劉思武

【摘要】 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)經(jīng)常涉及，有著廣泛的應(yīng)用，其具有很強(qiáng)的綜合性、邏輯性、探索性，分類討論思想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想、解決問題的工具，對(duì)學(xué)生能力的考查也有很高的要求，導(dǎo)致學(xué)生在解答分類討論題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)“不會(huì)或者不全”，原因主要是學(xué)生不知道為何分類討論，怎么做.筆者根據(jù)自己平時(shí)的教學(xué)，談?wù)勅绾巫寣W(xué)生更好掌握分類討論思想.

【關(guān)鍵詞】 分類討論思想；分類討論；概念

一、學(xué)生的分類之“殤”

學(xué)生常見錯(cuò)誤

學(xué)生在分類討論思想應(yīng)用上常見的錯(cuò)誤大致有這幾類：

（一）分析問題時(shí)分類討論思想的意識(shí)不強(qiáng)

一個(gè)問題基本涵蓋條件和結(jié)論，分類討論終究是條件的不確定，導(dǎo)致正確結(jié)論無法得出，

這時(shí)就需要分類討論，確定條件.例如：一個(gè)等腰△ABC中∠A = 80°，那么這個(gè)三角形中∠B是多少度？這是一道初中與等腰三角形有關(guān)的常見的題型，但是此題不見得所有學(xué)生都能解答出全部情況.部分學(xué)生認(rèn)為∠A是頂角，所以理所當(dāng)然得出∠B是底角，從而得出其度數(shù)為50°.

（二）分類討論的原則不清

在上面的題中∠A是底角還是頂角呢？∠A的屬性不清，這時(shí)需要對(duì)∠A進(jìn)行討論.當(dāng)∠A是頂角時(shí)，∠B只能是底角，從而得出∠B = 50°.當(dāng)∠A是底角時(shí)，此時(shí)部分學(xué)生會(huì)理所當(dāng)然的想到∠B是頂角，但是還沒有對(duì)∠B進(jìn)行討論，就會(huì)遺漏其他情況.

（三）審題不清，主觀臆斷

已知函數(shù)（為常數(shù)）與軸有公共點(diǎn)，求的取值范圍.此題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的概念，學(xué)生審題不清，單從形式上認(rèn)為本題的函數(shù)是二次函數(shù)，給出這一題的解很多是根據(jù)判別式從而得出的范圍.

二、分類討論思想

（一）到底是什么

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想.

（二）數(shù)學(xué)課本中常見分類討論思想

初中數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)較多見到分類討論思想的應(yīng)用，如有理數(shù)這一章的學(xué)習(xí)，都反復(fù)出現(xiàn)分類的“身影”.有理數(shù)比較大小，可以分為正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和0、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和0，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)這幾類來進(jìn)行，絕對(duì)值的學(xué)習(xí)等.七年級(jí)作為初中的起始就出現(xiàn)了分類討論，后面更是頻頻出現(xiàn)其“身影”， 可見分類討論思想在知識(shí)體系中的重要地位.蘇科版八年級(jí)上第一章《全等三角形》探究全等三角形的條件時(shí)也涉及了分類討論的思想，教師在講授時(shí)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分別探究一對(duì)元素、兩對(duì)元素、三對(duì)元素時(shí)三角形是否全等，同時(shí)還需要對(duì)每種情況再進(jìn)行分類討論，最后總結(jié)得出正確結(jié)論；蘇科版九年級(jí)上第二章《圓》，在探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系；函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的討論，也是分類討論思想的較好體現(xiàn).

（三）教師之任

由于在現(xiàn)行教材的知識(shí)體系當(dāng)中，并沒有專門的章節(jié)介紹分類討論的數(shù)學(xué)思想，但它卻貫穿于整個(gè)知識(shí)體系的始終，主要靠教師在傳授知識(shí)的過程中逐步滲透這一數(shù)學(xué)思想.

而小結(jié)課、復(fù)習(xí)課是系統(tǒng)知識(shí)、深化知識(shí)的最佳課型，也是滲透分類思想、學(xué)會(huì)分類方法的最佳時(shí)機(jī).應(yīng)盡可能的將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)整理、分類歸納.另外，還可設(shè)計(jì)一些含有分類討論思想的習(xí)題和練習(xí).

三、揭開面紗

（一）深入了解，其實(shí)不難

分類討論思想是按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類討論的方法，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)，對(duì)于加深基礎(chǔ)知識(shí)的理解.提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的.正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏.

明確分類討論的動(dòng)因與討論的方法，分類時(shí)要條理分明，做到分類討論既不重復(fù)也無遺漏，這是解答初中數(shù)學(xué)中分類討論問題的基本方法.在解題時(shí)，要抓住分類討論的動(dòng)因，明確分類討論的方法.運(yùn)用分類討論方法解題的關(guān)鍵就是思辨清楚討論的動(dòng)因與討論的方法，就是為什么要討論？怎樣討論？思路清了，解題的框架確定了，解題就嚴(yán)密完整、敘述就條理分明.

（二）常見形式

分類討論問題是創(chuàng)新性問題之一，此類題綜合性強(qiáng)，難題較大，在歷年中考試題中多以壓軸題出現(xiàn)，對(duì)考生的能力要求較高，具有很強(qiáng)的選拔性.綜合中考的復(fù)習(xí)規(guī)律，分類討論的知識(shí)點(diǎn)常有三大類：

1. 代數(shù)類：代數(shù)有絕對(duì)值、方程及根的定義，函數(shù)的定義以及點(diǎn)（坐標(biāo)未給定）所在象限或者二次函數(shù)的取值范圍等.

2. 幾何類：幾何有各種圖形的位置關(guān)系，未明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對(duì)應(yīng)情況等.

3. 綜合類：代數(shù)與幾何類分類情況的綜合運(yùn)用.

在初中數(shù)學(xué)中，有關(guān)涉及分類討論思想的問題很多，題目也比較繁雜.這類問題有沒有一種共性？解此類題目有沒有一種切實(shí)可行的方法？實(shí)際上，初中數(shù)學(xué)中涉及分類討論的問題大多是對(duì)數(shù)學(xué)概念本身的深入了解和再次挖掘，只要學(xué)生了解到這一點(diǎn)，分類討論問題并不怎么神秘.

【參考文獻(xiàn)】

錢榮妹.從等腰三角形壓軸問題管窺分類討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)初中版，2014.5.