薛社教（渭南師范學(xué)院，陜西渭南714000）

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用數(shù)學(xué)方法研究乒乓球上旋球的飛行軌跡*

薛社教
（渭南師范學(xué)院，陜西渭南714000）

摘要：通過對乒乓球的受力分析建立乒乓球的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型并用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行繪圖，從而揭示旋轉(zhuǎn)速率對乒乓球的飛行軌跡的影響。乒乓球的上旋球是攻擊技術(shù)中最常用的乒乓球技術(shù)。乒乓球在飛行過程中基本上受到四種力的作用，包括重力、飛行阻力、浮力還有馬格努斯力。通過受力分析建立動(dòng)力學(xué)方程用Matlab對乒乓上旋球的飛行軌跡進(jìn)行繪圖分析得知，乒乓球的飛行軌跡和乒乓球的旋轉(zhuǎn)速率有重要關(guān)系。旋轉(zhuǎn)越強(qiáng)的上旋球其弧線的彎曲程度越明顯，第一彈跳點(diǎn)越近，飛行的垂直高度越低。通過對比不同的旋轉(zhuǎn)速率的乒乓球的飛行軌跡發(fā)現(xiàn)：造成上述現(xiàn)象的原因是乒乓球的旋轉(zhuǎn)速率不同，其又對應(yīng)著不同的馬格努斯力。

關(guān)鍵詞：上旋球；旋轉(zhuǎn)速率；馬格努斯力

Abstract:Dynamical model is established via force analysis of table tennis and then mathematical model is established employing mathematical software Matlab in drawing, in order to reveal the influences of rotation speed on the flight path of tennis. Topspin tennis is a tennis technique most commonly used in the attack technology. Table Tennis is basically affected by four forces in the process of the flight, including gravity, drag, buoyancy and Magnus force. Flight path of topspin tennis is drawn and analyzed through the stress analysis and dynamical equation by using Matlab. The important relationship between the rotation rate of table tennis and table tennis ball flight trajectory is revealed through the comparative analysis: The stronger the rotation of topspin is, the more obvious in the degree of arc crook, the closer the first bounce point is, and the lower the vertical height of flight. It is founded that the reason of the above phenomenon lies in the different speed of rotation and magnus force corresponding to the different speed of rotation.

Keywords:topspin; rotating speed; magnus

引言

乒乓球運(yùn)動(dòng)有廣大的群眾基礎(chǔ)。也被譽(yù)為聰明人的運(yùn)動(dòng)，乒乓球的變化多，最主要的是因?yàn)槠古仪虻男D(zhuǎn)多，能造成各種各樣的擊球和飛行軌跡[1]?；∪η蛑械纳闲?，是威力最大的一種進(jìn)攻技術(shù)，和沒有旋轉(zhuǎn)的乒乓球比較，上旋球能產(chǎn)生較好的弧線，使乒乓球準(zhǔn)確的落在臺(tái)面上。這樣乒乓球運(yùn)動(dòng)員可以充分發(fā)揮自己的力量和乒乓球拍的性能，制造比較轉(zhuǎn)的上旋球，增加對手的防守難度。本文通過對乒乓球上旋球的進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓定律建立力學(xué)方程，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，確定初始條件并用Matlab對乒乓球的上旋球的飛行軌跡進(jìn)行直觀的繪圖。對不同的圖像分析，可以得出不同的旋轉(zhuǎn)速率對飛行軌跡造成的具體影響。

一、乒乓球在飛行過程中受到的力

（一）重力

物體在地球表面會(huì)受到地球的吸引叫做重力，重力的大小和物體的質(zhì)量成正比，方向總是豎直向下，重力的計(jì)算公式如下：

F1=G=mg

其中m為乒乓球的質(zhì)量。按照2000年10月國際乒乓球聯(lián)合會(huì)的規(guī)定，乒乓球的直徑為40毫米，質(zhì)量為2.7克。

（二）氣體浮力

浸在氣體里的物體受到氣體豎直向上施加給物體的力叫做氣體的浮力。球的體積計(jì)算公式：

浮力在數(shù)值上等于物體排開同等體積的氣體的的質(zhì)量。其計(jì)算公式如下：

（三）空氣阻力

空氣阻力是由于物體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力，它與多方面的因素有關(guān)，物體的速度，形狀以及空氣的密度都會(huì)影響其大小?？諝獾淖枇梢钥醋鍪强諝鈱υ谒锩孢\(yùn)動(dòng)的物體的粘性作用。粘性作用可以看作是流體對在它內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的物體的摩擦力。這里粘性作用與雷諾數(shù)[2]有關(guān)，雷諾數(shù)越小表示著粘性力的作用越大，雷諾數(shù)越大表示著粘性力的作用越小。雷諾數(shù)計(jì)算公式如下：

其中η為粘滯系數(shù)。

我們?nèi)∈覝貫?0℃，因此粘滯系數(shù)η為1.78×10-6，ρ=1.205kg/ m-3，因此我們應(yīng)該先計(jì)算出乒乓球運(yùn)動(dòng)時(shí)的雷諾數(shù)：

空氣阻力FR的大小與乒乓球速度大小的平方成正比[3]，其計(jì)算公式如下：

表1　不同溫度狀況的粘滯系數(shù)

CD為阻力系數(shù)，不同的雷諾數(shù)范圍對應(yīng)著不同的阻力系數(shù)[4，5]

（四）乒乓球由于旋轉(zhuǎn)而引起的馬格努斯力[6]

馬格努斯效應(yīng)是由于自身帶有旋轉(zhuǎn)的物體在粘性流體中運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的。一般情況下，在粘性流體中運(yùn)動(dòng)的物體主要受到的力為空氣阻力、升力還有側(cè)壓力，當(dāng)乒乓球在空氣中高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于空氣具有粘性，那么，乒乓球由于旋轉(zhuǎn)會(huì)帶動(dòng)它周圍的空氣轉(zhuǎn)動(dòng)，即產(chǎn)生環(huán)流：當(dāng)環(huán)流和由于乒乓球運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的回流方向相同時(shí)流速加快，相反是流速減慢；由此可見，乒乓球的上方流速慢，下方流速快，根據(jù)伯努利原理，流速加快則氣體的壓強(qiáng)變小那么乒乓球這一側(cè)壓力小，流速減慢則氣體的壓強(qiáng)變大那么乒乓球這一側(cè)壓力大，馬格努斯力就是乒乓球兩側(cè)的壓力差。

由如可夫斯基環(huán)流理論可知[7，8]，馬格努斯力的計(jì)算公式如下：

其中，ω為旋轉(zhuǎn)速度。馬格努斯力的方向的判定方法：伸出右手，大拇指、食指、中指兩兩互相垂直，大拇指所指方向乒乓球旋轉(zhuǎn)的角速度方向，食指指向乒乓球速度方向，那么馬格努斯力的方向就是中指所指的方向。在這里要提一下，角速度的方向判定方法：伸出右手，四指指向乒乓球旋轉(zhuǎn)的方向，大拇指的指向就是角速度方向。

（五）受力分析圖

乒乓在空氣中飛行時(shí)主要受到四個(gè)力的作用：重力、空氣阻力、空氣浮力還有當(dāng)乒乓球在空氣中旋轉(zhuǎn)時(shí)，乒乓球由于旋轉(zhuǎn)會(huì)帶動(dòng)周圍的空氣形成環(huán)流，由于環(huán)流和回流的影響會(huì)使乒乓球受到馬格努斯力。受力分析圖如下：

二、建立數(shù)學(xué)動(dòng)力學(xué)方程

按照牛頓第二定律，可以建立乒乓球在X軸Y軸的動(dòng)力學(xué)方程：

其中，X、Y分別代表橫向和縱向。

圖1　

表2　模型方程初始參數(shù)設(shè)定

三、用Matlab對乒乓球的飛行軌跡進(jìn)行畫圖

當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=0r/s時(shí)圖形如圖2：

圖2　

當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=40r/s，ω=80r/s，ω=120r/s，水平位移將會(huì)依次減小。

四、圖像結(jié)果分析

根據(jù)四幅圖的對比我們可以看出：即使在初始條件中起始位置和乒乓球的速度一樣，由于乒乓球的旋轉(zhuǎn)速率不同，乒乓球的飛行軌跡也呈現(xiàn)出很大的不同：旋轉(zhuǎn)速率越慢的球，飛行的水平距離越遠(yuǎn)，飛行的最大高度越高；而旋轉(zhuǎn)速率越快的球，飛行的水平距離越近，飛行的最大高度越低，弧線低平?？梢钥吹叫D(zhuǎn)速率為0、40、80r/s的擊球的第一落點(diǎn)與起點(diǎn)的距離都超過3m，而只有乒乓球的轉(zhuǎn)速達(dá)到120r/s時(shí)的距離大約為2.4m。而且可以看出乒乓球飛行軌跡的垂直高度隨著轉(zhuǎn)速的增加而不斷地降低。由此可以得知：運(yùn)動(dòng)員可以通過控制乒乓球的旋轉(zhuǎn)速率來控制乒乓球的飛行距離和飛行高度，旋轉(zhuǎn)越快，飛行距離越近，反之越遠(yuǎn)；旋轉(zhuǎn)越慢，飛行高度越高，反之越低。

五、結(jié)束語

（1）乒乓球的飛行過程是空氣阻力、空氣浮力、重力和馬格努斯力綜合作用的過程。其中由于乒乓球的旋轉(zhuǎn)而引起的馬格努斯力對乒乓球飛行軌跡的不同起著決定的作用。（2）在初始速度和位置相同的條件下，乒乓球的旋轉(zhuǎn)速率越快，飛行距離越近，反之越遠(yuǎn)；旋轉(zhuǎn)速率越慢，飛行高度越高，反之越低。（3）通過乒乓球旋轉(zhuǎn)速度對乒乓球飛行軌跡的影響，在實(shí)際中運(yùn)動(dòng)員應(yīng)盡量提高乒乓球上旋的轉(zhuǎn)速以減少無謂的失誤。

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作者簡介：薛社教（1965-），渭南市人，渭南師范學(xué)院副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

中圖分類號(hào)：O411

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）06-0263-02

*校內(nèi)支持項(xiàng)目:1.卓越教師數(shù)學(xué)教學(xué)技能培養(yǎng)的長效機(jī)制研究(JG201551）2.數(shù)學(xué)課程多媒體教學(xué)實(shí)踐的現(xiàn)實(shí)性問題研究(2015JYKX017）。