徐章韜，汪曉勤

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HPM教育價(jià)值剖析及應(yīng)用取向的深度挖掘

徐章韜1，汪曉勤2

（1．華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢 430079；2．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241）

HPM是一個(gè)新興的研究領(lǐng)域．教育取向的數(shù)學(xué)史對(duì)課堂教學(xué)，對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化性，對(duì)師范生的培養(yǎng)均有重要意義．認(rèn)知的歷史相似性原理的系列實(shí)證研究、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)研究、數(shù)學(xué)史知識(shí)在課堂教學(xué)中運(yùn)用的實(shí)驗(yàn)研究、運(yùn)用數(shù)學(xué)史促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的行動(dòng)研究等挖掘了教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值．利用信息技術(shù)挖掘教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值是一條值得嘗試的新路．

HPM；教育價(jià)值；信息技術(shù)

1 HPM是一個(gè)新興的研究領(lǐng)域

對(duì)數(shù)學(xué)史的研究歷來有不同的取向．李文林認(rèn)為數(shù)學(xué)史的研究具有三重目的[1]：一是歷史的目的，即恢復(fù)歷史本來的面目；二是數(shù)學(xué)的目的，即古為今用，為現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究與自主創(chuàng)新提供歷史借鑒；三是教育的目的，即在數(shù)學(xué)教育中利用數(shù)學(xué)史．第三種取向在當(dāng)前已成為一種國際現(xiàn)象，以教育取向的數(shù)學(xué)史HPM（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，HPM）的成立及其相關(guān)工作為標(biāo)志．Sierpinska分析了看待、研究和運(yùn)用數(shù)學(xué)史的4種不同方式[2]，分別稱之為歷史學(xué)家、認(rèn)知學(xué)家、教育學(xué)家Ⅰ、教育學(xué)家Ⅱ．歷史學(xué)家主要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的精確時(shí)間，把數(shù)學(xué)史本身當(dāng)作一門學(xué)科；當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)史于課堂教學(xué)時(shí)，歷史學(xué)家關(guān)注所呈現(xiàn)的歷史事實(shí)的精確性，重考據(jù)．認(rèn)知學(xué)家關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和學(xué)生如何學(xué)數(shù)學(xué)，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生發(fā)展過程及其對(duì)學(xué)生思維發(fā)生發(fā)展的啟迪．兩種類型的教育家都關(guān)注歷史上的數(shù)學(xué)思想方法本身對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)與教的重要性．教育學(xué)家Ⅰ的關(guān)注點(diǎn)在于把數(shù)學(xué)史作為一種教學(xué)設(shè)計(jì)的工具，以這種方式營造意義豐富的背景，在此情境中自然地引出數(shù)學(xué)概念．教育學(xué)家Ⅱ比第教育學(xué)家Ⅰ走得更遠(yuǎn)，他們?cè)跀?shù)學(xué)歷史發(fā)生發(fā)展的長河中，力求通過比較、對(duì)比等方式尋求理解特定數(shù)學(xué)概念、方法或理論的適切方法和探尋學(xué)生學(xué)習(xí)困難的真正原因．

教育取向地運(yùn)用數(shù)學(xué)史具有十分重要的意義．如果把數(shù)學(xué)看作是固定的、完成了的知識(shí)體系，把數(shù)學(xué)教學(xué)看作是從教師到學(xué)生的知識(shí)傳遞，那么在數(shù)學(xué)學(xué)與教的過程中很難有數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的位置．相反，把數(shù)學(xué)看作是多種知識(shí)形式中的一種文化表現(xiàn)形式或人類活動(dòng)，那么研究數(shù)學(xué)的歷史將是有意義的，研究數(shù)學(xué)的歷史將是在一定的文化背景中更好地理解人類自身和數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)系的一種比較好的方式．真正地整合數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教學(xué)中，將引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)史看成聯(lián)結(jié)不同時(shí)間、不同地域和不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)之紐帶，能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，明白數(shù)學(xué)是一種動(dòng)態(tài)的和創(chuàng)造性的人類活動(dòng)，明白數(shù)學(xué)是一種文化現(xiàn)象．課堂教學(xué)是學(xué)校教育的主陣地，立足于課堂教學(xué)探尋教育取向的數(shù)學(xué)史之于教育系統(tǒng)各要素，如，課程與教材，教學(xué)、學(xué)習(xí)等之間的關(guān)系，就顯得非常有必要了．這里以已有的研究為基礎(chǔ)，著重探討HPM的教育價(jià)值及其由此衍生的教育應(yīng)用，并展望在信息技術(shù)背景下，HPM的發(fā)展態(tài)勢(shì)．

2 HPM教育價(jià)值剖析

教育取向的數(shù)學(xué)史對(duì)課堂教學(xué)，對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化性，對(duì)師范生的培養(yǎng)均有重要意義．

2.1 HPM有助于“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”可以是教學(xué)的指南

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生是做好教學(xué)工作的兩個(gè)重要前提．HPM在這個(gè)兩個(gè)方面都能給教師以裨益．

整合數(shù)學(xué)史到課堂教學(xué)中對(duì)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)和教學(xué)水平的提升大有裨益．對(duì)教師而言，數(shù)學(xué)史可以改變教師自身對(duì)數(shù)學(xué)的洞察力和對(duì)數(shù)學(xué)的了解，可以幫助教師思考數(shù)學(xué)．這是一個(gè)隨著時(shí)間的進(jìn)行而不斷反思并改善的過程；有了這樣的認(rèn)識(shí)之后，就會(huì)影響教師的教學(xué)方式，使教師對(duì)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤采取包容和理解的正面態(tài)度，恰如其分地處理學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所犯的錯(cuò)誤．教師通過應(yīng)用數(shù)學(xué)史，以及對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的反思，除了有可能引發(fā)數(shù)學(xué)教師自身教學(xué)策略的改變以外，最后也可能會(huì)影響學(xué)生接受和了解數(shù)學(xué)的方式．如，Barbin認(rèn)為[3]，在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的最常見的兩個(gè)理由是：對(duì)于數(shù)學(xué)是什么的觀念，數(shù)學(xué)史為人們提供了另一種視角；數(shù)學(xué)史能使人們對(duì)數(shù)學(xué)的概念和理論有更好的了解，了解數(shù)學(xué)思想發(fā)生發(fā)展的過程，有助于增進(jìn)理解．對(duì)比古今，可以更好地明白現(xiàn)代理論的優(yōu)點(diǎn)及與古代理論之間的關(guān)聯(lián)．研究數(shù)學(xué)史和課堂教學(xué)的整合能修正教師關(guān)于數(shù)學(xué)的信念，并使數(shù)學(xué)的學(xué)與教更加趨向建構(gòu)主義的觀點(diǎn)．Tzannaki & Arcavi等提出數(shù)學(xué)史可以幫助數(shù)學(xué)教學(xué)的5大原因[4]：幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)活動(dòng)的發(fā)展的認(rèn)識(shí)，提供了另一種視角；提升數(shù)學(xué)教師自身的教學(xué)知識(shí)；讓教師更加熱愛數(shù)學(xué)；將數(shù)學(xué)視為一項(xiàng)文化成果．整合數(shù)學(xué)史到課堂教學(xué)中是意識(shí)到內(nèi)隱于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域之內(nèi)，數(shù)學(xué)與其它學(xué)科間聯(lián)系的一種很好的方式；若把這種聯(lián)系用教學(xué)語言表達(dá)，幫助學(xué)生構(gòu)建縱橫交錯(cuò)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，則是對(duì)教師知識(shí)和創(chuàng)造性的一種令人興奮的挑戰(zhàn)，將有助于提升教師的學(xué)術(shù)水平和教學(xué)水平．事實(shí)上，在整合過程中，教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提問、反應(yīng)、解釋、舉例等教學(xué)技能，呈現(xiàn)或解決問題的方法都大大提高和豐富了．

教育取向的數(shù)學(xué)史有助于教師理解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，為教師理解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理提供了一種途徑．Kelly認(rèn)為[5]，在學(xué)生難以掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)共同體難以接受的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間存在某種聯(lián)系．通過研究數(shù)學(xué)史和它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的適當(dāng)整合，教師對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難更加敏感，能更好地移情性地理解和更有的放矢地講解．因?yàn)椋瑢W(xué)生的學(xué)習(xí)障礙與過去數(shù)學(xué)家遇到的障礙相似．Ernest認(rèn)為[6]，數(shù)學(xué)史是一種認(rèn)知預(yù)測(cè)工具，能幫助教師預(yù)測(cè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的認(rèn)知論障礙；也是一種診斷工具，能幫助教師診斷學(xué)生認(rèn)知表現(xiàn)的錯(cuò)誤根源．?dāng)?shù)學(xué)史為學(xué)生提供了進(jìn)一步探索的機(jī)會(huì)和素材，使教學(xué)更有針對(duì)性，這是提高教學(xué)效率的訣竅之一．Barbin還認(rèn)為[3]，教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)除了使他們更好地理解教學(xué)中使用的數(shù)學(xué)概念之外，還能改變他們看待學(xué)生的方式，把學(xué)生看作是能思考會(huì)探究的人．學(xué)生的很多認(rèn)識(shí)論障礙是傳統(tǒng)教學(xué)把數(shù)學(xué)割裂了造成的，當(dāng)以發(fā)生發(fā)展的觀點(diǎn)運(yùn)用數(shù)學(xué)史時(shí)，能消解學(xué)生通向真正數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識(shí)論障礙．傳統(tǒng)地，人們認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)教師因其有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而能很好地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，初入職的教師則不能；HPM理論改變了人們的觀念，初入職教師通過HPM的學(xué)習(xí)也能把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，這是新教師快速成長的一條捷徑．

蕭文強(qiáng)的論述[7]幾乎涵蓋了以上所有觀點(diǎn)，他將教育取向的數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用概括為以下幾點(diǎn)：引入學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使教師及學(xué)生保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱情；為數(shù)學(xué)平添人情味，使學(xué)生明白前人創(chuàng)業(yè)的艱辛，不要把學(xué)習(xí)中的困難歸結(jié)為自己的愚笨；教師也可以從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中的“絆腳石”來了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，可以參考數(shù)學(xué)史作為教學(xué)的指引．

HPM通過對(duì)課程內(nèi)容的歷史解讀，對(duì)學(xué)生心理的歷史把握，進(jìn)而對(duì)教學(xué)產(chǎn)生有效的指導(dǎo)作用．

2.2 HPM揭示了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的歷史過程能使教師和學(xué)生看到數(shù)學(xué)演化的特征，看到數(shù)學(xué)的文化性．歷史性是文化的一個(gè)重要特征，數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展具有歷史繼承性．實(shí)用的、科學(xué)的、哲學(xué)的和美學(xué)的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)傳統(tǒng)的不斷變革及數(shù)學(xué)知識(shí)的前后延續(xù)性是數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的重要特點(diǎn)．Davitt說[8]，當(dāng)下的數(shù)學(xué)理論、思想和算法都是“出身粗糙的碳，但經(jīng)過打磨了的金剛石”．Reimer & Reimer認(rèn)為[9]，數(shù)學(xué)史是一門活的學(xué)科，是連接過去與現(xiàn)在的橋梁，新與舊的銜接是數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展中常有的事．?dāng)?shù)學(xué)史充滿了貫穿知識(shí)體系發(fā)生發(fā)展道路上的興衰起伏和趣聞?shì)W事，提供了革新和創(chuàng)造在學(xué)科發(fā)展過程中起作用的大量例子，如，在19世紀(jì)，代數(shù)學(xué)由于群的概念引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生，為代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)；幾何學(xué)由于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)而引發(fā)了人們空間觀念和幾何觀念的最深刻的革命；分析學(xué)的嚴(yán)格化使純粹數(shù)學(xué)表現(xiàn)出更高的抽象性、更強(qiáng)的統(tǒng)一性、更深入的基礎(chǔ)探討．一代又一代數(shù)學(xué)工作者“接力式”的工作，使得數(shù)學(xué)從一個(gè)境界走向又一個(gè)境界．其中，有“一將功成萬骨枯”的無奈，也有“手起刀落”猜想獲證后的酣暢淋漓，充分表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化性．

從發(fā)生發(fā)展的觀點(diǎn)整合數(shù)學(xué)史到課堂教學(xué)中，能使學(xué)生認(rèn)識(shí)和承認(rèn)影響數(shù)學(xué)發(fā)展的文化的、政治的、社會(huì)的和經(jīng)濟(jì)的背景，以及它們?cè)跀?shù)學(xué)演化中所起的重要作用，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成有極大的促進(jìn)作用．在教學(xué)中，滲透多元文化的觀點(diǎn)，在寬廣的文化背景中考量數(shù)學(xué)，可以揭示數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，從而讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與社會(huì)發(fā)展的關(guān)系以及和其它學(xué)科之間的聯(lián)系，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)，更新觀念，實(shí)現(xiàn)人類自身的智慧傳承、文化關(guān)懷和精神超越．學(xué)生可能會(huì)意識(shí)到數(shù)學(xué)和社會(huì)之間的互動(dòng)，即社會(huì)規(guī)范和文化實(shí)踐怎樣影響了數(shù)學(xué)發(fā)展，可能會(huì)意識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)際上是一種創(chuàng)造的和文化的人類努力，是人類知識(shí)、思想和方法的薪火傳承．以東方文明為基礎(chǔ)的算法數(shù)學(xué)和以西方文明為基礎(chǔ)的演繹數(shù)學(xué)，就是其中的典型代表．?dāng)?shù)學(xué)不是一種形式的符號(hào)演繹，每一個(gè)字符后面都有鮮活的故事，數(shù)學(xué)是“人為”的和“為人”的．這樣的教育已經(jīng)超越了知識(shí)教育的藩籬，而是一種文化教育，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成，有助于學(xué)生的成長．

2.3 HPM對(duì)教師教育有重要的促進(jìn)作用

在理論上，教育取向的數(shù)學(xué)史對(duì)教師教育有重要促進(jìn)作用．E. Jan Dijksterhuis強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史在師范教育中的重要作用[10]，他認(rèn)為對(duì)于師范生而言，數(shù)學(xué)史知識(shí)是一種財(cái)富，這種財(cái)富不僅是寶貴的，而且是不可或缺的，數(shù)學(xué)史將使他們能夠令人滿意地完成自己的職責(zé)．Furinghetti Fulvia認(rèn)為[11]，數(shù)學(xué)史不僅是數(shù)學(xué)文化發(fā)展步驟的記載，還能推動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本源的強(qiáng)有力洞察，師范生要以數(shù)學(xué)史為背景，以不同方式認(rèn)識(shí)他們將來要教授的主題，從而重塑他們對(duì)學(xué)校教學(xué)模式的信念．教育取向的數(shù)學(xué)史融數(shù)學(xué)與歷史于一體，教師能看到各種視角各種觀點(diǎn)的碰撞，做數(shù)學(xué)的各種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在潛移默化中受到了科學(xué)方法論的熏陶，教師的數(shù)學(xué)觀、教學(xué)觀和學(xué)生觀能得到洗禮．

在實(shí)踐上，要“知行合一”，不斷探討教育取向的數(shù)學(xué)史對(duì)教師發(fā)展的新視角和新模式．設(shè)計(jì)在課程中使用數(shù)學(xué)史的學(xué)者得出的綜合性結(jié)論是教師培養(yǎng)方式可以從歷史知識(shí)中受到啟迪．不過也有少數(shù)研究報(bào)告說，雖然在教師培養(yǎng)中使用了數(shù)學(xué)史，但并沒有使師范生的水平發(fā)生顯著的變化．研究者認(rèn)為這可能與使用數(shù)學(xué)史的角度有關(guān)．如果教師運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式局限于給師范生提供一些零零碎碎的歷史說明，容易使師范生對(duì)數(shù)學(xué)歷史的發(fā)生發(fā)展過程形成虛假的和扭曲了的觀點(diǎn)．事實(shí)上，局限于運(yùn)用某個(gè)時(shí)段的數(shù)學(xué)史料并不能真正地整合數(shù)學(xué)史到數(shù)學(xué)教育中，有可能無法對(duì)師范生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生有效的作用．因此，教育取向的數(shù)學(xué)史應(yīng)采取發(fā)生發(fā)展的視角，在寬廣的時(shí)空范圍內(nèi)考量數(shù)學(xué)，從而發(fā)展面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，為教師職業(yè)素養(yǎng)的提高打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．具體發(fā)展模式如可以采取微視頻案例研修的方法，等等．微視頻案例提供了一種情境性的“例中學(xué)”方式，有助于教師領(lǐng)會(huì)在課堂教學(xué)中運(yùn)用HPM時(shí)，無法言說的緘默性知識(shí)．研究者正在研究HPM微視頻在教師專業(yè)發(fā)展中的作用．

3 HPM教育價(jià)值應(yīng)用取向的深度挖掘

教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值有待挖掘．?dāng)?shù)學(xué)對(duì)象具有“過程—對(duì)象”的二重屬性已獲得了廣泛的認(rèn)同，若把最終成形的數(shù)學(xué)知識(shí)看作是一種對(duì)象，數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)然是在過程中形成的，那么若看重?cái)?shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的作用，是否也應(yīng)該在“過程—對(duì)象”的整體性框架內(nèi)充分考量？人們對(duì)那種不重思維過程只重思維結(jié)果的教學(xué)，形象地稱之為“掐頭—去尾—燒中段”，從發(fā)生發(fā)展的角度運(yùn)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)數(shù)育的做法主張實(shí)現(xiàn)“燒全魚”，這與中國新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的．盡管人們對(duì)教育取向的數(shù)學(xué)史有很高的評(píng)價(jià)，但是教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用卻不盡如人意．研究者分別從4條路徑深度挖掘教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值．

深度挖掘的方向之一是理論基礎(chǔ)建構(gòu)．在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的最重要的依據(jù)是認(rèn)知的歷史發(fā)生原理和發(fā)生教學(xué)法．研究者曾對(duì)此進(jìn)行過詳細(xì)的闡述[12~13]．理論方面的研究還需要更開闊的視野，借鑒不同學(xué)科的觀點(diǎn)和方法，特別是和PME的聯(lián)動(dòng)．

深度挖掘的方向之二是教學(xué)設(shè)計(jì)研究．?dāng)?shù)學(xué)史知識(shí)與具體數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)合，一直是HPM學(xué)者的研究目標(biāo)之一．1995年在美國國家科學(xué)基金資助下成立的、由美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主管的數(shù)學(xué)史及其在教學(xué)中的運(yùn)用研究所的重要工作之一是開發(fā)“歷史模塊項(xiàng)目”．并按下列模塊進(jìn)行融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)沒計(jì)：組合學(xué)、指數(shù)與對(duì)數(shù)、函數(shù)、幾何證明、長度、面積和體積、線性方程、負(fù)數(shù)、多項(xiàng)式、統(tǒng)計(jì)、三角等．運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)值得推廣的做法是學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)．如，蘇慧珍利用“數(shù)學(xué)期望學(xué)習(xí)單”把歷史無聲地用到了教學(xué)之中．這種表面上看起來沒有歷史，實(shí)則是以歷史發(fā)生發(fā)展的精髓為主線的教學(xué)設(shè)計(jì)，是運(yùn)用數(shù)學(xué)史于教學(xué)設(shè)計(jì)的典范，也是運(yùn)用數(shù)學(xué)史到教學(xué)中的努力方向．一般說來，這樣的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循發(fā)生教學(xué)法：（1）教師了解所教主題的歷史，即了解主題的歷史現(xiàn)象學(xué)；（2）理解該主題歷史進(jìn)化的關(guān)鍵步驟；（3）在現(xiàn)代情境下重構(gòu)推動(dòng)進(jìn)化的關(guān)鍵思想或問題，使之在教學(xué)上適合介紹新的概念、方法或理論，這樣做是基于歷史而不拘泥于歷史；（4）上述重構(gòu)按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面的問題的基礎(chǔ)之上，采取有序的問題驅(qū)動(dòng)模式．現(xiàn)在廣為使用的學(xué)案導(dǎo)學(xué)，是可以把數(shù)學(xué)史融入在其中的．

深度挖掘的方向之三是效果檢測(cè)評(píng)價(jià)研究．基于發(fā)生教學(xué)法設(shè)計(jì)的教學(xué)是否有效，還要經(jīng)過課堂實(shí)踐的檢驗(yàn)．因此，HPM的一項(xiàng)重要研究工作就是教學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)研究．McBride & Rollins早在1977年就進(jìn)行了一項(xiàng)為期12周的實(shí)驗(yàn)研究[14]，發(fā)現(xiàn)使用數(shù)學(xué)史知識(shí)的課程在提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性方面是十分有效的．Kool在以20名11—12歲的小學(xué)生為對(duì)象的教學(xué)實(shí)驗(yàn)中[15]，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)歷史上的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣，為自己的解法與歷史方法的一致性而興奮不已，從中他們知道了數(shù)學(xué)問題解法的多樣性，比較了解法的優(yōu)劣，加深了理解，拓寬了思維．Lakoma從歷史角度對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)做了深入研究[16]，指出在教概率時(shí)應(yīng)該將概率概念歷史發(fā)展的二重性同步地教給學(xué)生，否則會(huì)妨礙學(xué)生今后的認(rèn)識(shí)．Bakker經(jīng)過5個(gè)班級(jí)的循環(huán)實(shí)驗(yàn)[17]，設(shè)計(jì)了一套能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)平均數(shù)的教學(xué)方案．他給出了幾點(diǎn)基于歷史發(fā)生發(fā)展的教學(xué)建議：有必要把估計(jì)總數(shù)作為平均數(shù)教學(xué)的開端；引入中列數(shù)的概念；利用幾何方法定義平均數(shù)．

深度挖掘的方向之四是教師發(fā)展研究．運(yùn)用教育取向的數(shù)學(xué)史促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展是HPM的重要意義之一．蘇意雯通過個(gè)案研究了教師實(shí)施HPM教學(xué)的改變[18]，研究發(fā)現(xiàn)教師的反思、批判能力增強(qiáng)了；推動(dòng)其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)整，加強(qiáng)了邏輯和歷史層面之間的連結(jié)；其轉(zhuǎn)向了以學(xué)生為主體的教學(xué)．洪萬生對(duì)比了兩位教師發(fā)展的案例[19]，探索了當(dāng)HPM介入數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展時(shí)，參與的教師可以在哪些方面獲得發(fā)展，同時(shí)也據(jù)此提出了有關(guān)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的策略，研究指出，即使參與研究的教師既資歷淺，又對(duì)數(shù)學(xué)史料略知一二時(shí)，也可以利用HPM來促進(jìn)其專業(yè)發(fā)展，譬如HPM所引發(fā)的“反思”與“統(tǒng)整”，對(duì)于教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)，就可以帶來非常正面的幫助．劉柏宏等研究了用歷史發(fā)生發(fā)展的方法教授微積分課程的做法[20]，及如何發(fā)展臺(tái)灣大學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)思考的觀點(diǎn)．研究發(fā)現(xiàn)，被試可能更珍視做數(shù)學(xué)過程中的邏輯感、創(chuàng)造性和想象力．而且，大學(xué)生更傾向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)的確定性持保守態(tài)度．被試的關(guān)注經(jīng)歷了從把數(shù)學(xué)看作結(jié)果轉(zhuǎn)變到把數(shù)學(xué)看作過程的轉(zhuǎn)變．研究者本人也承認(rèn)他對(duì)數(shù)學(xué)思考的深刻理解大部分是從數(shù)學(xué)史中獲得的．汪曉勤通過個(gè)案研究指出[21]，HPM介入數(shù)學(xué)教學(xué)后，實(shí)驗(yàn)教師逐漸形成了自己的教學(xué)風(fēng)格，對(duì)教材的批判能力有了提升，對(duì)教材的拓展意識(shí)有了增強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有了更深刻的理解，教學(xué)研究能力有了改善．HPM可以有效地促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展．

當(dāng)然還有很多嘗試，由于還不太成熟，故在此沒有展開論述．如，HPM視角下的教材深度解讀[22]，HPM與問題解決[23]，等等．

4 深度挖掘HPM教育價(jià)值應(yīng)用的新嘗試

在信息化時(shí)代，要與時(shí)俱進(jìn)地尋找新的方式和手段挖掘HPM的教育價(jià)值，并推動(dòng)其更好的走向?qū)嵺`．教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值需要用信息技術(shù)的手段加挖掘．這是一條比較新的研究路徑．Kidron對(duì)84名16—17歲學(xué)生做了多項(xiàng)式逼近的教學(xué)試驗(yàn)[24]．他將歷史材料與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)做了完美的結(jié)合，參照歷史發(fā)生發(fā)展的順序，從18世紀(jì)歐拉和拉格朗日到19世紀(jì)柯西和切比雪夫，最后到20世紀(jì)初的龍格，利用計(jì)算機(jī)軟件演示各個(gè)階段多項(xiàng)式逼近函數(shù)的過程．循著歷史發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)來引導(dǎo)課堂教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生追溯了理論創(chuàng)立者的思考過程，歷史發(fā)生發(fā)展的視角促進(jìn)了學(xué)生對(duì)極限、收斂、逼近等概念的深入理解．計(jì)算機(jī)將靜態(tài)的代數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的圖形，鍛煉了學(xué)生的直覺思維．有鑒于此，研究者對(duì)這個(gè)方向非常感興趣，先期做了一些經(jīng)驗(yàn)性的研究，如“超級(jí)畫板支持三角形和定理：從歷史到課堂”、“按掘趙爽弦圖的導(dǎo)入功能：信息技術(shù)使數(shù)學(xué)史熠熠生輝的一則案例”等經(jīng)驗(yàn)性課題，然后在此基礎(chǔ)上成功地申報(bào)了中國博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目“信息技術(shù)推動(dòng)數(shù)學(xué)歷史文化進(jìn)入課堂教學(xué)之研究”的課題．研究者注意到在最新的外文文獻(xiàn)中也有了這方面的嘗試了[25]．作為課堂教學(xué)重要導(dǎo)引的選拔性考試，也越來越重視從數(shù)學(xué)史料的取材并命制成高考試題．如，2015年湖北高考第21題源于荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（F. van Schooten）的橢圓作圖工具，能在超級(jí)畫板的支持下很好地演示出來．這是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)史結(jié)合的一個(gè)很好的嘗試．前面提到的制作HPM微視頻也是一種新的嘗試[26]．

要改變數(shù)學(xué)史“高評(píng)價(jià)，低利用”的現(xiàn)狀，就要充分挖掘教育取向的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，并使之具象化．如何挖掘，并使教育取向的數(shù)學(xué)史的教育從口號(hào)式理念走向工程化的教學(xué)實(shí)踐，需要教育工作者不斷地探索、尋求新的有效方式．

[1] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)的進(jìn)化——東西方數(shù)學(xué)史比較研究[M]．北京：科學(xué)出版社，2005．

[2] Sierpinska A. The Diachronic Dimension in Research of Understanding in Mathematics Usefulness and Limitations of the Concepts of Epistemological Obstacle [A]. In: Jahnke H, Knoche N, Otte M.[C]. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1986.

[3] Barbin E. The Role of Problems in the History and Teaching of Mathematics [A]. In: Calinget R.[C]. MAA, Washington, 2000.

[4] Tzanakis C, Arcavi A. Integrating History of Mathematics in the Classroom: An Analytic Survey [A]. In: Fauvel J, van Maanen J.[C]. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2000.

[5] Kelley L. A Mathematical History Tour [J]., 2000, 93(1): 14-17.

[6] Ernest P. The History of Mathematics in the Classroom [J]., 1998, 27(4): 26-31.

[7] 蕭文強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育：個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和看法[J]．?dāng)?shù)學(xué)傳播，1992，（3）：23-29．

[8] Davitt R M. The Evolutionary Character of Mathematics [J]., 2000, 93(8): 692-694.

[9] Reimer L, Reimer W.[M]. Dale Seymour Publications, 1993.

[10] ?Fauvel J, Maanen J Van.[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[11] ?Furinghetti F. Teacher Education through the History of Mathematics [J]., 2007, 66(2): 131-143.

[12] 徐章韜，汪曉勤，梅全雄．認(rèn)知的歷史發(fā)生原理及其教學(xué)工程化——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（1）：26-42．

[13] 徐章韜，汪曉勤，梅全雄．發(fā)生教學(xué)法：從歷史到課堂[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（1）：10-12．

[14] ?McBride C, Rollins J H. The Effects of History of Mathematics on Attiudes toward Mathematics of College Algebra Students [J]., 1977, 8(1): 57-61.

[15] ?Kool M. An Extra Student in Your Classroom: How the History of Mathematics can Enrich Interactive Mathematical Discussions at Primary School [J]., 2003, 32(1): 19-22.

[16] ?Lakoma E. Statistics Teaching and Cognitive Development [A]. In: Fauvel J, Van Maanen J.[C]. Dordrencht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[17] ?Bakker A. The Early Development of Average Values and Implications for Education [J]., 2003, 11(1) http: //www.amstat.org/publications/je/vlnl/bakker.html.

[18] 蘇意雯．?dāng)?shù)學(xué)教師以HPM促進(jìn)專業(yè)發(fā)展之個(gè)案研究[EB/OL]．http://www.mtedu.tmue.edu.tw//eeys_teaching/研討會(huì)/2004/0/6數(shù)理教師專業(yè)發(fā)展學(xué)術(shù)研討會(huì)/PDF/113.pdf.

[19] 洪萬生．PCK vs. HPM：以兩位高中數(shù)學(xué)教師為例[A]．臺(tái)北：數(shù)學(xué)教育會(huì)議文集，2005．

[20] ?Liu Po-Hung, Niess Margrgaret L. Do Teachers Need to Incorporate the History of Mathematics in Their Teaching [J]., 2003, 96(6): 416-421.

[21] 汪曉勤．HPM與初中數(shù)學(xué)教師的專業(yè)案例發(fā)展——一個(gè)上海的案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：18-22．

[22] 徐章韜，梅全雄．HPM視角下的數(shù)學(xué)教材編寫[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：14-17．

[23] 徐章韜．青浦經(jīng)驗(yàn)：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教育表達(dá)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（5）：6-9．

[24] ?Kidron I. Polynomial Approxnation of Function: Historical Perspective and New Tools [J]., 2003, (8): 299-331.

[25] ?Papadopulos I. How Archimeds Helped Students Go Unravel the Mystery of the Magical Number Pi [J]., 2013, (8): 43-59.

[26] 侯小敏，汪曉勤．HPM微課在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015，（6）：61-63．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Education Value and Application of HPM

XU Zhang-tao1, WANG Xiao-qin2

(1. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China;2. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

HPM can serve a guide for teaching, and can reveal the cultural value of mathematics; and has an important role in promoting teacher education. An empirical Study of historical-genetic principle of cognition, instructional design study based on the history of mathematics, experimental study of the use of historical knowledge in the classroom teaching and the use of mathematical history to promote the teacher education exploit the value of HPM. It is a worthy path to explore the educational value of HPM by the means of IT.

history of mathematics education to education; education value; IT

G40-03

A

1004–9894（2016）06–0010–05

2016–10–18

華中師范大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目——基于學(xué)習(xí)理論的信息技術(shù)與學(xué)科教科書的整合（CCNU15A06015）；華中師范大學(xué)重大科研課題及創(chuàng)新示范基地培育項(xiàng)目——TPACK視角下卓越數(shù)字化教師的培養(yǎng)研究（CCNUE2015-5）

徐章韜（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心博士后，主要從事信息技術(shù)背景下的教師知識(shí)研究．