嚴(yán)曉冬

[摘 要] 每一個(gè)知識(shí)內(nèi)容都有其內(nèi)在的教育價(jià)值，將勾股定理置于數(shù)學(xué)知識(shí)體系和文化價(jià)值系統(tǒng)中進(jìn)行分析，找到勾股定理與其他知識(shí)內(nèi)容之間的橫向、縱向聯(lián)系有助于課堂教學(xué)策略的優(yōu)化，幫助學(xué)生在習(xí)得知識(shí)的同時(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)思維和學(xué)科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 勾股定理；直角三角形；關(guān)系；問題

勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)中首先從其內(nèi)容出發(fā)，闡述勾股定理的教育價(jià)值和學(xué)科作用，接著就該節(jié)內(nèi)容的課堂組織策略進(jìn)行分析.

勾股定理的內(nèi)容

搞清楚勾股定理的內(nèi)容是有效實(shí)施教學(xué)的前提，具體的可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度進(jìn)行敘述.

1. 代數(shù)角度的敘述

文字表征：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號(hào)表征：a2+b2=c2（a，b和c分別表示兩直角邊和斜邊）.

2. 幾何角度的敘述

文字表征：一個(gè)直角三角形，以兩直角邊為邊的兩個(gè)正方形的面積之和等于以斜邊為邊的正方形的面積.

圖像表征：如圖1所示.

勾股定理的教育價(jià)值

一個(gè)知識(shí)的教育價(jià)值是多方面的，對于勾股定理這個(gè)內(nèi)容，其教育價(jià)值和學(xué)科價(jià)值有如下幾個(gè)方面：

1. 文化價(jià)值

從數(shù)學(xué)史上看，人們發(fā)現(xiàn)勾股定理、驗(yàn)證勾股定理及應(yīng)用勾股定理的過程蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值，我們在教學(xué)過程中注重這些數(shù)學(xué)史、研究過程，有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)習(xí)過程中體悟其存在的意義和實(shí)際價(jià)值.

2. 學(xué)科價(jià)值

從勾股定理的內(nèi)容來看，其同時(shí)具有代數(shù)和幾何的雙重特征，是初中數(shù)學(xué)階段幾何與代數(shù)之間問題研究的一個(gè)重要橋梁，從勾股定理的證明方法來看，“演繹法”“變換法”和“代數(shù)法”三種方法教給學(xué)生，尤其是學(xué)生通過學(xué)習(xí)變換法（拼圖法），能夠幫助他們感受和理解運(yùn)動(dòng)與變換.

知識(shí)的教育價(jià)值不僅僅表現(xiàn)在概念和規(guī)律本身，在教學(xué)中還應(yīng)該滲透知識(shí)探究和被發(fā)現(xiàn)的過程. 勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證整個(gè)過程均蘊(yùn)含著豐富的、可滲透的思維素材，和學(xué)生一起探索和證明勾股定理，能夠豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和不斷探索未知的價(jià)值：

（1）學(xué)生在探索過程中，探究圖形基本元素之間的關(guān)系、幾何結(jié)構(gòu)，而這一過程必然涉及空間推理和演算，從中學(xué)生能夠感悟到數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)體會(huì)推理和證明的力量.

（2）學(xué)生通過勾股定理的探索和證明，會(huì)自然而然地形成一種意識(shí)，那就是要了解我們生存的空間，必須要學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)工具，并合理地應(yīng)用.

勾股定理知識(shí)系統(tǒng)內(nèi)結(jié)構(gòu)分析

數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性和完整性，置于知識(shí)系統(tǒng)中，勾股定理與其他知識(shí)有著怎樣的聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)程中又有怎樣的連貫性呢？

1. 知識(shí)間的橫向聯(lián)系

《勾股定理》在初中階段與其他數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容密切聯(lián)系，如無理數(shù)、三角函數(shù)、方程、四邊形、圓等知識(shí).

2. 知識(shí)間的縱向聯(lián)系

從學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程來看，初中之前，學(xué)生在小學(xué)階段對三角形的三邊關(guān)系有了一個(gè)初步的了解：兩邊之和大于第三邊；步入初中，學(xué)習(xí)勾股定理內(nèi)容前，學(xué)生通過探索也對直角三角形的性質(zhì)有了一定的了解：“斜邊上的中線等于斜邊的一半，30°角所對直角邊是斜邊的一半. ”

那么，勾股定理在這里又有怎樣的作用呢？學(xué)習(xí)了這一內(nèi)容后，學(xué)生可以進(jìn)一步從邊的角度來定量地刻畫直角三角形的特征，由此進(jìn)一步深化學(xué)生對直角三角形的認(rèn)知.

學(xué)生從初中步入高中階段后呢？勾股定理有沒有其價(jià)值呢？學(xué)生在高中將要繼續(xù)學(xué)習(xí)任意三角形中邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，在學(xué)習(xí)和理解正弦定理和余弦定理時(shí)，需要用到勾股定理，可以將勾股定理視作為余弦定理的一種特殊情況.

整個(gè)學(xué)習(xí)過程對直角三角形邊角的關(guān)系，是從定性到定量，從一般到特殊再到一般的思維進(jìn)程.

幫助學(xué)生學(xué)會(huì)勾股定理的教學(xué)策略

如何幫助學(xué)生學(xué)會(huì)勾股定理呢？

1. “探索→猜想→證明”法

筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)前有部分教師在和學(xué)生探究勾股定理時(shí)采用的方法是：首先讓學(xué)生測量直角三角形三條邊的長，接著要求學(xué)生猜想三條邊長之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，在學(xué)生猜想出三邊之間的平方關(guān)系后，再證明勾股定理.

這樣的方式有怎樣的缺點(diǎn)呢？

筆者曾經(jīng)也嘗試過這種方式，看似邏輯性很好，但是關(guān)鍵在于學(xué)生不容易猜想出三邊之間的平方關(guān)系，猜想卡殼了，后面的證明就出不來了. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的困難呢？原因有二：一是學(xué)生在測量時(shí)本身就有誤差；二是從思維角度來看，學(xué)生的確很難想到平方關(guān)系.

2. 利用方格紙進(jìn)行探究

提供如圖2、圖3所示的方格紙.

首先，讓學(xué)生計(jì)算直角三角形三邊的平方分別是多少，只要能計(jì)算出三邊的平方，直角三角形三邊之間的平方關(guān)系就很容易猜想出來.

這個(gè)時(shí)候?qū)W生會(huì)遇到怎樣的困難呢？

因?yàn)橹苯侨切芜呴L的平方實(shí)際上就是每邊上的正方形的面積. 其中正方形1和正方形2的面積可以通過數(shù)方格的方法直接數(shù)出來，而斜邊上正方形（正方形3）的面積的計(jì)算則有一定的困難.

新的問題又出現(xiàn)了，怎么辦呢？方法又有兩個(gè).

（1）“割”，如圖4、圖5所示.

（2）“補(bǔ)”，如圖6、圖7所示.

上述在方格紙上運(yùn)用內(nèi)割法或外補(bǔ)法求斜邊上正方形面積的活動(dòng)蘊(yùn)含了勾股定理的證明思路，由圖5可得c2=（a-b）2+4ab，由圖7可得（a+b）2=c2+4ab，化簡之后就得到a2+b2=c2. 因此，利用方格紙?zhí)骄靠梢詭椭鷮W(xué)生較順利地猜想出直角三角形三邊的關(guān)系，同時(shí)水到渠成地獲得定理的證明，使勾股定理的學(xué)習(xí)一氣呵成.