童姍姍， 朱玉清， 連冬艷

(南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473004)

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教學(xué)實(shí)例的線性代數(shù)課程教學(xué)方法探討

童姍姍， 朱玉清， 連冬艷

(南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽 473004)

摘要：基于教學(xué)實(shí)踐中的已取得良好成效的教學(xué)實(shí)例，針對(duì)傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)過程中的弊端，從3個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)方法的改革探索：①歸類記憶法，包括形式歸類、內(nèi)容歸類、方法歸類，實(shí)現(xiàn)“知其一而知其他”，減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)；②寓教于樂，觀察抽象概念的語言敘述特征和符號(hào)表示特征，通過聯(lián)想、比喻、擬人方法化抽象為形象，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵美，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；③編輯邏輯主線，把“線”交給學(xué)生，使其“順藤摸瓜”，體驗(yàn)自己挖掘知識(shí)的快樂，培養(yǎng)學(xué)生的論證能力和推理能力．

關(guān)鍵詞：教學(xué)實(shí)踐；線性代數(shù)；歸類記憶；寓教于樂；邏輯主線

0引言

線性代數(shù)作為理工科學(xué)生的必修基礎(chǔ)課程，其知識(shí)結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密邏輯性、連貫性、實(shí)用性為其他專業(yè)課的學(xué)習(xí)提供了重要的奠基作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的邏輯思維能力，是一門不可或缺的工具課程．但是由于線性代數(shù)課程的抽象性和學(xué)時(shí)的有限性，傳統(tǒng)的教學(xué)方法使學(xué)生常?？鄲烙诶聿磺鍖W(xué)習(xí)頭緒，甚至視線性代數(shù)為“枯燥無味”的代名詞，導(dǎo)致不夠積極主動(dòng)，沒有學(xué)習(xí)興趣．因此如何改革本課程的教學(xué)方法，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在線性代數(shù)的海洋里輕松暢游，進(jìn)而提高教學(xué)效果，是教學(xué)研究中亟待解決的問題．筆者根據(jù)課程的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合其他先進(jìn)教學(xué)實(shí)踐，經(jīng)過長期的認(rèn)真思考，總結(jié)了自己的一些教學(xué)方法．

1歸類記憶，減輕記憶負(fù)擔(dān)

線性代數(shù)課程大多開課于第二學(xué)年，正是學(xué)生開始專業(yè)課的學(xué)習(xí)時(shí)期，學(xué)習(xí)時(shí)間較為緊張，而作為公共基礎(chǔ)課程，知識(shí)材料的大量積累使學(xué)生有不勝負(fù)荷的心理，因此怎樣使學(xué)生利用最短的時(shí)間攝取最大量的知識(shí)要點(diǎn)，是教學(xué)中首要考慮的問題．記憶是學(xué)習(xí)的重要任務(wù)，瑣碎、繁多的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、推論、步驟是輕松快速記憶的“天敵”，故應(yīng)該授予學(xué)生有效的記憶方法，縮短學(xué)習(xí)時(shí)間，消除學(xué)生對(duì)記憶的畏懼心理，從而提高理解力和記憶效率．

歸類法是所有記憶方法的基礎(chǔ)．學(xué)生往往對(duì)零散的知識(shí)沒辦法，記住這個(gè)，就忘了那個(gè)，翻來覆去，在腦海中也沒留下什么，即使記住了，保持的時(shí)間也很短，到底什么樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)能讓學(xué)生樂于接受，并且能在其腦海中留下深刻痕跡呢？無疑是具有形態(tài)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即通過帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)瑣碎知識(shí)進(jìn)行觀察、比較來組織知識(shí)模塊，從而達(dá)到“知其一而知其他”的學(xué)習(xí)效果．當(dāng)然，在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)中對(duì)不同種類的知識(shí)點(diǎn)的記憶要用不同的歸類方法．結(jié)合案例，下面談?wù)勅绾芜\(yùn)用歸類法展開線性代數(shù)[1]課程的教學(xué)實(shí)踐.

1.1形式歸類

形式歸類即根據(jù)模式直觀找到不同概念之間的聯(lián)系[2]，從而對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)模塊進(jìn)行歸類，這種方法是最為直接有效的． 例如學(xué)習(xí)完矩陣乘法、轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、逆矩陣后，對(duì)這些概念的性質(zhì)進(jìn)行梳理就可找到它們之間的聯(lián)系．

1.2內(nèi)容歸類

內(nèi)容歸類是指根據(jù)語言符號(hào)系統(tǒng)的特點(diǎn)將同一概念所對(duì)應(yīng)的不同問題系統(tǒng)化，排列整齊，方便學(xué)生提取．內(nèi)容歸類往往可以用圖表等直觀的形式表示出來，一目了然，避免了雜亂無章．例如對(duì)于求抽象矩陣的特征值與特征向量，設(shè)λ是n階方陣A的特征值，非零向量q是方陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，則有

1)kλ是方陣kA的特征值，且q是方陣kA對(duì)應(yīng)于kλ的特征向量；

3)λm是方陣Am的特征值，且q是Am對(duì)應(yīng)于λm的特征向量；

4)φ(λ)=a0+a1λ+…+amλm是矩陣φ(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值，且q是φ(A)對(duì)應(yīng)于φ(λ)的特征向量；

以上內(nèi)容可歸類如表1所示.

表1　抽象矩陣的特征值與特征向量

1.3方法歸類

求方陣特征值與特征向量、矩陣的對(duì)角化(求可逆矩陣)、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化(求正交矩陣)、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算步驟[3]聯(lián)系緊密，極易混淆．方陣特征值與特征向量的計(jì)算是矩陣對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的基礎(chǔ)，但是后三者不需要全部的特征向量；矩陣對(duì)角化過程需要先判斷是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，才可以構(gòu)造出可逆矩陣；實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化，所以無需判斷，但是需要將特征向量進(jìn)行正交規(guī)范化；正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型與實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化(求正交矩陣)是同一問題的兩種不同提法，解法基本相同，只是前者計(jì)算過程的最后需寫出標(biāo)準(zhǔn)型，如果不將這4個(gè)問題的計(jì)算步驟之間的聯(lián)系區(qū)分清楚，學(xué)生會(huì)經(jīng)常犯以下錯(cuò)誤：

1)求方陣特征值與特征向量過程中，沒有寫出基礎(chǔ)向量的線性組合形式，即沒有給出各個(gè)特征值的全部特征向量；

2)實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化過程中，沒有對(duì)特征向量進(jìn)行正交規(guī)范化就構(gòu)造矩陣；

3)視矩陣對(duì)角化(求可逆矩陣)與正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型為同一問題的兩種不同提法；

4)正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型過程中，最后沒有給出二次型的標(biāo)準(zhǔn)型．

為了避免上述錯(cuò)誤，考慮制作一個(gè)關(guān)于這4個(gè)問題的計(jì)算方法流程圖，讓學(xué)生體會(huì)這4種計(jì)算的聯(lián)系和區(qū)別，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生比較、分類、歸納的學(xué)習(xí)能力．歸類要注意完整性和標(biāo)準(zhǔn)多樣性，要明確歸類的目的和方向，避免不同類知識(shí)材料相互干擾，保證學(xué)生體會(huì)到化繁為簡的思想，這就要求教師查閱豐富的相關(guān)資料，仔細(xì)整合，再確定具體歸類的模塊．再者，歸類要結(jié)合各個(gè)班級(jí)學(xué)生的水平，需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況來確定，不同的學(xué)習(xí)程度要制訂不同的歸類方案．最后，授人以魚不如授人以漁，教師要把好本領(lǐng)傳授給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生歸納知識(shí)的能力，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長，提高自己的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率(圖1)．

圖1　計(jì)算方法流程圖Fig.1　Flow chart of calculation method

歸類法可以使學(xué)生理清思路，抓住重點(diǎn)，從繁雜的記憶信息庫搜索中贏得時(shí)間，故成為大多數(shù)學(xué)生喜歡的一種記憶方法，筆者在歸類教學(xué)實(shí)踐中也獲得了較好的教學(xué)效果．

2寓教于樂，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵美

教學(xué)中為避免枯燥、繁瑣等數(shù)學(xué)印象對(duì)學(xué)生的影響，可以嘗試采用與生活常識(shí)緊密相關(guān)的教學(xué)方法來表達(dá)抽象的數(shù)學(xué)概念．觀察教材中的概念特征(包括符號(hào)特征、語言敘述特征)，通過聯(lián)想、比喻、擬人手法使數(shù)學(xué)中干巴巴的公式和枯燥的語言敘述生動(dòng)起來，挖掘數(shù)學(xué)的內(nèi)涵美，寓教于樂，令學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活在理念上的聯(lián)系，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生快速、牢固地理解和掌握相關(guān)抽象概念．在高等數(shù)學(xué)中就有一個(gè)很生動(dòng)的例子，例如無窮小量乘以無窮小量、有界量結(jié)果是無窮小量；無窮小量乘以無窮大量的結(jié)果可能是無窮小量、無窮大量或有界量.對(duì)此可以形象寓意為：很少或有限的努力(無窮小量乘以無窮小量、有界量)是不會(huì)達(dá)到成功的(結(jié)果是無窮小量)，想要成功(得到無窮大量)必須付出足夠大的努力(無窮小量乘以無窮大量)，但也要有承擔(dān)失敗的勇氣(結(jié)果可能為無窮大量，也可能為無窮小量、有界量).如此對(duì)抽象結(jié)論賦予了通俗的生活哲理，一方面使數(shù)學(xué)概念形象起來，學(xué)生就樂于去對(duì)知識(shí)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，提高記憶品質(zhì)；另一方面，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵美，教育學(xué)生要發(fā)奮努力，對(duì)任何事情要有持之以恒的態(tài)度．以下還有幾個(gè)生動(dòng)的例子：

例1對(duì)矩陣乘法Cm×n=Am×sBs×n的乘法規(guī)則討論．

1)可乘性：左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)，聯(lián)想到趙迎歌曲“手牽手，一起走”．

2)乘積矩陣形狀：行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)，聯(lián)想到廣告詞“伸出你我的手，共筑美好未來”．

3)乘積矩陣元素：第i行第j列元素cij等于左矩陣第i行元素與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和．這個(gè)過程就可比喻為：一個(gè)人在人生的每一個(gè)階段(A的每一行)都要完成所有必要完成的事情(B的所有列)，才能鑄就最完整的人生(乘積矩陣C)．

例2區(qū)分余子式(代數(shù)余子式)、r階子式、順序主子式．

余子式(代數(shù)余子式)、r階子式、順序主子式[4]這3個(gè)概念的定義非常相似，都是對(duì)矩陣進(jìn)行行、列及元素取舍后得到的行列式，取舍的部位不同，得到的結(jié)果就不同．學(xué)生在用到這3個(gè)概念時(shí)，經(jīng)常分不清，這里，可以把矩陣看作一塊豆腐，教會(huì)大家“切豆腐”的方法：

1)切兩刀，取豆腐，舍刀痕，得到的就是余子式(代數(shù)余子式)；

2)切r刀，取刀痕，舍豆腐，得到的就是r階子式；

3)切兩刀，只取左上角的那塊方形豆腐，得到的就是順序主子式．

例3行列式按行(列)展開的這節(jié)中有兩個(gè)重要結(jié)論，一是定理(行列式按行(列)展開法則)：n階行列式D=det(aij)等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和；二是推論：行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0．即

由于兩個(gè)結(jié)論的語言敘述和符號(hào)表示形式很相似，導(dǎo)致有許多同學(xué)把這兩個(gè)結(jié)論記反，即n階行列式D=det(aij)等于它的任一行(列)的各元素與另一行(列) 對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和；行列式的某一行(列)的元素與其對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0．為了避免這種錯(cuò)誤，觀察、揣摩其中的語言敘述和符號(hào)表示的特點(diǎn)，可以分別賦予這兩個(gè)結(jié)論這樣的寓意：定理說明一個(gè)人只有專注努力自己的目標(biāo)(任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相乘)，才能獲得最圓滿的結(jié)果(乘積之和等于行列式的值)；推論說明一個(gè)人如果只想窺探他人的所得(某一行(列)的元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式相乘)，最終只會(huì)落得兩手空空(乘積之和等于0)．

這種教學(xué)方法可以化抽象為形象，創(chuàng)造和諧輕松的學(xué)習(xí)氛圍，使抽象的線性代數(shù)課程充滿趣味，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，提高記憶的持久性．將教學(xué)美育的思想滲透到教學(xué)中，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)提供了輔助作用，可在一定程度上推進(jìn)教學(xué)改革，但是要避免過于感性，導(dǎo)致錯(cuò)誤．

3編織邏輯主線，順藤摸瓜

線性代數(shù)的概念之間聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，因此在教學(xué)過程中，摸清知識(shí)的“脈搏”就很重要，即把已學(xué)過與即將學(xué)到的單元知識(shí)有機(jī)組合起來，編織邏輯主線，構(gòu)建知識(shí)脈絡(luò)，方便學(xué)生快速有效地了解各個(gè)章節(jié)之間的聯(lián)系，然后順藤摸瓜，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S藤上摘下一堆堆知識(shí)的果實(shí)．

例5矩陣的運(yùn)算規(guī)律相對(duì)于數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，最大的不同點(diǎn)在于矩陣的乘法運(yùn)算不滿足交換律和消去律，即AB=BA不一定成立；AB=AC且A≠O不能推出B=C；AB=O不能推出A=O或B=O．通過舉例說明，可以充分證實(shí)這些結(jié)論，接下來留給學(xué)生問題：在什么條件下，這些不成立的就能變成成立的呢？

引入逆矩陣后，若矩陣A可逆，則存在逆矩陣A-1，滿足“AA-1=A-1A=E”，即一個(gè)可逆矩陣與其逆矩陣是滿足乘法交換律的，且對(duì)于“AB=AC”和AB=O”，在其左右兩邊同時(shí)左乘A-1，就可以分別實(shí)現(xiàn)“B=C”和“A=O或B=O”，因此得出新的結(jié)論，即AB=AC且A可逆?B=C；AB=O且A可逆?A=O或B=O．接下來再考慮：如果矩陣不是方陣，需要滿足什么條件時(shí)可實(shí)現(xiàn)“B=C”和“A=O或B=O”呢？

這個(gè)教學(xué)過程不僅是編織邏輯主線的過程，也是一個(gè)邏輯論證的過程，使學(xué)生體驗(yàn)到自己挖掘到知識(shí)的快樂，在很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生的論證能力和推理能力．

4結(jié)束語

總之，線性代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)該細(xì)心觀察，挖掘合適教學(xué)素材進(jìn)行歸類記憶教學(xué)、美育教學(xué)，編輯邏輯主線以提高教學(xué)效率[6]，多角度培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，實(shí)現(xiàn)減輕記憶負(fù)擔(dān)、寓教于樂、順藤摸瓜的教學(xué)效果．

參考文獻(xiàn)

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Exploration on Teaching Method of Linear Algebra Based on Teaching Practice

TONG Shanshan， ZHU Yuqing， LIAN Dongyan

(SchoolofMathematicsandStatistics，NanyangInstituteofTechnology，Nanyang473004，China)

Abstract:Based on the teaching instance that has made good effectiveness of teaching instance, aiming at the disadvantages of traditional teaching process, the reform of teaching methods is explored in three aspects. The first is classification memory method, including form classification, content classification and method classification, whose aim is to achieve “know one of and known other” and to reduce the students’ burden of memory; the second is entertainment: observing the abstract concept of language features and symbolic representation characteristic, transforming the abstract concept into image description by association, metaphor, personification method to mine the mathematical beauty of connotation and arouse the students’ interest in learning; the third is editing the logic thread: putting the “l(fā)ine” to students for tracking by clues and experiencing the happiness of getting knowledge personally to cultivate students’ argumentation and reasoning ability.

Key words:teaching practice; linear algebra; classified memory; edutainment; logic thread

中圖分類號(hào)：G642.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2016)01-0065-05

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2016.01.015

作者簡介：童姍姍(1986—)，女，河南南陽人，南陽理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教師．

基金項(xiàng)目：河南省科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(122102210060)；南陽理工學(xué)院教學(xué)改革專項(xiàng)研究項(xiàng)目(NIT2013BK-09)；南陽市科技計(jì)劃項(xiàng)目(RKX06)

收稿日期：2015-09-26