蘇榮亞　于波

【摘要】數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有過(guò)程與對(duì)象的雙重屬性，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)“四基”的目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的樞紐和關(guān)鍵，它為數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)提供了感性材料；為概念理解提供了解釋和組織的背景；并利于學(xué)生回憶和提取數(shù)學(xué)概念。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

【基金項(xiàng)目】系西南大學(xué)2015年度教師教學(xué)發(fā)展研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)SWFZ20150002）成果。

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）06-0110-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，更是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的資源。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本構(gòu)成要素，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本環(huán)節(jié)。由于數(shù)學(xué)概念本身以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，而在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的重要組成部分。

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教育意義

1.經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵

“經(jīng)驗(yàn)”的一般概念包括了知識(shí)、技巧，是體驗(yàn)或觀察某一事或某一事件后所獲得的心得并應(yīng)用于后續(xù)作業(yè)。而這些以前獲取的知識(shí)技巧，對(duì)于以后解決問(wèn)題十分關(guān)鍵。在西方，較早論述經(jīng)驗(yàn)的哲學(xué)家以客觀唯心主義的創(chuàng)始人柏拉圖為代表。在柏拉圖（Plato）看來(lái)，經(jīng)驗(yàn)指的是習(xí)以為?；蛘甙堰^(guò)去很多偶然嘗試的結(jié)果保存下來(lái)，是附屬于感覺(jué)器官的低級(jí)認(rèn)識(shí)。美國(guó)教育家杜威（JohnDewey）認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)不是一種呆板、封閉的東西，它是充滿活力的、不斷發(fā)展的，經(jīng)驗(yàn)可以成為同理性和思考對(duì)抗的東西，也可以使我們擺脫感覺(jué)、欲望和傳統(tǒng)等局限性的影響。[1]可以看到，經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生于相互作用的過(guò)程，并且對(duì)未來(lái)產(chǎn)生積極或者消極的影響。經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)很大的范疇，既是一種特殊的知識(shí)、技巧，又是包含了過(guò)程性的一種體會(huì)和感悟。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵

在公開發(fā)表的論文中，關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵并沒(méi)有形成統(tǒng)一，但都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種感受、體驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)了過(guò)程性、結(jié)果性以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系和影響。比如，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[2]認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做的過(guò)程和‘思考的過(guò)程中積淀。”王新民認(rèn)為，“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是過(guò)程與結(jié)果相統(tǒng)一的產(chǎn)物，主要是一種具有過(guò)程性、創(chuàng)造性的個(gè)人知識(shí)”[3]，概括來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指?jìng)€(gè)體在具體數(shù)學(xué)活動(dòng)中與學(xué)習(xí)環(huán)境相互作用后所獲得的經(jīng)歷和感悟。

首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生來(lái)源于學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)環(huán)境的相互作用。在一般的教學(xué)里，包含了教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”這兩種關(guān)系。學(xué)習(xí)是通過(guò)學(xué)生的主動(dòng)行為而發(fā)生的；他學(xué)到了什么取決于他做了什么，而不是教師做了什么[4]。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)者和環(huán)境如何互動(dòng)直接相關(guān)，學(xué)習(xí)者互動(dòng)的方式、互動(dòng)的內(nèi)容、互動(dòng)的情感都影響數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的生成。其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。皮亞杰認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教育中存在著和主體動(dòng)作有關(guān)的、彼此很不相同的兩種“經(jīng)驗(yàn)”。一種是“物理經(jīng)驗(yàn)”（廣義的），指作用于物體以發(fā)現(xiàn)物體本身的特性；另一種可被稱作“邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，這種經(jīng)驗(yàn)不是從特定物體的物理特性收集其信息，而是從兒童作用于物體的實(shí)際動(dòng)作收集信息的[5]。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種邏輯數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，它要求在一定特定的環(huán)境下對(duì)特定的目標(biāo)進(jìn)行行為、思維上的操作，從而去認(rèn)識(shí)、理解事物。最后，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)上是一個(gè)過(guò)程性目標(biāo)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)”[6]，并且運(yùn)用了過(guò)程性目標(biāo)“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等術(shù)語(yǔ)來(lái)描述數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于與其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的關(guān)系來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)無(wú)法單獨(dú)存在，它總是滲透在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的學(xué)習(xí)過(guò)程之中，指向?qū)W習(xí)的整個(gè)過(guò)程。

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生發(fā)展的作用

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)的前提和關(guān)鍵。史寧中、柳海明認(rèn)為，基礎(chǔ)教育學(xué)科教學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育的基本路徑之一是變“雙基”為“四基”[7]；黃翔等人認(rèn)為，“獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)”[8]。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展學(xué)生抽象思維、形成智慧方面等具有重要作用。

首先，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)就是抽象性，這使得學(xué)習(xí)者無(wú)法一開始就能理解數(shù)學(xué)形式化的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括了知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、方法經(jīng)驗(yàn)、過(guò)程性經(jīng)驗(yàn)、情感經(jīng)驗(yàn)等，這些已有的經(jīng)驗(yàn)奠定了學(xué)習(xí)者繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，能夠幫助學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)形成一種解決問(wèn)題的直覺(jué)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛑笇?dǎo)學(xué)生自發(fā)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，避免學(xué)習(xí)者理解上的困難。其次，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要紐帶。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的生成需要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些內(nèi)容可以是知識(shí)的、技能的也可以是學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)。因此數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的生成滲透于完成其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的過(guò)程之中，反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又能動(dòng)的提升其他數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的達(dá)成水平。最后，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于形成智慧。數(shù)學(xué)知識(shí)本身并不具有終極的教育價(jià)值，而更為重要的是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程當(dāng)中經(jīng)歷思考對(duì)思維的訓(xùn)練，從而促進(jìn)人智慧的發(fā)展。皮亞杰認(rèn)為，人的智力發(fā)展的最后一個(gè)階段為形式運(yùn)算或命題運(yùn)算階段，就是一般講的抽象思維階段，這是認(rèn)知發(fā)展的理想目標(biāo)，因此教育的最高目標(biāo)是具有邏輯推理能力和掌握復(fù)雜抽象概念的能力[9]。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的過(guò)程，自主建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，學(xué)習(xí)者不再是被動(dòng)的接受知識(shí)，而是在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷去探索、反思、糾正，在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中有助于學(xué)生創(chuàng)造性和批判能力的形成，為最終發(fā)展學(xué)生的智慧提供了可能。

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的條件

1.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著特征就是概念眾多，而且不同分支的數(shù)學(xué)概念往往有不同的特點(diǎn)，因此概念理解是數(shù)學(xué)教學(xué)中的最基本也是最主要的任務(wù)之一[10]。從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)概念主要來(lái)源于兩個(gè)方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象所獲得[11]。因此，數(shù)學(xué)概念可以相應(yīng)的分為兩類：一類是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而形成的概念，這類概念與現(xiàn)實(shí)比較貼近；另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒(méi)有客觀實(shí)在與之對(duì)應(yīng)[12]。但是，從學(xué)習(xí)者習(xí)得數(shù)學(xué)概念的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念形成并不完全是一個(gè)邏輯的過(guò)程，按照拉卡托斯的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)定義并非一開始就是精準(zhǔn)的，其中有一個(gè)抽象化和精致化的過(guò)程。學(xué)生需要循序漸進(jìn)的建立對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，比如范希爾理論對(duì)幾何思維水平的刻畫，他反映了學(xué)生對(duì)幾何概念的理解具有順序性。此外，作為學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念，又會(huì)由于學(xué)習(xí)者自身的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)水平的不同，存在著對(duì)數(shù)學(xué)概念不同水平的理解。

2.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的方式

對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，主要包括概念形成與概念同化兩種方式。概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，用歸納的方式抽取出同一類事物的共同屬性，從而達(dá)到對(duì)概念的理解；概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具，依靠新、舊概念的相互作用理解概念[13]。概念形成與概念同化是兩個(gè)相互促進(jìn)的過(guò)程，概念形成包含著同化的因素，要用具體的、直接的感性材料同化新概念；同樣，概念同化也不能脫離分析、抽象和概括，因而含有概念形成因素[14]。

3.數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系

數(shù)學(xué)概念由于上述的各種特征，它同數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一樣，具有對(duì)象與過(guò)程的雙重屬性，不管是概念形成還是概念同化都離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從對(duì)象性的靜態(tài)角度看，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)者需要習(xí)得的一種數(shù)學(xué)知識(shí)；從過(guò)程性的動(dòng)態(tài)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的習(xí)得需要學(xué)習(xí)者不斷經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)從而建構(gòu)知識(shí)對(duì)自身的意義。不管是概念形成還是概念同化，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都是一個(gè)循序漸進(jìn)有層次的過(guò)程，學(xué)習(xí)者都必須經(jīng)歷多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐漸形成從具體到抽象的理解，然后又在不同的問(wèn)題情境中檢驗(yàn)、加深理解的程度。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解，維納與稻爾提出的“概念意向”、“概念定義”以及斯根普提出的“工具性理解”與“關(guān)系性理解”都充分說(shuō)明了過(guò)程對(duì)于理解的重要性。數(shù)學(xué)概念的理解是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象、從孤立到整體的循序漸進(jìn)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，伴隨著利用、重組、改造數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是概念理解的溝通工具以及思維的材料，教師應(yīng)在概念理解的不同層次開展適宜的數(shù)學(xué)活動(dòng)，用多種方式對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行表征，幫助學(xué)生建立概念理解的過(guò)程。

三、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的作用

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)概念都具有過(guò)程性和對(duì)象性的雙重屬性，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注，從根本上說(shuō)就是對(duì)數(shù)學(xué)概念理解順序性、過(guò)程性的強(qiáng)調(diào)。這種建立在大量數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上的學(xué)習(xí)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的概念理解具有重要作用。

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為概念學(xué)習(xí)的各個(gè)階段提供了感性經(jīng)驗(yàn)

感性材料或感性經(jīng)驗(yàn)是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素。雖然這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)帶有明顯的個(gè)體認(rèn)知成分，并且存在原始、膚淺、片面、模糊的特征，但這類直接數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是建構(gòu)個(gè)人理解不可或缺的重要素材。如果缺乏這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的感性材料和感性經(jīng)驗(yàn)較少，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的感知不充分，概念的本質(zhì)屬性和無(wú)關(guān)屬性無(wú)法充分比較，對(duì)掌握概念所必須的經(jīng)驗(yàn)不能建立起來(lái)。不管是稻爾提出的“數(shù)學(xué)的三個(gè)世界”、皮亞杰的“反思性抽象理論”、還是布魯納的“表征理論”，都解釋了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展具有順序性，是從具體到形式化的過(guò)程，而在這個(gè)過(guò)程中必須以個(gè)體生理上的感知和行為為基礎(chǔ)。換句話說(shuō)，學(xué)生頭腦形成的數(shù)學(xué)概念都有具體形象的“影子”，而這種”影子”來(lái)源于學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)的感知、操作等具體活動(dòng)。通過(guò)豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多重表征，這有利于學(xué)習(xí)者從各種表征中獲得共同的性質(zhì)從而成功的建立數(shù)學(xué)概念，同時(shí)也能增強(qiáng)這一理解遷移至其他領(lǐng)域的能力。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為概念理解提供了解釋和組織的背景

數(shù)學(xué)概念之間具有廣泛的聯(lián)系，這種聯(lián)系包括概念與背景的聯(lián)系、概念結(jié)構(gòu)本身的聯(lián)系，數(shù)學(xué)概念總是處于一個(gè)組織良好的概念體系之中。因此，個(gè)別概念的意義總有部分是來(lái)自于其他概念的相互關(guān)系，或出自系統(tǒng)的整體特征[15]。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)總是涉及新舊概念的信息，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)転槲覀兲峁┙忉屝畔⒌谋尘爸R(shí)，幫助學(xué)習(xí)者建立知識(shí)之間的內(nèi)在的“非人為”的邏輯聯(lián)系，從而將難以理解的數(shù)學(xué)信息組織成了一個(gè)連貫的、有意義的整體。沒(méi)有這種貫穿知識(shí)之間的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生將難以對(duì)信息做出前后一貫的解釋。比如，在學(xué)習(xí)《圓的面積》時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生回憶“圓的周長(zhǎng)公式、已學(xué)圖形的推到過(guò)程”，幫助學(xué)生回憶和提取“未知圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形來(lái)推導(dǎo)面積公式”這一重要策略。這一策略包含了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅涉及學(xué)習(xí)這些面積公式的整個(gè)學(xué)習(xí)經(jīng)歷（包括認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、情感體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)、動(dòng)作技能性經(jīng)驗(yàn)），還包含了對(duì)這些數(shù)學(xué)概念知識(shí)的回憶和鞏固。因此，學(xué)生以前的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅為“圓的面積”這一新概念的學(xué)習(xí)提供了方法上的借鑒，更提供了一個(gè)概念間相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)背景，幫助學(xué)生理解與組織新的數(shù)學(xué)概念。

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的回憶和提取

一般來(lái)講，積累了豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)概念，我們往往有更好的記憶；而對(duì)于缺乏數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)機(jī)械記憶的數(shù)學(xué)概念，記憶的效果則不太好。APOS理論指出，數(shù)學(xué)對(duì)象、圖式的形成是一種漸進(jìn)的建構(gòu)過(guò)程，一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過(guò)程”到“對(duì)象”需要經(jīng)過(guò)多次的反復(fù)、循環(huán)漸進(jìn)，螺旋上升的理解。在整個(gè)環(huán)節(jié)中，相應(yīng)的具體操作或者數(shù)學(xué)活動(dòng)提供了必要的基礎(chǔ)，使學(xué)生在頭腦中逐漸建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象。在這一點(diǎn)上，菲爾茲獎(jiǎng)的獲得者瑟斯頓在描述數(shù)學(xué)的特征時(shí)，也提到“數(shù)學(xué)具有驚人的‘壓縮性”，而這種壓縮性來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體認(rèn)知，而整體認(rèn)知?jiǎng)t需要學(xué)習(xí)者經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過(guò)程的參與和體驗(yàn)。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是循環(huán)上升的，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)転椴煌橄蟪潭鹊膶W(xué)習(xí)提供多樣化的感性材料（知識(shí)領(lǐng)域、情感領(lǐng)域、動(dòng)作領(lǐng)域），還能強(qiáng)化學(xué)習(xí)者的理解程度，提高學(xué)生回憶和提取新、舊知識(shí)的速度和質(zhì)量。

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作者簡(jiǎn)介：

蘇榮亞（1990，—），女，重慶人，西南大學(xué)教育學(xué)部在讀碩士研究生，研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育課程改革。

于波（1958，6—），女，河北易縣人，西南大學(xué)教授，教師教育學(xué)院研究部主任，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。