單洪雪
〔摘要〕以小學(xué)六年級數(shù)困生和數(shù)優(yōu)生各20名為被試,對其在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題中所犯的錯誤進行比較分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn):(1)測題類型上,六年級學(xué)生在常規(guī)應(yīng)用題上表現(xiàn)出“高限效應(yīng)”,非常規(guī)試題訓(xùn)練對于數(shù)困生尤為重要;(2)變化題要防范“審題”和“元認知”等錯誤,合并題要預(yù)防“目標(biāo)監(jiān)控”和“知識”錯誤,比較題主要提高認知策略和元認知策略;(3)針對全體學(xué)生,特別是數(shù)困生,需要全面加強概化思維和具體化思維訓(xùn)練、“不一致比較”題目訓(xùn)練和元認知能力培養(yǎng)。
〔關(guān)鍵詞〕小學(xué);六年級;應(yīng)用題;解題錯誤;數(shù)困生;數(shù)優(yōu)生
〔中圖分類號〕G44 〔文獻標(biāo)識碼〕A 〔文章編號〕1671-2684(2016)06-0012-06
一、問題提出
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良(MD)是學(xué)齡兒童中較為普遍的學(xué)習(xí)不良類型。美國一項大規(guī)模研究發(fā)現(xiàn):約有6%的小學(xué)生和初中生被診斷為MD,另外約有5%的兒童被診斷為有閱讀困難(RD)[1]。在另一項研究中,美國的教師報告:在他們的學(xué)生里,有26%的學(xué)生由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難而接受特殊教育[2]。雖然數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難對學(xué)生來說是普遍的,但是,在學(xué)習(xí)困難研究領(lǐng)域,與閱讀困難研究相比較,關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的研究是較少的[3]。
應(yīng)用題學(xué)習(xí)在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位,它是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點和難點。許多研究表明,大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生都表現(xiàn)為在解應(yīng)用題上有困難,而且這一問題隨著年級的升高會越來越嚴重[4]。
近一二十年來,國外相關(guān)領(lǐng)域的研究興趣逐漸轉(zhuǎn)向?qū)τ袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的認知分析和教育干預(yù),其中尤以研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生問題解決過程為這個領(lǐng)域的熱門話題。原因是它可以幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難兒童更好地完成學(xué)校教育的任務(wù),而且有助于更深入地揭示學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問題的過程,對認知心理學(xué)和教育心理學(xué)的發(fā)展都有促進作用。
綜合關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題影響因素的研究成果,可以總結(jié)出如下一些結(jié)論:當(dāng)應(yīng)用題中包含了一些額外的信息或者出現(xiàn)了語句陳述不一致的條件時,學(xué)生的解題表現(xiàn)就會較差;數(shù)學(xué)解題圖式的形成和發(fā)展直接影響學(xué)生對問題類型的識別和問題的正確表征;元認知因素則貫穿學(xué)生解應(yīng)用題的全過程,影響學(xué)生的解題行為[5-8]。
但另一方面,我們也可以看到,目前國內(nèi)應(yīng)用題解決的研究主體主要包括心理學(xué)科研人員和教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師。心理學(xué)科研人員關(guān)注的領(lǐng)域比較有限和微觀,而教師的科研報告往往比較宏觀和經(jīng)驗化,二者存在脫節(jié)。因此,本研究擬通過現(xiàn)場實驗,采用目前已被證明比較有效的錯誤類型分析方法,比較數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的共性和差異,從而得出既有科學(xué)的理論基礎(chǔ)又直接指向?qū)嵺`的結(jié)論。
在課題組的前期研究中發(fā)現(xiàn),在面對不同的試題類型、題目類型和難度附加條件時,四年級和五年級的數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生既表現(xiàn)出了階段性特點,又表現(xiàn)出連續(xù)性特點。因此,本研究擬以六年級學(xué)生為研究對象,繼續(xù)探究進一步的規(guī)律。
本研究的基本設(shè)計為:2(學(xué)生類別:數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生)*2(試卷類型:常規(guī)試題、非常規(guī)試題)*3(題目類型:變化題、合并題、比較題)。非常規(guī)試題中包含四種難度類型(隱蔽條件、概化思維、具體化思維、不一致比較)。學(xué)生類型和試卷類型為被試間設(shè)計,題目類型為被試內(nèi)設(shè)計,難度類型為不完全被試內(nèi)設(shè)計。最后測量的因變量為所分錯誤的類型和數(shù)量。通過分析數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生在不同試卷類型、不同題目類型和不同難度類型之下的錯誤類型和數(shù)量差異,探討小學(xué)六年級學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題錯誤的特點和影響因素等。
二、研究過程
(一)被試的選擇
在某小學(xué)六年級隨機選取由同一數(shù)學(xué)教師任教的兩個自然班作為實驗班。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的操作定義:學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績比根據(jù)其智力潛能達到的水平顯著落后,而且他們可能同時在學(xué)習(xí)、品德和社會性上存在問題。這樣,本研究選擇數(shù)困生的標(biāo)準為:(1)本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試的平均成績居全班后20%;(2)讓科任教師根據(jù)MD的操作定義和特點,對學(xué)生作出綜合評價,指出班內(nèi)哪些學(xué)生屬于MD;(3)滿足兩條排除性標(biāo)準:排除智力落后(IQ<70)和智力超常(IQ>130);排除明顯軀體或精神疾病。于是,在兩個班中各挑出10名數(shù)困生(人數(shù):男,10;女,10)。同時,相應(yīng)選出了各10名數(shù)優(yōu)生(人數(shù):男,11;女,9)。共得到被試40人。
(二)研究材料和工具
1.智力量表
采用張厚粲等人修訂的《瑞文標(biāo)準推理測驗》(Ravcns Standard Progressive Matrices)。該量表經(jīng)國內(nèi)多次使用,已被證明有較高的信度和效度。
2.數(shù)學(xué)成績
采用被試本學(xué)期三次重要考試的數(shù)學(xué)成績的平均分為學(xué)生類別的劃分指標(biāo)。
3.應(yīng)用題測驗
在小學(xué)階段,學(xué)生接觸到的算術(shù)應(yīng)用題主要分為變化題、合并題和比較題三種類型。據(jù)此,自編小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題兩套(A卷和B卷),經(jīng)小學(xué)六年級的數(shù)學(xué)教師共同討論和小規(guī)模試測,刪除了過難的題目和沒有學(xué)到的內(nèi)容,并對題目的文字表述進行了較大修改,最后每套各保留了10道相對應(yīng)的題目。其中1、2、4是變化題,3、6、8是合并題,5、7、9、10是比較題。
A卷是常規(guī)類型題,即問題表述與教材和平時練習(xí)題目相同。B卷的題目在題目內(nèi)容、基本數(shù)量關(guān)系和計算難度上與A卷保持一致,但題干表述與常規(guī)類型題目不同,這無疑增加了題目的難度。具體而言,與A卷的相應(yīng)題目相比,在B卷的10道題當(dāng)中,1、8題包含了隱蔽條件,2、6題增加了對概化思維能力的考查,3、4題增加了對具體化思維的考查,5、7、9、10是比較類應(yīng)用題中的不一致型問題。隱蔽條件是指對題目中的數(shù)量關(guān)系不以直接的形式呈現(xiàn),如7天以“一周”這個詞來代替。概化思維意在考查學(xué)生是否形成了整體概念,如在第二題(同學(xué)們?nèi)ス珗@劃船,三年級比四年級少去18人,少租了3條船。問平均每條船坐幾人?)中,如果學(xué)生說由于不知道三年級和四年級各自有多少人,無法解答此題,則意味著學(xué)生沒有把這兩個班級作為一個整體來看,沒有充分理解題意。具體化思維是考查學(xué)生在解決實際問題上的能力。根據(jù)文字表達和數(shù)量關(guān)系是否一致可將比較問題分為兩類:一致問題和不一致問題。一致問題即問題中的關(guān)鍵詞與正確的解決計劃相一致,比如:小明有5個蘋果,小強比小明多1個蘋果,小強有幾個?關(guān)鍵詞是“多”,而正確的解法也是加法;不一致問題即問題中的關(guān)鍵詞與正確的解題計劃不一致,比如:小明有5個蘋果,他比小強多1個蘋果,小強有幾個?關(guān)鍵詞是“多”,正確的解法卻是減法。這與小學(xué)生的語意理解能力有關(guān)聯(lián)。一致題與學(xué)生思維習(xí)慣和平時練習(xí)相同,不一致題對小學(xué)生而言則增加了解題的難度。
在每一道應(yīng)用題下面有五個小問題,分別是:(1)你認為已知條件充分嗎?給出了三個備選答案:剛好充足、缺少條件、充足但有多余條件。(2)你認為解這道題的關(guān)鍵是什么?(3)列式計算。(4)列豎式、畫圖、演算等的區(qū)域(專門預(yù)留了一定的空間)。(5)如果你不會也沒有關(guān)系,告訴我們原因是什么?這五個問題擬從學(xué)生的審題、找到解題關(guān)鍵、列式和結(jié)果的計算等方面考查小學(xué)生的解題過程。同時,要求做題過程中寫出盡量詳盡的步驟報告,包括所有演算、推理過程。解題前后的問題設(shè)置都是為了在大樣本的測驗中盡可能地外化解題的思維過程。
正式施測前的小規(guī)模預(yù)測表明兩套題目都具有較好的區(qū)分度。
(三)研究程序
1.自編數(shù)學(xué)應(yīng)用題測驗的施測
兩個班同時進行測驗,隨機選取一個班施測A卷,另一個班施測B卷。每個學(xué)生一份測試題,獨立完成,時間為50分鐘。指導(dǎo)語中強調(diào)不是考試,是為了消除學(xué)生的緊張感,以利于更好地解題。正式計時前先由主試以一道應(yīng)用題的解答為例詳細講解做題要求和基本步驟。測驗時,每班都有一名主試(心理學(xué)專業(yè)的碩士研究生)和本班的班主任在場維持秩序,以保證測驗的順利進行。
測驗后根據(jù)每道題目中五個小問題的回答情況統(tǒng)計所犯錯誤的類型和各類型錯誤的數(shù)量。
2.以自然班為單位進行瑞文智力測驗
同時,查閱學(xué)生成績檔案,選取被試本學(xué)期三次重要數(shù)學(xué)考試成績,以平均分作為學(xué)生數(shù)學(xué)能力的標(biāo)準;訪談每個班的數(shù)學(xué)科任教師,請他們根據(jù)MD的操作定義確定數(shù)困生,并了解學(xué)生的基本情況;根據(jù)同樣選擇標(biāo)準確定數(shù)優(yōu)生。
以自然班為單位全體施測是為了營造自然氛圍,避免單獨抽出數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生帶來的實驗效應(yīng)。智力測驗和數(shù)困生、數(shù)優(yōu)生的選擇最后進行,并要求該班數(shù)學(xué)教師回避測驗整個過程等,避免實驗者效應(yīng)和教師期望效應(yīng)。
(四)數(shù)據(jù)處理
用SPSS19.0統(tǒng)計軟件包對收集的數(shù)據(jù)進行處理和分析。
三、結(jié)果與分析
(一)錯誤類型統(tǒng)計
在本研究中,小學(xué)生解決應(yīng)用題所犯的錯誤可總結(jié)為七種類型:第一類是審題錯誤,指將條件充足的題目錯誤地判斷為條件缺乏或條件多余,從而沒有作答;第二類是轉(zhuǎn)換錯誤,指由于對第一步表示關(guān)系的運算產(chǎn)生了錯誤的表征,因而運算用了相反的運算(即應(yīng)該用加法時用了減法,應(yīng)用減法時用了加法,應(yīng)用乘法時用了除法,應(yīng)用除法時用了乘法);第三類是目標(biāo)監(jiān)控錯誤,指錯誤理解題目要求、只算了一步或只用了一個條件;第四類是計算錯誤;第五類是知識錯誤,指學(xué)生把不相關(guān)的數(shù)字進行運算;第六類上數(shù)字抄寫錯誤,屬于粗心或馬虎;第七類是什么也沒有作答的,原因比較復(fù)雜,可能是難度過大,根本不會無法下手,也可能是時間分配不合理沒能做完。也就是說,“沒做”的錯誤應(yīng)該反映的是認知策略搜尋和元認知策略的缺失。
這七類錯誤除“沒做”反映整體應(yīng)用題解題能力最低外,其余六類按照其對未能完成題目的嚴重程度從高到低的大致順序為:審題錯誤、轉(zhuǎn)換錯誤、知識錯誤、目標(biāo)監(jiān)控錯誤、計算錯誤、數(shù)字抄寫錯誤。越排在前面的錯誤越反映出學(xué)生對題目的理解越差,對題目的把握越表淺。
(二)數(shù)優(yōu)生和數(shù)困生的錯誤分析
從兩類學(xué)生在常規(guī)試題(A卷)上所犯錯誤的總數(shù)來看,相對前期研究的四、五年級而言,六年級數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯誤都非常少,甚至出現(xiàn)了在較簡單的題型上數(shù)優(yōu)生的錯誤數(shù)略微高于數(shù)困生的情況。這表明,對于六年級的學(xué)生而言,A卷已非常簡單,數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生都能較好地完成,數(shù)優(yōu)生甚至出現(xiàn)了馬虎、輕視的情況。
較少的錯誤中,在變化題和合并題上主要犯目標(biāo)監(jiān)控錯誤,在比較題上主要為沒做和犯計算錯誤。
從兩類學(xué)生在非常規(guī)試題(B卷)上所犯錯誤的總數(shù)來看,數(shù)困生的錯誤非常顯著地多于數(shù)優(yōu)生,統(tǒng)計檢驗的結(jié)果分別為χ2(1)=14.7275,p=0.000,χ2(1)=6.429,p=0.011和χ2(1)=9.000,p=0.003。
在三類題型上的卡方檢驗結(jié)果表明,學(xué)生類別與錯誤類型的關(guān)聯(lián)均不顯著。變化題:χ2(4)=5.194,p=0.268;合并題:χ2(3)=2.910,p=0.406;比較題:χ2(5)=7.143,p=0.210。這表明,對于B卷而言,六年級不同類別學(xué)生的錯誤的特點沒有顯著性差異。
題目類型與錯誤類型的卡方檢驗結(jié)果表明,χ2(10)=44.201,p=0.000,二者有非常顯著的關(guān)聯(lián),即學(xué)生在不同類型題目上所犯錯誤的特點有顯著不同。
結(jié)合具體數(shù)據(jù)可以看出,在變化題上主要是犯審題錯誤和沒做,在合并題上犯目標(biāo)監(jiān)控和知識錯誤較多,而在比較題上沒做和知識錯誤占了相當(dāng)?shù)谋壤?/p>
從所犯錯誤的總數(shù)來看,與前期研究中五年級在同樣試題中的表現(xiàn)相比,數(shù)優(yōu)生所犯錯誤的數(shù)量有明顯下降,但數(shù)困生只是總體略有下降。
對數(shù)優(yōu)生而言,附加條件類型與錯誤類型關(guān)聯(lián)非常顯著(χ2(12)=42.689,p=0.000)。主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識”錯誤,“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控”錯誤,“不一致比較”題上的“沒做”,不過數(shù)量較小。
對數(shù)困生而言,附加條件類型與錯誤類型也存在非常顯著的關(guān)聯(lián)(χ2(15)=51.334,p=0.000)。除在“概化思維”上犯“審題”錯誤較多外,其他條件下的特點與本年級數(shù)優(yōu)生相同。
四、討論
針對六年級數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生在應(yīng)用題解決過程中可能存在的試題適應(yīng)性、難度適應(yīng)性和錯誤類型的共同特點和差異情況等進行了詳盡分析,主要是為了通過對數(shù)優(yōu)生與數(shù)困生的比較,發(fā)現(xiàn)六年級學(xué)生應(yīng)用題解題能力的總體特點,為該年級階段小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué),特別是為數(shù)困生的補救訓(xùn)練提供參考。
第一,從A、B兩卷的錯誤總數(shù)看,在常規(guī)試題上,六年級數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生的錯誤都非常少,錯誤數(shù)不相上下,表現(xiàn)出了“高限效應(yīng)”,試題沒有了良好的區(qū)分度。在非常規(guī)試題上,數(shù)困生的錯誤顯著地多于數(shù)優(yōu)生??梢?,到了六年級,數(shù)優(yōu)生、數(shù)困生的差距主要體現(xiàn)在非常規(guī)試題上。也就是說,如果說常規(guī)題目可以通過思維成熟、年級升高和不斷重復(fù)接觸而自然提高的話,那么包含附加條件的非常規(guī)題目訓(xùn)練對于六年級數(shù)困生還是必須加強的。
第二,從不同題型看,在A卷中,數(shù)困生與數(shù)優(yōu)生在變化題和合并題上主要犯“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”,在比較題上主要犯“計算錯誤”和“沒做”。一方面表明,六年級學(xué)生已全面掌握三種題型的常規(guī)解答;另一方面表明,目標(biāo)監(jiān)控、時間分配的元認知失誤和能力欠缺依然存在。
在B卷上,六年級兩類學(xué)生錯誤的特點一致,表現(xiàn)為變化題上主要是犯“審題錯誤”和“沒做”,在合并題上犯“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”和“知識錯誤”較多,而在比較題上“沒做”和“知識錯誤”占了相當(dāng)?shù)谋壤?。這一特點與前期研究中的五年級非常相似,但六年級“沒做”的比例較高,顯示了時間分配的不足和解題能力,特別是解比較題能力上的欠缺。
第三,從不同的附加條件看,與前期研究中的五年級相比,六年級數(shù)優(yōu)生所犯錯誤的數(shù)量有明顯下降,但數(shù)困生只是總體略有下降。這進一步驗證了關(guān)鍵時期的推測,可以看出五年級沒有得到很好訓(xùn)練的數(shù)困生在升入六年級后依然不會有太大提高。
對六年級數(shù)優(yōu)生而言,主要體現(xiàn)為“隱蔽條件”下的“知識錯誤”,“具體化思維”上的“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”,“不一致比較”題上的“沒做”,不過數(shù)量較小。對數(shù)困生而言,除在“概化思維”上犯“審題錯誤”較多外,其他條件下的特點與同年級數(shù)優(yōu)生相同。可見,在相應(yīng)題型的主要錯誤類型上,六年級學(xué)生基本是一致的,只是數(shù)困生依然沒有很好地解決概化思維的問題。
五、結(jié)論
第一,測題類型上,六年級學(xué)生在常規(guī)應(yīng)用題上表現(xiàn)出“高限效應(yīng)”,非常規(guī)試題訓(xùn)練對于數(shù)困生尤為重要。
第二,題目類型上,常規(guī)試題中面對三種題型的目標(biāo)監(jiān)控和元認知能力需要加強;而非常規(guī)試題中對于變化類應(yīng)用題要防范“審題錯誤”和“元認知策略缺失”等,合并類應(yīng)用題要加強“目標(biāo)監(jiān)控錯誤”和“知識錯誤”的預(yù)防,比較題主要在于重視認知策略和元認知策略的提高問題。
第三,從思維能力訓(xùn)練上,六年級之前是相關(guān)訓(xùn)練的關(guān)鍵時期。針對全體學(xué)生,特別是數(shù)困生需要全面加強概化思維和具體化思維訓(xùn)練、“不一致比較”題目訓(xùn)練和元認知能力培養(yǎng)。
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(作者單位:北京教育學(xué)院朝陽分院,北京,100026)
編輯/王抒文 終校/于 洪