān)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師往往只停留在問題解決答案、方法層面，很少對數(shù)學(xué)問題采取欣賞性總結(jié)．戀題工作主要有：一是引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行評價．如：“你認(rèn)為這組（個）數(shù)學(xué)問題命題者的意圖是什么？”“這些（個）問題命題者是如何構(gòu)思出來的？”“這些（個）問題的精彩地方在哪里？”“這份試卷有哪幾個問題是最漂亮的？請你說說理由．”等，在平時的作業(yè)布置上增加對數(shù)學(xué)問題的評價這一要求．二是組織學(xué)生進(jìn)行說題或者講題，說題、講題是近幾年在中學(xué)悄然升起的一種教研活動，盡管目前還沒有一種有關(guān)說題、講題相關(guān)概念及它們之間嚴(yán)格界定的權(quán)威文獻(xiàn)．但，糧草未到，兵馬先行，很多數(shù)學(xué)教學(xué)實踐都是這樣展開的．站在不純粹是為了問題解決的角度去審視數(shù)學(xué)問題很值得嘗試．這種嘗試不應(yīng)局限于教師之間，也可以在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行[18]，在說題或者講題過程中可以加強學(xué)生對數(shù)學(xué)問題評價和理解訓(xùn)練．三是在必要的時候，教師可以進(jìn)行戀題示范，讓學(xué)生慢慢學(xué)會如何戀題以及如何在戀題過程中增加一些收獲．四是讓學(xué)生提出以自己命名的猜想，然后根據(jù)問題的“質(zhì)量”給予評價（例如，只能夠難倒自己的賦予一顆星，把全班同學(xué)難倒的賦予兩顆星，把授課教師難倒的賦予3顆星；以此類推．還可以根據(jù)難倒的時間長短進(jìn)行“二級評價”），把這些“難題”或者“猜想”掛在班級、學(xué)校宣傳欄甚至網(wǎng)站上，在學(xué)生中形成戀題風(fēng)氣．如果一位學(xué)生提出一個以自己命名的難題，在這位學(xué)生就學(xué)期間內(nèi)，將包括老師在內(nèi)無人解決，絕對可能讓這位學(xué)生甚至所有師生對這個問題“終生難忘”．戀題是問題教學(xué)的延伸與深化，陳景潤就是在他的老師引導(dǎo)下，對哥德巴赫猜想“戀上一輩子”．

問題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，其過程是一個有機(jī)的整體．這個“整體”中的“5個探索點”需要教師投以更多的關(guān)注．值得指出的是，這“5個探索點”之間并非獨立的，而是存在一定的關(guān)系，而且，5個探索點之“排列組合”將產(chǎn)生針對數(shù)學(xué)問題教育的眾多探索話題，非一文所能解決．寄希望大家對這些問題進(jìn)行必要的探索．如，選題中如果注意適度出現(xiàn)一些“錯題”以及原始數(shù)學(xué)問題情境，可以促進(jìn)學(xué)生的變題、戀題意識．加強戀題、鏈題、變題、顯題等教學(xué)也往往能夠幫助學(xué)生認(rèn)清一些數(shù)學(xué)問題的源頭和本質(zhì)，不被千差萬別的數(shù)學(xué)問題所迷惑，做到“以不變應(yīng)萬變”．又如，“顯題”工作似乎只是教師教學(xué)中對問題信息顯示的教學(xué)策略，但如果教師在顯示過程中“附加信息”運用得當(dāng)，絕對可以讓學(xué)生產(chǎn)生變題欲望以及產(chǎn)生“鏈題”和“戀題”效應(yīng)，甚至對“選題”產(chǎn)生濃厚的興趣，等等．其實，如果引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題的來源，也很自然地涉及戀題、鏈題、變題、顯題及選題這5個環(huán)節(jié)．所以，平時教學(xué)不應(yīng)讓學(xué)生的視野僅局限在問題解決層面，應(yīng)該讓他們開始關(guān)心數(shù)學(xué)問題的來源，與命題者進(jìn)行“對話”，提高批判性意識和創(chuàng)新精神．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 孫新峰，孫展．江蘇省“高考錯題”風(fēng)波[J]．新聞周刊，2003，（30）：36-37．

[2] 方均斌．例說“錯題”及其教育功能[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2006，（5）：54-56．

[3] 方均斌．?dāng)?shù)學(xué)信息處理的批判性意識的調(diào)查與思考．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（1）：48-50．

[4] 陳清梅，鄔瑞光，邢紅軍．追尋“錢學(xué)森之問”[J]．教育科學(xué)研究，2012，（12）：38-42．

[5] 劉靜波．繁雜與復(fù)雜[J]．未來教育家，2013，（Z1）：104．

[6] 杜慶宏．開展高效數(shù)學(xué)教學(xué)的行動研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2007，16（3）：40-43．

[7] 張奠宙．讓“開放題教學(xué)”成為“家常菜”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004，（1）：封底．

[8] 任子朝．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境考查學(xué)生素質(zhì)—談高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1998，（1）：1-2，6．

[9] 肖春梅，喻平，顏麗增．高中生數(shù)學(xué)認(rèn)識信念的現(xiàn)狀及對學(xué)習(xí)的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（5）：87-89．

[10] 楊秋紅，方均斌．?dāng)?shù)學(xué)例題的信息呈現(xiàn)方式及其教育功能的發(fā)掘[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2013，（12）：35-38．

[11] 方均斌．用開放的眼光審視數(shù)學(xué)題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2002，（5）：19-22．

[12] 阮偉強．走出“變式教學(xué)”的三個誤區(qū)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，（9）：55-57．

[13] 范良火．義務(wù)教育教科書（數(shù)學(xué)，八年級上冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2012．

[14] 喻平．加工水平對具有廣義抽象關(guān)系數(shù)學(xué)問題遷移的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14（3）：5-8．

[15] 陳文遠(yuǎn)．鏈題——高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的有效途徑之一[J]．新疆教育，1995，（4）：209-217．

[16] 沈亞軍．略論數(shù)學(xué)教育情感領(lǐng)域教學(xué)目標(biāo)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（1）：33-36．

[17] 田中偉．幸福信箱[J]．高考金刊（理科版），2012，（5）：65．

[18] 周俊敏．初中數(shù)學(xué)“說題”的探究[J]．中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013，（6）：31．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Five Exploring Points in Mathematics Problem Teaching

FANG Jun-bin, LIANG Kai, ZHU Ling
(Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Abstract:With the extensions of topics such as questioning, narrating problems, explaining problems, many instructional mode researches centering on mathematics problems has been put on the agenda.We think that there are currently five exploring points that we mathematics teachers need to pay particular attention to during the process of mathematics problem teaching, namely selecting, presenting, changing, linking and reflecting topics, which means reexamining the source of our mathematics problems, focusing on the presenting strategies of mathematics problems, letting students do variant training, making necessary links on related mathematics problems and strengthening reflective teaching activities on solutions of mathematics problems.

Key words:selecting; presenting; changing; linking; reflecting

作者簡介：方均斌（1964—），男，浙江洞頭人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)論研究．

基金項目：2013年浙江省高等教育課堂教學(xué)改革研究項目——基于中小學(xué)教師參與實時互動的《數(shù)學(xué)教學(xué)論》課堂教學(xué)改革（kg2013366）

收稿日期：2015–10–09

中圖分類號：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0047–04