李興貴，王新民

（1．成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，四川 成都 611130；2．內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199）

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數(shù)學(xué)歸納推理的基本內(nèi)涵及認(rèn)知過程分析

李興貴1，王新民2

（1．成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，四川 成都 611130；2．內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199）

摘要：數(shù)學(xué)歸納推理是通過觀察和組合特殊事例的量性特征來發(fā)現(xiàn)一類事物的量化模式的創(chuàng)造性思維活動(dòng)過程．?dāng)?shù)學(xué)歸納推理需經(jīng)歷5個(gè)基本的認(rèn)知階段——“歸納五看”：個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、抽象的看和一般的看，每一個(gè)階段都由其獨(dú)特的思維模式與相應(yīng)的量化模式構(gòu)成．“歸納五看”構(gòu)成了歸納推理的認(rèn)知連續(xù)體，每一個(gè)階段都以前一個(gè)階段為基礎(chǔ)，并且是對(duì)前一個(gè)階段的超越．教學(xué)中要充分利用數(shù)學(xué)歸納推理的層次性、探究性、開放性和經(jīng)驗(yàn)性，引導(dǎo)學(xué)生積累豐富完整的歸納活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納推理；基本內(nèi)涵；認(rèn)知階段；量化模式；教學(xué)啟示

關(guān)于歸納推理能力的培養(yǎng)，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育教學(xué)有著重要而特殊的意義，因?yàn)椤拔覈?guó)基礎(chǔ)教育在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)中，主要弱在了歸納能力的訓(xùn)練上，給創(chuàng)新性人才的成長(zhǎng)帶來了嚴(yán)重的障礙”[1]．歸納推理已成為數(shù)學(xué)研究與教學(xué)中一個(gè)熱點(diǎn)問題，“歸納思想”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中所強(qiáng)調(diào)的基本數(shù)學(xué)思想之一，“歸納推理”成為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)驗(yàn)教科書中的重要內(nèi)容．關(guān)于歸納推理的研究已非常廣泛，但對(duì)“數(shù)學(xué)歸納推理”基本內(nèi)涵的研究，特別是對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理過程中的認(rèn)知類型及其結(jié)構(gòu)的研究，迄今并不多見．這里將運(yùn)用數(shù)學(xué)模式論的觀點(diǎn)闡述數(shù)學(xué)歸納推理的基本內(nèi)涵，分析數(shù)學(xué)歸納推理的基本認(rèn)知過程，并借助澳大利亞教育心理學(xué)家畢哥斯（J.B.Biggs）和科林斯（K.F.Collins）所提出的SOLO（structure of the observed learning outcome）分類理論，揭示數(shù)學(xué)歸納推理中所蘊(yùn)含的思維模式與量化模式的層次結(jié)構(gòu)．

1 數(shù)學(xué)歸納推理的基本內(nèi)涵

歸納是哲學(xué)、邏輯學(xué)、心理學(xué)、思維科學(xué)等學(xué)科共同探討的重要概念，不同的學(xué)科領(lǐng)域有著不同的概念界定．一般認(rèn)為，歸納是從個(gè)別到一般的推理方法，較為常用的定義是：“歸納是從一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法．”[2]這一定義揭示了歸納推理的基本特征，但它只是對(duì)歸納推理的一般性描述，缺乏學(xué)科針對(duì)性，特別是缺少數(shù)學(xué)元素．

波利亞在《怎樣解題》中提出：“歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律的過程．”[3]此定義明確了“觀察”和“組合”是數(shù)學(xué)歸納推理中的兩種認(rèn)知活動(dòng)方式，其中，“觀察”是一種“肉眼之觀”，是感知特殊事物的直觀操作方式；而“組合”是一種“心靈構(gòu)想”，是對(duì)內(nèi)在思想的組合，是進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或發(fā)明的基本方式[4]．可見，數(shù)學(xué)歸納推理是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程．但在這個(gè)定義中沒有明確“特殊的例子”的數(shù)學(xué)屬性，也沒有明確“普遍規(guī)律”的數(shù)學(xué)特質(zhì)，即沒有指明歸納推理的數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性，影響了人們對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理本質(zhì)的理解和把握．

根據(jù)數(shù)學(xué)模式觀的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)是通過模式建構(gòu)，以模式為直接對(duì)象來從事客觀實(shí)體量性規(guī)律性研究的科學(xué)”[5]，這里的“模式”是一種具有普適性的“量化模式”，是指“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)）來反映（或概括地表現(xiàn)）一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式”[5]．因此，數(shù)學(xué)歸納推理作為一種數(shù)學(xué)思維活動(dòng)應(yīng)該以“量化模式”作為自己的研究對(duì)象，通過考察具體事例的量性特征來獲得具有普適性的量化模式．從這樣的視角出發(fā)，結(jié)合波利亞的觀點(diǎn)，可以將數(shù)學(xué)歸納推理界定為：數(shù)學(xué)歸納推理是通過觀察和組合特殊事例的量性特征來發(fā)現(xiàn)一類事物的量化模式的創(chuàng)造性思維活動(dòng)過程．首先，數(shù)學(xué)歸納推理的對(duì)象是“量化模式”，包括屬性模式和關(guān)系模式兩種形式，其中，屬性模式是“一元判斷”（one-place predicate）；關(guān)系模式是“二元或多元判斷”（two or more-place predicates）[6]．其次，數(shù)學(xué)歸納推理并不是一個(gè)單一的思維方式，而是一個(gè)從“肉眼之觀”（觀察）到“心靈構(gòu)想”（組合）的復(fù)雜的思維活動(dòng)過程，其中包含著多種思維模式．再次，數(shù)學(xué)歸納推理是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，從具體事物量化模式的識(shí)別與構(gòu)建，到一類事物量化模式（歸納猜想）的形成與發(fā)現(xiàn)，需要經(jīng)歷嘗試、概括、想象、抽象、形式化等一系列創(chuàng)造性思維活動(dòng)．

2 數(shù)學(xué)歸納推理的5個(gè)認(rèn)知階段

關(guān)于數(shù)學(xué)推理的認(rèn)知過程，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同的角度進(jìn)行了探討．塞浦路斯大學(xué)的Constantinos Christou等學(xué)者，通過分析小學(xué)五年級(jí)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)歸納問題解決過程指出：數(shù)學(xué)歸納推理是3個(gè)主要過程——相似性、差異性以及關(guān)于相似性與差異性的整合所構(gòu)成的多層面認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且一個(gè)過程都由屬性水平與關(guān)系水平組成[6]．美國(guó)卡耐基梅隆大學(xué)的Lisa A.Haverty等在有關(guān)大學(xué)生“函數(shù)發(fā)現(xiàn)”問題的研究中提出，數(shù)學(xué)歸納推理包括3個(gè)基本活動(dòng)：一是數(shù)值收集，由收集、組織和表征數(shù)值等活動(dòng)組成；二是模式發(fā)現(xiàn)，由考查、修正和操作數(shù)值性事例等活動(dòng)組成；三是假設(shè)生成，由構(gòu)造、提出與檢驗(yàn)假設(shè)等活動(dòng)組成[7]．中國(guó)李祥兆博士通過分析初中學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)歸納推理問題解答過程，提出了數(shù)學(xué)歸納推理信息加工的一般順序：一是定向，包括信息編碼與抽取特征等活動(dòng)；二是識(shí)別，包括產(chǎn)生規(guī)則、構(gòu)建新模式、進(jìn)行預(yù)測(cè)等活動(dòng)；三是轉(zhuǎn)化，通過對(duì)規(guī)則進(jìn)行調(diào)整修正、溝通差異、通過不斷反饋而找到猜想[8]．

通過整合上述研究成果，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納推理案例分析，可以得出，數(shù)學(xué)歸納推理需經(jīng)歷5個(gè)基本認(rèn)知階段：（1）個(gè)別的看——按照一定的想法觀察和組合個(gè)別事例的量化屬性或量化關(guān)系，即對(duì)數(shù)量信息進(jìn)行編碼加工；（2）重復(fù)的看——在多次觀察與組合中，逐步識(shí)別出相似的量化屬性或量化關(guān)系，即識(shí)別模式；（3）想象的看——想象出具有相似屬性或關(guān)系的具體事例；（4）抽象的看——生成具有抽象結(jié)構(gòu)的量化模式，即形成假設(shè)（猜想）；（5）一般的看——確認(rèn)假設(shè)，形成具有普適性的量化模式．這里的“看”具有3種含義：一是指嘗試探究活動(dòng)，即“試試看”；二是具有直觀判斷之意，是對(duì)量化模式的感受與領(lǐng)悟；三是指思考問題的角度．如史寧中教授指出的，“數(shù)學(xué)知識(shí)的形成依賴于直觀，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看’出來的而不是‘證’出來的，所謂‘看’就是一種直觀判斷”[1]，“看”所表征的是各個(gè)認(rèn)知階段所具有的以直觀判斷為基礎(chǔ)的嘗試性思維活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)歸納推理的這5個(gè)認(rèn)知階段可簡(jiǎn)稱為“歸納五看”，下面所展示的是等差數(shù)列通項(xiàng)公式發(fā)現(xiàn)過程中的“歸納五看”．

已知{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式的歸納過程如下：

個(gè)別的看：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d ，a4=a3+d=a1+3d（方框表示相互獨(dú)立）．

重復(fù)的看：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d ，a4=a3+d=a1+3d．

想象的看：a5=a1+4d ，…，a50=a1+49d ，…

抽象的看：an=a1+(n-1)d．

一般的看：確認(rèn)an=a1+(n-1)d的正確性，明確公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和適用范圍．

下面將運(yùn)用SOLO分類理論來分析“歸納五看”中的思維模式與量化模式的層次結(jié)構(gòu)．

畢哥斯（J.B.Biggs）等人的SOLO分類理論將學(xué)習(xí)者關(guān)于某個(gè)問題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高劃分為5個(gè)水平：前結(jié)構(gòu)水平、單一結(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平[9]．在應(yīng)用中，將“前結(jié)構(gòu)水平”并入“單一結(jié)構(gòu)水平”之中，因?yàn)樵凇扒敖Y(jié)構(gòu)水平”學(xué)習(xí)者只是進(jìn)行了一些試探性的思維活動(dòng)，沒能形成有效的思維模式和相應(yīng)的量化模式；增加了“形式結(jié)構(gòu)水平”，用以表征“一般的看”這一認(rèn)知階段所達(dá)到的學(xué)習(xí)結(jié)果水平．經(jīng)過這樣的調(diào)整后，學(xué)習(xí)結(jié)果的5個(gè)水平變成為：?jiǎn)我唤Y(jié)構(gòu)水平、多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、抽象拓展結(jié)構(gòu)水平與形式結(jié)構(gòu)水平，它們分別與“歸納五看”相對(duì)應(yīng)．

2.1 個(gè)別的看

“個(gè)別的看”是以個(gè)別數(shù)值事例作為思考的對(duì)象，通過直觀觀察與經(jīng)驗(yàn)性的運(yùn)算操作，以形成只符合這一具體數(shù)值的量化屬性或量化關(guān)系．比如，單獨(dú)地計(jì)算一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)．在“個(gè)別的看”的過程中，所采用的思維模式是以一個(gè)數(shù)值事例為對(duì)象的特稱判斷（簡(jiǎn)稱單一具象特稱判斷），所形成的量化模式也只適應(yīng)這一個(gè)別的數(shù)值事例．雖然對(duì)同一個(gè)或不同的個(gè)別數(shù)值事例可以進(jìn)行不同的運(yùn)算操作，相應(yīng)地可以形成各種不同的量化模式，但這些模式之間是缺乏聯(lián)系的，沒有任何形式的相似性和一致性．根據(jù)SOLO分類理論，“個(gè)別的看”這一認(rèn)知階段所形成的只能是單一結(jié)構(gòu)的量化模式（這種量化模式只有形式上的意義，因?yàn)樗鼪]有任何范圍上的普適性）．

“個(gè)別的看”是數(shù)學(xué)歸納推理的起始階段，具有嘗試探路的性質(zhì)．這一階段所形成的單一結(jié)構(gòu)的量化模式，雖然不能直接導(dǎo)致最終歸納猜想的生成，甚至好多是“無(wú)用”的，但卻是歸納推理的認(rèn)知基礎(chǔ)和賴以推進(jìn)的邏輯起點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兲N(yùn)含著潛在的相似性或一致性，折射出普適性量化模式的影子．如果在“個(gè)別的看”中能夠按照某種想法或策略對(duì)數(shù)量事例進(jìn)行觀察與操作，如遵循遞歸策略、追蹤策略[7]、類比策略、要素分析策略[10]等，那么，在所形成的單一結(jié)構(gòu)的量化模式中蘊(yùn)含相似性或一致性的可能性就會(huì)增大，就能為下一個(gè)歸納認(rèn)知階段的開展做好充分的準(zhǔn)備．

2.2 重復(fù)的看

“重復(fù)的看”是指在多次“個(gè)別的看”的基礎(chǔ)上，通過比較“單一結(jié)構(gòu)的量化模式”的相似性與差異性，直觀地概括出共同或相似的量化屬性或量化關(guān)系的過程．從現(xiàn)象學(xué)的視角，每一次“個(gè)別的看”中所形成的單一結(jié)構(gòu)的量化模式都是一般性量化模式的一次“側(cè)顯”，當(dāng)各種各樣的“側(cè)顯”不斷涌現(xiàn)時(shí)，隨著一些相同或相似的量化特征的不斷重復(fù)出現(xiàn)，人們天生所具有的“概括傾向”就會(huì)被激發(fā)起來，具有“最大限度相似”的那些特征成為注意的中心，而那些有著相同或相似特征的數(shù)值事例便會(huì)進(jìn)入學(xué)習(xí)者的思維之中，形成一種以多個(gè)數(shù)值事例為對(duì)象的特稱判斷（簡(jiǎn)稱多元具象特稱判斷）．此時(shí)，所識(shí)別的量化屬性或量化關(guān)系為多個(gè)數(shù)量事例所共享，形成一種具有多元結(jié)構(gòu)的量化模式．如，在“重復(fù)的看”了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)之后，可能形成的多元結(jié)構(gòu)的量化模式有：① 每一項(xiàng)都是由含a1與d的式子組成的；② d的系數(shù)是連續(xù)自然數(shù)；③ d的系數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的變化而變化；④ 通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)可能具有形式“a1+□d”等．

“多元結(jié)構(gòu)的量化模式”已經(jīng)有抽象化的性質(zhì)，但這種抽象化是模糊的、含混的，它“并不是在精確地區(qū)分各個(gè)特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行，而是根據(jù)模糊的共同性的印象而形成的”[11]．“多元結(jié)構(gòu)的量化模式”是所觀察的各個(gè)特殊事例量化特征的“最大公約數(shù)”，僅適應(yīng)于所直觀經(jīng)驗(yàn)到的數(shù)值事例，只是一個(gè)“局部性假設(shè)”，它要發(fā)展成為一個(gè)“全局性的假設(shè)”——一般性的量化模式，需要超越具體經(jīng)驗(yàn)事例的局限性．

2.3 想象的看

“想象的看”，是在“重復(fù)的看”中所形成的“多元結(jié)構(gòu)的量化模式”的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)想或創(chuàng)造類似的數(shù)值事例的過程．在“想象的看”中，學(xué)習(xí)者以“共同性印象”代替經(jīng)驗(yàn)操作的數(shù)值事例成為思維活動(dòng)對(duì)象，通過聯(lián)系與構(gòu)想相類似的數(shù)值事例來印證“局部性假設(shè)”，思維方式是由特稱判斷得出類似特稱判斷的推理．隨著“局部性假設(shè)”被越來越多的事例所印證，所形成的量化屬性或量化關(guān)系的適用范圍越來越大，以共同性印象為特征的“多元結(jié)構(gòu)的量化模式”逐步演變?yōu)橐赃B貫性與一致性為特征的“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的量化模式”．

進(jìn)入“想象的看”是歸納推理過程中第一次質(zhì)的飛躍，它標(biāo)志著歸納過程從外部的經(jīng)驗(yàn)操作轉(zhuǎn)變?yōu)榇竽X內(nèi)部的“心靈構(gòu)想”．那些想象出來的數(shù)值事例雖說也是具體的、特殊的，但與經(jīng)驗(yàn)中的事例已有本質(zhì)的不同，它們已舍棄了經(jīng)驗(yàn)事例中的那些直觀的操作過程和可變的成分，而直接凸顯了那些在變化中保持一致性或相似性的量化屬性或量化關(guān)系．如，在歸納等差數(shù)列通項(xiàng)公式過程中的a5=a1+4d 與a50=a1+49d，它們已不是計(jì)算的結(jié)果，而是“心靈構(gòu)想”的產(chǎn)物．在實(shí)際學(xué)習(xí)中，這兩項(xiàng)的想象過程可能會(huì)有所不同，其中a5=a1+4d是相鄰項(xiàng)的想象，所依據(jù)的可能是“d的系數(shù)是連續(xù)自然數(shù)”這一順序性的“共同性印象”，是一種“順序感”的產(chǎn)物；而a50=a1+49d是相隔項(xiàng)的想象，依靠順序感幾乎是不可能想象的，只能根據(jù)更具有一般性的“共同性印象”——“d的系數(shù)比項(xiàng)的序號(hào)小1”想象出來,是對(duì)經(jīng)驗(yàn)事例的一種超越．

理論上講，通過想象可以構(gòu)造出無(wú)窮無(wú)盡的具體數(shù)值事例（如果需要的話），能夠按照某種明確的特征將數(shù)值事例組成一個(gè)序列，特別是能夠補(bǔ)充一個(gè)數(shù)值序列中所缺少的那些元素．因此，“想象的看”是從有限走向無(wú)限，由“局部性假設(shè)”走向“全局性假設(shè)”的過渡階段；“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的量化模式”是一個(gè)動(dòng)態(tài)的開放系統(tǒng)，具有“融合個(gè)別印象的趨向”[11]．

2.4 抽象的看

“抽象的看”，是把所有經(jīng)驗(yàn)事例與想象事例當(dāng)作一個(gè)整體加以考察，舍棄那些不可重疊的可變部分，而保留那些可重疊的不變部分，以形成“全局性假設(shè)”的認(rèn)知過程．在“想象的看”中，隨著具體數(shù)值事例的不斷涌現(xiàn)，具有普適性的量性規(guī)律在連續(xù)不斷的“側(cè)顯”中逐漸的浮出水面而成為注意的中心，并與那些處于注意邊緣的其它屬性分離開來而成為優(yōu)先考慮的特征．學(xué)習(xí)者的思維是以全體數(shù)值事例為對(duì)象的全稱判斷（簡(jiǎn)稱為具象全稱判斷），所生成的是以抽象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表征的“抽象結(jié)構(gòu)的量化模式”．

“抽象的看”也是在大腦內(nèi)部進(jìn)行的一種“心靈構(gòu)想”，但已與“想象的看”有著本質(zhì)的區(qū)別．在“想象的看”的過程中，雖然可以自由的想象出無(wú)限多個(gè)數(shù)值事例，但這些事例都是具體的、特殊的，而“抽象的看”中的事例已超越了原有的范圍，是一種抽象化的事例，在所形成的量化模式中增加了新的信息（對(duì)抽象性量性規(guī)律的認(rèn)識(shí)）．因此，從“想象的看”到“抽象的看”是歸納推理過程中的第二次飛躍，是對(duì)具體事例的超越．如，在歸納等差數(shù)列通項(xiàng)公式的過程中，通過“抽象的看”，“d的系數(shù)比項(xiàng)的序號(hào)小1”已不是一種對(duì)有限項(xiàng)（前幾項(xiàng)）的直觀概括，而是一個(gè)涵蓋了數(shù)列所有項(xiàng)的量化模式（全局性假設(shè)），an=a1+(n-1)d是這種量化模式的符號(hào)表征．

2.5 一般的看

“一般的看”是通過對(duì)“抽象結(jié)構(gòu)的量化模式”的合理性及意義進(jìn)行確認(rèn)的認(rèn)知過程．這一過程一般由兩種認(rèn)知活動(dòng)組成，一是假設(shè)檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)假設(shè)與特殊事例的符合程度，來提高其可信度；二是量化模式的運(yùn)用，通過量化模式在解釋實(shí)際現(xiàn)象或解決問題中的效果來確立對(duì)它的信任．“一般的看”完全脫離了具體事例、特征的具體聯(lián)系，以“抽象結(jié)構(gòu)的量化模式”（全局性假設(shè)）作為思維操作的對(duì)象，既要一般性地考察“全局性假設(shè)”，形成形式化的全稱判斷（簡(jiǎn)稱抽象全稱判斷），也要一般性的看待每一個(gè)具體事例——即把每個(gè)特殊事例都看成是“全局性假設(shè)”的一個(gè)個(gè)別事例．“一般的看”中的思維已具有“形式方式”的功能特點(diǎn)，能夠在“沒有真實(shí)世界的參照物時(shí)對(duì)元素進(jìn)行操作”[9]，因此，可以把“一般的看”中所形成的量化模式稱為“形式結(jié)構(gòu)的量化模式”．

與“抽象結(jié)構(gòu)的量化模式”相比，“形式結(jié)構(gòu)的量化模式”除了不依賴于真實(shí)世界的參照物這一特點(diǎn)外，它還融合了學(xué)習(xí)探究者的信念，因?yàn)樗呀邮芰诉壿嫽驅(qū)嵺`的檢驗(yàn)，學(xué)習(xí)者對(duì)它已產(chǎn)生了某種信任感．“形式結(jié)構(gòu)的量化模式”是真正意義上的具有普適性的量化模式，它不再是一種外在于學(xué)習(xí)者的“猜想”，而是賦予一定意義的、內(nèi)在于學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)之中的一項(xiàng)知識(shí)．如，通過a1的驗(yàn)證、定義的檢驗(yàn)、函數(shù)解釋以及解決等差數(shù)列有關(guān)問題等學(xué)習(xí)活動(dòng)，an=a1+(n-1)d 已不僅僅是一種抽象的量化模式，而是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)中的一項(xiàng)有效知識(shí)．

綜合上述分析，數(shù)學(xué)歸納推理是由“個(gè)別的看”、“重復(fù)的看”、“想象的看”、“抽象的看”與“一般的看”等5個(gè)基本認(rèn)知階段組成的認(rèn)知過程，其中每一個(gè)認(rèn)知階段都具有獨(dú)特的思維模式及其相應(yīng)的量化模式，并且每一階段的量化模式均是下一認(rèn)知階段的思維操作對(duì)象．“歸納五看”及其思維模式和量化模式構(gòu)成了數(shù)學(xué)歸納推理的多層次的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如圖1所示．

圖1 數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知結(jié)構(gòu)

3 數(shù)學(xué)歸納推理的特點(diǎn)及其教學(xué)啟示

3.1 層 次 性

“歸納五看”組成了數(shù)學(xué)歸納推理的認(rèn)知連續(xù)體，每一個(gè)階段都是不可或缺的，也是不能逾越的；前一個(gè)階段是后一個(gè)階段的起點(diǎn)，而后一個(gè)階段是對(duì)前一個(gè)階段的拓展與超越．從“個(gè)別的看”到“一般的看”，單一具象特稱判斷、多元具象特稱判斷、構(gòu)想具象特稱判斷、具象全稱判斷和抽象全稱判斷構(gòu)成了數(shù)學(xué)歸納推理的思維模式序列，思維的抽象性和復(fù)雜性在逐步升高；而單一結(jié)構(gòu)模式、多元結(jié)構(gòu)模式、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)模式、抽象結(jié)構(gòu)模式以及形式結(jié)構(gòu)模式則構(gòu)成了數(shù)學(xué)歸納推理的量化模式序列，模式的一致性與普適性在逐步增大．因此，數(shù)學(xué)歸納推理是一種涉及多種思維成分（直觀操作、概括、想象、抽象、形式化）的復(fù)雜的創(chuàng)造性思維過程，是不能由歸納心理研究中所揭示的某個(gè)單一的“歸納心理效應(yīng)”（如典型性效應(yīng)、多樣性效應(yīng)、前提樣本大小效應(yīng)、屬性效應(yīng)[12]等）來解釋．

在歸納推理的學(xué)習(xí)與教學(xué)中，不能采取“過度的躁進(jìn)”和“違時(shí)的急切”的做法，壓縮或是縮短歸納推理的認(rèn)知過程，而是要寧?kù)o地逗留于數(shù)值事例或量化現(xiàn)象面前，多看、多想、多思，切實(shí)地經(jīng)歷“歸納五看”，在依次運(yùn)用各種思維模式的過程中，逐步發(fā)現(xiàn)或發(fā)明各認(rèn)知階段中的量化模式．那種單靠一、兩個(gè)特殊事例或數(shù)值的觀察就“歸納”出一種一般性的量化模式是有悖于數(shù)學(xué)歸納推理認(rèn)知規(guī)律的．例如，關(guān)于“交集”的學(xué)習(xí)，教學(xué)中一般都是采用“直觀+定義”的方法，即先觀察一個(gè)具體的實(shí)例，然后給出“交集”的定義．這樣學(xué)習(xí)過程，既沒有“重復(fù)的看”，更沒有進(jìn)行“想象的看”，使得許多學(xué)生對(duì)“公共元素”的認(rèn)識(shí)只是停留在關(guān)于文字的“共同性印象”上，以至于出現(xiàn)如下非常低級(jí)的錯(cuò)誤：{銳角三角形}∩{鈍角三角形}={三角形}．這樣的錯(cuò)誤在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生中依然存在．

3.2 探 究 性

數(shù)學(xué)歸納推理作為一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，所要考查的是未知情境中的量性規(guī)律，是不能按照一種預(yù)設(shè)的、固定的簡(jiǎn)單程序來操作．不論是“個(gè)別的看”中的觀察操作、“重復(fù)的看”中的直觀概括，還是“想象的看”的想象構(gòu)造、“抽象的看”中抽象拓展與“一般的看”中的意義確認(rèn)，均需要學(xué)習(xí)者去嘗試、猜測(cè)、判斷、反思和修正，不斷地投入和組合自己的思想觀點(diǎn)．在歸納教學(xué)中要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)和提供有效的探究環(huán)境，讓他們自己選擇數(shù)值事例的操作加工方法，自主尋找模式識(shí)別和猜想生成的出路，引導(dǎo)他們用自己的觀點(diǎn)（想法）來引領(lǐng)“歸納五看”所組成的認(rèn)知連續(xù)體的進(jìn)程．例如，如果僅僅要學(xué)生觀察一大批偶數(shù)是很難發(fā)現(xiàn)“哥德巴赫猜想”的，因?yàn)椴恢酪翱础笔裁矗绻龑?dǎo)學(xué)生產(chǎn)生了這樣的想法：偶數(shù)與素?cái)?shù)有什么樣的關(guān)系，或者進(jìn)一步地，一個(gè)偶數(shù)是由幾個(gè)素?cái)?shù)組成的（原子論思想），那么，在這種想法的引領(lǐng)下，通過歸納推理發(fā)現(xiàn)“哥德巴赫猜想”就不是一件難事．

3.3 開 放 性

與一般的歸納推理相比，數(shù)學(xué)歸納推理除了具有超越性（結(jié)論的范圍大于前提的范圍）與或然性（結(jié)論可能正確也可能不正確）外，還具有獨(dú)特的開放性．首先，具有不確定性，包括前提條件的不確定（在“重復(fù)的看”中所需的具體數(shù)值的個(gè)數(shù)因需要而定）、數(shù)值加工方式的不確定（因“想法”的不同，組合加工數(shù)值的方式隨之不同）和結(jié)論的不確定（可以形成多種猜想）．其次，具有生成性，數(shù)學(xué)歸納推理不但超越了原有的信息，而且增加了新的信息——在“想象的看”中通過“心靈構(gòu)想”創(chuàng)造出了原來沒有的具體數(shù)值，這些新的數(shù)值使歸納思維活動(dòng)從無(wú)序走向有序、從有限走向無(wú)限、從具體走向抽象，從而催生了量化模式的形成．

鑒于數(shù)學(xué)歸納推理的開放性，在教學(xué)中，不要為歸納推理設(shè)置統(tǒng)一劃一的標(biāo)準(zhǔn)，不要追求唯一確定的結(jié)果，不要像訓(xùn)練演繹推理技能那樣，按照一種固定的模式機(jī)械訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理技能，而應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者采用多樣化的思維模式，形成具有個(gè)性化的歸納猜想．特別地，要重視想象在數(shù)學(xué)歸納推理中的作用，改變那種只有在提出了“一般性結(jié)論”之后，才讓學(xué)生去想象列舉相應(yīng)事例的做法（雖然這樣做也是必要的），應(yīng)該在得出一般性的量化模式之前就讓學(xué)生想象出相似性或一致性的數(shù)值事例，這樣的想象可為量化模式的生成與表征提供充分而必要的意象準(zhǔn)備．

3.4 經(jīng) 驗(yàn) 性

數(shù)學(xué)歸納推理作為一種合情推理，其每一個(gè)認(rèn)知階段均需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來支撐．研究者在文獻(xiàn)[13]中指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在親歷問題解決的過程中，通過嘗試與反思，在思維方式與量化模式及其體驗(yàn)之間所建立的聯(lián)系．”“歸納五看”揭示了數(shù)學(xué)歸納推理每一認(rèn)知階段中的思想模式與量化模式，這為數(shù)學(xué)歸納活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成和積累提供了明確的認(rèn)知機(jī)制和具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)步驟．在教學(xué)中，可根據(jù)“歸納五看”來設(shè)計(jì)歸納推理的具體學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)習(xí)者在經(jīng)歷個(gè)別的看、重復(fù)的看、想象的看、抽象的看與一般的看的認(rèn)知活動(dòng)過程中，依次建立單一具象特稱判斷與單一結(jié)構(gòu)模式的聯(lián)系、多元具象特稱判斷與多元結(jié)構(gòu)模式的聯(lián)系、構(gòu)想具象特稱判斷與關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)模式的聯(lián)系、具象全稱判斷與抽象結(jié)構(gòu)模式的聯(lián)系、抽象全稱判斷與形式結(jié)構(gòu)模式的聯(lián)系，從而形成豐富完整的數(shù)學(xué)歸納活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 王瑾，史寧中，史亮，等．中小學(xué)數(shù)學(xué)中的歸納推理：教育價(jià)值、教材設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問題系列訪談之六[J]．課程·教材·教法，2011，（2）：58-65．

[2] 錢佩玲．中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2001．

[3] G·波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002．

[4] 阿達(dá)瑪．?dāng)?shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)[M]．陳植蔭，肖奚安，譯．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

[5] 徐利治．徐利治論數(shù)學(xué)方法學(xué)[M]．濟(jì)南：山東教育出版社，2000．

[6] Constantinos Christou, Eleni Papageorgiou.A framework of mathematics inductive reasoning [J].Learning and Instruction, 2007, (17): 55-66.

[7] Lisa A Haverty, Kenneth R Koedinger, David Klahr, et al.Solving Inductive Reasoning Problems in Mathematics: Not-so-Trivial Pursuit [J].Cognitive Science, 2000, (24): 249-298.

[8] 李祥兆．?dāng)?shù)學(xué)歸納推理的認(rèn)知過程研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（2）：68-70．

[9] 蔡永紅．SOLO分類理論及其在教學(xué)中的應(yīng)用[J]．教師教育研究，2006，（1）：34-40．

[10] 王新民．試析一道課本練習(xí)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2013，（9）：38-39．

[11] 維果斯基．維果斯基教育論著選[M]．余震球，譯．北京：人民教育出版社，2004．

[12] 王秀芳，李紅．歸納推理的影響因素及腦機(jī)制研究[J]．信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），2007，（3）：50-53．

[13] 王新民．論數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本內(nèi)涵及其形成條件[J]．課程·教材·教法，2013，（11）：55-60．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Analysis of Connotations and Cognitive Process on Mathematics Inductive Reasoning

LI Xing-gui1, WANG Xin-min2
(1.Department of Mathematics, Chengdu Normal University , Sichuan Chengdu 611130, China; 2.College of Mathematics and Information Science, Neijiang Teachers College, Sichuan Neijiang 641199, China)

Abstract:.Mathematics induction reasoning is the thinking process to found the quantization pattern through observation and combination quantization attributes or quantization relationship of the special cases.This thesis reveals a basic cognitive process in mathematics induction reasoning, that is, seeing a question individually, repeatedly, imaginatively, abstractly and generally, which, as this thesis named: the five seeing of induction, constitute its every stage by unique thinking mode and the corresponding quantitative mode.It is a continuum from individually seeing to rationally seeing.Every step in this cognitive process is necessary.It lays a solid basis for the next stage so that the latter can finally transcend the former.Teaching of mathematics induction reasoning should make full use to the hierarchy, inquiry, openness and experiential, guide the students to accumulate rich experience in inductive activity.

Key words:mathematics inductive reasoning; basic connotation; cognitive process; quantization pattern; teaching enlightenment

作者簡(jiǎn)介：李興貴（1974—），男，四川蒼溪人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士生，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

收稿日期：2015–10–10

中圖分類號(hào)：G420

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004–9894（2016）01–0089–05