?時巍巍

高中函數(shù)參數(shù)問題的解題方法之我見

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函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的地位，是貫穿整個高中數(shù)學(xué)的主線，也是高考的熱點(diǎn)問題。如果高中生能夠熟練地掌握高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，相當(dāng)于掌握了高中數(shù)學(xué)的“半壁江山”。參數(shù)問題是高中函數(shù)中的重點(diǎn)問題，很多教材中都喜歡將函數(shù)與參數(shù)結(jié)合出題，不僅增加了高中數(shù)學(xué)的難度，也給高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)情況增加了很多的挑戰(zhàn)。本文結(jié)合新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材中的函數(shù)參數(shù)問題進(jìn)行分析，根據(jù)目前高中教學(xué)情況設(shè)置了幾個例題，明確高中函數(shù)參數(shù)問題的解題方法。

高中函數(shù)；參數(shù)問題；解題方法

前言：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在學(xué)術(shù)界中有“數(shù)學(xué)靈魂”的美稱。函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，很多知識點(diǎn)中都包含著函數(shù)的內(nèi)容，是高中生研究數(shù)學(xué)知識、提示數(shù)學(xué)能力的有效工具。高中函數(shù)問題是在一般的函數(shù)問題中加入了參數(shù)的概念，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力、拉開學(xué)生分?jǐn)?shù)檔次的題目，函數(shù)參數(shù)問題給高中數(shù)學(xué)的教學(xué)又增加了很大的難度。

一、高中函數(shù)參數(shù)問題的題型

1.與高中函數(shù)參數(shù)相關(guān)的“恒成立”問題 高中函數(shù)參數(shù)“恒成立”問題主要分為兩個方面的題型，一方面是對函數(shù)x∈R結(jié)論對成立，另一方面是在R上的某個子集成立。筆者選擇了三種習(xí)題形式進(jìn)行分析：

例1：

若ax2+2x-1<0恒成立，求a的取值范圍。

例2：

若x2+2x-a<0在x∈[-1，2]上恒成立，求a的取值范圍。

例3：

若x2+ax+1>0在x∈(0，2)上恒成立，求a的取值范圍。

其中例1就是第一種類型的題型，是自變量a在實(shí)數(shù)集R上恒成立的問題；例2、例3是第二種類型的題型，是自變量a在實(shí)數(shù)集上的一個子集恒成立的問題。

2.與高中函數(shù)參數(shù)相關(guān)的“存在性”問題 筆者選擇了一道例題對高中函數(shù)參數(shù)相關(guān)的“存在性”問題進(jìn)行分析，如例4所示。

例4：

若存在x∈[-1，2]，使x2+2x-a<0成立，求a的取值范圍。

如例4這種類型的題型就是高中函數(shù)參數(shù)相關(guān)的“存在性”問題[1]。

二、高中函數(shù)參數(shù)問題的解題方法

1.等價轉(zhuǎn)化法 我們在解決高中函數(shù)參數(shù)問題的時候，經(jīng)常會從等價轉(zhuǎn)化的角度出發(fā)，將高中函數(shù)參數(shù)問題與函數(shù)的值域問題進(jìn)行等價的轉(zhuǎn)化，通過加減乘除、乘方開方等運(yùn)算手段對高中函數(shù)參數(shù)問題進(jìn)行分析，將參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成a>f(x)或者是a

在a>f(x)或者是a

通過移項(xiàng)的運(yùn)算方式對例2中的代數(shù)式進(jìn)行簡化，就會變成a>x2+2x的形式。通過觀察等式形式我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)參數(shù)問題變成了一個簡單的二次函數(shù)問題y=x2+2x。其中x的取值范圍在-1到2之間，求在[-1，2]這個區(qū)間內(nèi)，y的取值范圍，而y的取值范圍就是自變量a的取值范圍。a的數(shù)值只要大于二次函數(shù)x2+2x在[-1，2]區(qū)間范圍內(nèi)的最大值，x2+2x-a<0就能夠恒成立[2]。最后得出結(jié)論：

當(dāng)x2+2x-a<0在x∈[-1，2]上恒成立，a的取值范圍為a>8。

為了能夠更加清晰地反映出等價轉(zhuǎn)化思想在高中函數(shù)參數(shù)問題解題中的重要性，筆者還針對了例3進(jìn)行分析。

通過移項(xiàng)的運(yùn)算方式對例3中的代數(shù)式進(jìn)行簡化，就會變成ax>-x2-1的形式。由于x的取值范圍在0到2之間，都是正數(shù)，所以還能對ax>-x2-1做出進(jìn)一步的簡化，最終得出a>-x-1/x。通過觀察等式形式我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)參數(shù)問題變成了一個簡單的二次函數(shù)問題y=-x-1/x。其中x的取值范圍在0到2之間，求在[0，2]這個區(qū)間內(nèi)，y的取值范圍，而y的取值范圍就是自變量a的取值范圍。a的數(shù)值只要大于二次函數(shù)-x-1/x在[0，2]區(qū)間范圍內(nèi)的最大值，x2+ax+1>0就能夠恒成立。最后得出結(jié)論：

若x2+ax+1>0在x∈(0，2)上恒成立，a的取值范圍為a>-2[3]。

2.數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合思想也是高中數(shù)學(xué)中一種常見的思考模式。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)一題多解的現(xiàn)象，從不同的角度去考慮問題，就會得出不一樣的解題思路，但是結(jié)果都不會發(fā)生變化。這種一題多解的形式在高中函數(shù)參數(shù)問題中的應(yīng)用比較常見，像是從幾何的角度去考慮高中函數(shù)參數(shù)問題，我們就能夠更加直觀的理解高中函數(shù)參數(shù)問題中考察的知識點(diǎn)，對于高中函數(shù)參數(shù)問題的解決有很大的幫助[4]。

以例4為例，通過移項(xiàng)的運(yùn)算方式對例4中的代數(shù)式進(jìn)行簡化，就會變成a>x2+2x的形式。通過觀察等式形式我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)參數(shù)問題變成了一個簡單的二次函數(shù)問題y=x2+2x。由于例4為存在性問題，因此在解題過程中與恒成立問題還存在一定的區(qū)別，只需要y=a的圖像高于y=x2+2x的圖像，就能夠保證存在x∈[-1，2]，使x2+2x-a<0成立。經(jīng)過分析，a>-1的情況下成立。

3.分類討論法 并不是所有的高中函數(shù)參數(shù)問題都能夠從整體的角度進(jìn)行考慮，還有一部分需要從分類的角度進(jìn)行分析，這時候就需要使用分類討論的方法。要想充分運(yùn)用好分類討論法，首先要掌握其基本原則和參考依據(jù)，真正做到不重、不漏，更好的解決高中函數(shù)參數(shù)問題。以例1為例，根據(jù)分類討論法的思想，我們應(yīng)該將ax2+2x-1<0變成ax2<1-2x的形式，于是該題就變成了在x屬于實(shí)數(shù)集時的恒成立問題[5]。

結(jié)論：綜上分析可知，高中數(shù)學(xué)的抽象性和概念性比較強(qiáng)，其中高中函數(shù)更是極為考驗(yàn)高中生的邏輯能力。而將高中函數(shù)與參數(shù)問題相結(jié)合又進(jìn)一步的提升了高中數(shù)學(xué)的難度，對高中生的數(shù)學(xué)解題能力提出了更高的要求。高中生應(yīng)該能夠靈活的使用各種解題方法與解題思路，不斷豐富自身的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，在專業(yè)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸，提升高中生的解題欲望和解題能力，鼓勵高中生突破自我、挑戰(zhàn)自我，推動高中生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的全面發(fā)展。

[1]曲波.淺談高中函數(shù)參數(shù)問題的解題方法[J].現(xiàn)代交際，2012，05：162.

[2]張海燕.高中函數(shù)解題教學(xué)的研究[D].湖南師范大學(xué)，2012.

[3]劉海武.高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性在解題中的巧妙應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究(高中版)，2013，08：33.

[4]李源.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中函數(shù)教學(xué)中的有效滲透與應(yīng)用[D].揚(yáng)州大學(xué)，2014.

[5]馬文杰.高一函數(shù)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的實(shí)證研究[D].華東師范大學(xué)，2014.

湖南省長沙市長郡中學(xué) 410000)