證明:易知橢圓的右準(zhǔn)線l1:x=a2[]c,作BB1⊥l1,AA1⊥l1,垂足分別為B1、A1,再作BD⊥AA1交AA1于點(diǎn)D.
由橢圓的定義得:|BF|[]|BB1|=e,|AF|[]|AA1|=e.
∴|AD|=|AA1|-|BB1|=1[]e(|AF|-|BF|)=m-1[]e|BF|
又|AB|=|AF|+|BF|=(m+1)|BF|
∴cosa=cos∠BAD=|AD|[]|AB|=1[]e m-1[]m+1即e cosa=m-1[]m+1.
例1:(2010全國Ⅱ,理)已知橢圓C:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)的離心率為3[]2,過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),若AF=3FB,則k等于()A.1B.2C.3D. 2
解答:B.由結(jié)論1可知e cosa=m-1[]m+1,又m=3,e=3[]2,∴3[]2 cosa=3-1[]3+1=1[]2,∴cosa=3[]3,又k=tana=2.
結(jié)論二:
已知橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),A、B為橢圓上相異的兩點(diǎn),且OA⊥OB,若圓o:x2+y2=r2與直線AB相切,則r=a2b2[]a2+b2.
證明:①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),則直線AB的方程為:x=m.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0
∴x1=x2=m,y1=-y2=m.
又點(diǎn)A在橢圓上,
∴m2[]a2+m2[]b2=1m2=a2b2[]a2+b2=r2
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=kx+m
即kx-y+m=0.則r=|m|[]1+k2r2=m2[]1+k2
又y=kx+mx2[]a2+y2[]b2=1(b2+a2k2)x2+2mka2x+a2m2-a2b2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2,x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2.
由OA⊥OB⊥得x1x2+y1y2=0∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0
即(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=0
將x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2,x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2 代入上式并化簡得:
(a2+b2)m2=a2b2(1+k2)m2[]1+k2=a2b2[]a2+b2=r2
綜上,r2=a2b2[]a2+b2即r=a2b2[]a2+b2.
例2.(2009山東卷理)
設(shè)橢圓E:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)過M(2,2),N(6,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由。
解:(1)因?yàn)闄E圓E:x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)過M(22),N(6,1) 兩點(diǎn),
所以4[]a2+2[]b2=16[]a2+1[]b2=1解得1[]a2=1[]81[]b2=1[]4所以a2=8b2=4
∴橢圓E的方程為x2[]8+y2[]4=1。
(2)由上述結(jié)論可知該圓存在,且圓的方程為:x2+y2=8[]3。|AB|的取值范圍省略。
結(jié)論三:
已知橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0),直線l:x=m(-a證明:由題意可設(shè)直線l1的方程為:
y-n=k(x-m)k≠0.
則直線l2的方程為:y-n=-k(x-m)
∴y-n=k(x-m)x2[]a2+y2[]b2=1
(b2+a2k2)x2-(2mk2a2-2a2nk)x+a2(m2k2-2nmk+n2-b2)=0
設(shè)P(xp,yp),Q(xQ,yQ)
∴xp+m=2mk2a2-2a2nk[]b2+a2k2
∴xp=mk2a2-2a2nk-b2m[]b2+a2k2,yp=n+k(xp-m)
同理:xQ=mk2a2+2a2nk-b2m[]b2+a2k2,yQ=n-k(xQ-m)
∴kpQ=yp-yq[]xp-xQ=k(xp+xQ)-2mk[]xp-xQ=2k(a2k2m-b2m)[]b2+a2k2-2mk[]-4a2nk[]b2+a2k2
=2a2k2m-2b2m-2m(b2+a2k2)[]-4a2n=-4b2m[]-4a2n=b2m[]a2n
例3.(2009遼寧卷理)
已知,橢圓C過點(diǎn)A(1,3[]2),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。
解:
(1)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為1[]1+b2+9[]4b2=1,解得b2=3或b2=-3[]4(舍去)所以橢圓方程為x2[]4+y2[]3=1。
(2)由結(jié)論四可知,直線EF的斜率為定值且斜率kEF=b2m[]a2n=3[]4×2[]3=1[]2
從上述性質(zhì)中可以發(fā)現(xiàn),橢圓中的定值與橢圓的長軸和短軸有很密切的關(guān)系。本性質(zhì)提出的是一般規(guī)律,但其證明過程較為繁瑣,不易運(yùn)用,在考試中可以以特例的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的探究能力。
參考文獻(xiàn):
[1]葉良志,盧瓊圓錐曲線兩兩垂直焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì).中學(xué)數(shù)學(xué).高中版.2012.3.
[2]五年高考三年模擬.首都師范大學(xué)出版社.2011版.高考理數(shù).橢圓的性質(zhì).