李旭春

摘要：“曹沖稱象”的故事相信同學(xué)們都熟悉，其實(shí)他用的方法反映在數(shù)學(xué)中就是化歸轉(zhuǎn)化思想。面對(duì)千變?nèi)f化的中考新題型，許多同學(xué)在感到思維受阻時(shí)，若能像“曹沖稱象”一樣，運(yùn)用思維轉(zhuǎn)化策略，換一個(gè)角度去思考問(wèn)題，常能打破僵局。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；轉(zhuǎn)化；聯(lián)系

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）03-0033

數(shù)學(xué)思維本質(zhì)上是辯證思維。思維方法能否靈活轉(zhuǎn)化，將直接影響到數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)滲透科學(xué)的認(rèn)識(shí)論與方法論。在本文中，筆者就數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化策略作一探討。

—、普遍聯(lián)系與轉(zhuǎn)化策略

我們知道，數(shù)學(xué)定義、公理、公式、法則之間相互依賴、相互制約。數(shù)學(xué)思想方法中的字母代數(shù)、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、方程與函數(shù)等揭示了事物間聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的特征。數(shù)學(xué)解題往往是多種方法的綜合應(yīng)用。例如：“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)k取何值時(shí)，函數(shù)y=2x2-kx+3的圖像總在x軸的上方?！蔽覀兛梢詫?wèn)題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式、方程和不等式問(wèn)題。多項(xiàng)式問(wèn)題：“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)k取何值時(shí)，二次三項(xiàng)式2x2-kx+3的值總是正的?！狈匠虇?wèn)題：“k取何值時(shí)，方程2x2-kx+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根?！辈坏仁絾?wèn)題：“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)k取何值時(shí)，不等式2x2-kx+3>0?！?/p>

聯(lián)系不只是形式的、外在的。我們要揭示隱含在事物內(nèi)部的聯(lián)系，就必須對(duì)問(wèn)題有更深刻的理解和更全面的分析。因此，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題的深度和廣度，從而從更高層次上把握知識(shí)的內(nèi)涵，使其融會(huì)貫通、舉一反三。例如平面圖形的面積公式分散在許多章節(jié)。如果用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)事實(shí)聯(lián)系起來(lái)，便可找到其相互的聯(lián)系。如教學(xué)梯形面積公式s=1/2（a+b）h，當(dāng)梯形的底退縮為一點(diǎn)便得到三角形面積公式s=1/2ah。當(dāng)梯形兩腰變?yōu)槠叫袝r(shí)就得到平行四邊形面積公式s=ah；當(dāng)?shù)淄丝s為一點(diǎn)，另一底演化成圓弧時(shí)就得到扇形面公式s=1/2LR。

二、生疏問(wèn)題向熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種重要的思維方法，轉(zhuǎn)化思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要的基本思想，不少數(shù)學(xué)思想都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。就解題的本質(zhì)而言，解題即意味著轉(zhuǎn)化，即把生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題，把高次問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低次問(wèn)題；把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，把一個(gè)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本問(wèn)題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等，因此學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想、方法無(wú)處不在，它是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的有效途徑，它既包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換，又包含了心理達(dá)標(biāo)的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)化的目的是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和最終解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中，很多問(wèn)題能化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，化部分為整體，化一般為特殊……

生疏問(wèn)題向熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化是解題中常用的思考方法。解題能力實(shí)際上是一種創(chuàng)造性的思維能力，而這種能力的關(guān)鍵是能否細(xì)心觀察，運(yùn)用過(guò)去所學(xué)的知識(shí)，將生疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題。因此，教師應(yīng)深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度利用學(xué)過(guò)知識(shí)，加工到使學(xué)生通過(guò)努力能夠接受的水平上來(lái)，縮小接觸新內(nèi)容時(shí)的陌生度，避免因研究對(duì)象的變化而產(chǎn)生的心理障礙，這樣做可得到事半功倍的效果。

三、對(duì)立統(tǒng)一與轉(zhuǎn)化策略

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的最根本規(guī)律。矛盾的雙方共處于一個(gè)統(tǒng)一體中，在一定條件下向正反兩方向轉(zhuǎn)化。如，一般與特殊的轉(zhuǎn)化，正向與逆向的轉(zhuǎn)化，相等與不等的轉(zhuǎn)化等。恰如其分地運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一、矛盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，就能夠?qū)崿F(xiàn)由生到熟、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單、新舊知識(shí)間的轉(zhuǎn)化。

如在講授三角形內(nèi)角和定理時(shí)，為了使學(xué)生形成正確的猜想和探索一般化的證明方法，不妨進(jìn)行如下的思維實(shí)驗(yàn)：如圖：對(duì)于△ABC，設(shè)想，B、C不動(dòng)，把A沿BA方向拉向無(wú)窮遠(yuǎn)。結(jié)果形成AnC//AnB的局面。這時(shí)，∠BAnC變?yōu)?，∠ABC與∠ACB變?yōu)橥詢?nèi)角。在這個(gè)特殊的△ABC中，其內(nèi)角和為180°。這一過(guò)程實(shí)現(xiàn)了在特殊情形中提出猜測(cè)△ABC的內(nèi)角和恰為180°。同時(shí)，這一過(guò)程實(shí)現(xiàn)了在特殊情形中提出猜想以達(dá)到對(duì)一般性的、必然性的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)中存在著大量的能夠逆向思維的客觀基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)中的定義、公式、法則、等價(jià)關(guān)系都有雙向性，都是可逆的。就數(shù)學(xué)方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹，其思維方向也是可逆的。作為解題策略，當(dāng)正向思維有困難時(shí)可逆向思維，直接證明受阻時(shí)可間接證明，探討可能性失敗時(shí)，轉(zhuǎn)向考查不可能性。數(shù)學(xué)中逆向轉(zhuǎn)化策略主要表現(xiàn)為反序與否定。如“設(shè)a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，”試問(wèn)，滿足什么條件時(shí)，三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不同的實(shí)數(shù)根，此題從正面考慮比較復(fù)雜。但從問(wèn)題的反面考慮情況十分簡(jiǎn)單，只有一種可能：“即三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，”然后從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根的a、b、c的取值即可，這就從問(wèn)題的反面找到了突破口。

四、培養(yǎng)創(chuàng)新精神，將思維轉(zhuǎn)化進(jìn)一步深化

學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有創(chuàng)造性。這里的創(chuàng)新是指對(duì)思維主體來(lái)說(shuō)是新穎獨(dú)到的思維活動(dòng)，即只要思維的結(jié)果具有創(chuàng)新性質(zhì)，則它的思維過(guò)程就是創(chuàng)造性思維。它包括發(fā)現(xiàn)新事物、提出新見(jiàn)解、揭示新規(guī)律、創(chuàng)造新方法、建立新理論、解決新問(wèn)題等思維過(guò)程。

創(chuàng)造性思維的實(shí)質(zhì)就是合理地、協(xié)調(diào)地運(yùn)用邏輯思維、形象思維以及直覺(jué)思維等多種思維方式，使有關(guān)信息合理化和可利用，以產(chǎn)生積極的效果或成果。它具有新穎獨(dú)特、突破常規(guī)和靈活變通等特征。

創(chuàng)造性思維是人類高層次的思維活動(dòng)，它的產(chǎn)生是多因素、多變量、多層次交互作用促成的。數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，其關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)生機(jī)制。培養(yǎng)過(guò)程中首要的便是觀念的創(chuàng)新。教師要用創(chuàng)新精神去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維。也就是說(shuō)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維要靠有創(chuàng)新精神的教師去培養(yǎng)。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，用辯證統(tǒng)一的關(guān)系來(lái)揭示事物的本質(zhì)，不僅可以拓寬思路、活躍思維，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神。

（作者單位：貴州省遵義縣茍江鎮(zhèn)中學(xué) 563100）