于萍

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將“運算能力”作為十大核心概念提出，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于計算教學(xué)的新討論。基于兒童數(shù)學(xué)教育視角下的“運算能力”培養(yǎng)，就是要將兒童的全面且富有個性的發(fā)展作為目標(biāo)，遵循兒童的認(rèn)知與發(fā)展規(guī)律落實能力培養(yǎng)。通過以小數(shù)的四則運算教學(xué)為例，提出發(fā)展兒童運算能力首先要調(diào)動經(jīng)驗，幫助其“找感覺”，然后借助直觀“找方法”，最后溝通聯(lián)系，促進(jìn)兒童有所提升。這樣基于兒童的運算教學(xué)目標(biāo)，才能有效得以實現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】兒童數(shù)學(xué) 運算能力 小數(shù)運算

“運算能力”是針對計算教學(xué)提出的。以前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)非常注重“雙基”，其中關(guān)于計算的“基本技能”就是很重要的內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求從“雙基”變?yōu)椤八幕?，這對計算教學(xué)也提出了新要求。從“計算技能”的教學(xué)到“運算能力”的培養(yǎng)，需要教師從理念到實踐都有所改變。在小學(xué)階段，運算教學(xué)所涉及的內(nèi)容非常豐富，主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運算，本文僅以“小數(shù)運算”的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為例進(jìn)行闡述。

一、基于兒童的運算教學(xué)目標(biāo)分析

在我國近百年來的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計算一直是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展與改革，計算教學(xué)的內(nèi)容有增減過，熟練程度的要求也在不斷變化。從1978年起提出刪減“過繁計算”，2001年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》提出 “應(yīng)重視口算，加強(qiáng)估算，提倡（鼓勵）算法多樣化”，并強(qiáng)調(diào)“避免將運算與應(yīng)用割裂開來”。十年后，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》增加了核心概念“運算能力”，主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力，培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。無疑地，基本運算以其實用價值性和基礎(chǔ)價值性，使其始終成為非常重要的教學(xué)內(nèi)容。然而對運算教育價值的不同詮釋也帶來了不同時期對運算教學(xué)的目標(biāo)要求。

很顯然，“運算能力”的提出更強(qiáng)調(diào)學(xué)生要在學(xué)習(xí)運算的過程中經(jīng)歷理解算理、探尋算法的過程，因為只有學(xué)生真正理解了，才可能達(dá)到以合理、簡潔的運算解決問題的目標(biāo)。教師對運算教學(xué)的設(shè)計應(yīng)充分考慮兒童的認(rèn)知經(jīng)驗和學(xué)習(xí)需求，不以技能的掌握作為唯一目標(biāo)，而是既要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握運算方法，形成技能，更要在感受算理、建立聯(lián)系的過程中發(fā)展思維，提升能力，幫助學(xué)生收獲快樂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗。教師還應(yīng)注意在運算速度以及正確率方面準(zhǔn)確把握要求，不能過高或過低地要求學(xué)生，也不要以結(jié)果性指標(biāo)過早地在教學(xué)過程中用來監(jiān)控所有學(xué)生。

二、基于兒童的運算能力發(fā)展策略

基于對兒童數(shù)學(xué)教育的實踐研究，圍繞兒童學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、需求和認(rèn)知規(guī)律提出以下幾方面發(fā)展學(xué)生運算能力的教學(xué)策略。

（一）調(diào)動經(jīng)驗：幫助兒童“有感覺”

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是與生活緊密聯(lián)系的，基于生活經(jīng)驗的學(xué)習(xí)是更利于學(xué)生理解和接受的。因此那些來自生活的問題或?qū)嵗粌H有利于學(xué)生感受運算的價值，更有助于學(xué)生深入地分析和理解運算本身。

1.“舉例子”帶來的豁然開朗。

在計算教學(xué)中，對算法的探尋和對算理的解析是教學(xué)重點，常常也是教學(xué)的難點所在。教師可以用“舉例子”的方法引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動已有的認(rèn)知經(jīng)驗，進(jìn)而理解新知識。例如，在“小數(shù)加減法”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生自主編題，于是出現(xiàn)了“0.8+3.74=”，對此題的分析是揭示“小數(shù)點對齊”這一算法的好時機(jī)。但為了讓學(xué)生有機(jī)會調(diào)動已有的整數(shù)加減法的認(rèn)知經(jīng)驗，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，教師先讓每個學(xué)生自己試做，并說明自己這樣做的道理。

師：你們以前做過很多加減法題，無一例外的都是把末位的兩個數(shù)字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？

生：整數(shù)的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數(shù)的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。把小數(shù)點對齊，也就是相同數(shù)位對齊。如果不把小數(shù)點對齊，而把末位對齊的話，十分位的8就和百分位的4對齊了，相加之后肯定就不對了。舉個例子說吧，比如買兩樣?xùn)|西，一個是0.8元，另一個是3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不對了。即便得到12，既不是12角，也不是12分。

教師應(yīng)充分肯定學(xué)生“舉例子”的好方法，雖然是簡單的方法，但卻揭示了深奧的道理，讓大家豁然開朗?？此坪驼麛?shù)加減法不太一樣的“小數(shù)點對齊”其實和“末位對齊”一樣，都是為了確?！跋嗤瑪?shù)位對齊”，而相同數(shù)位對齊背后的道理就是“相同計數(shù)單位的個數(shù)直接相加減”。對算理的深入分析有助于學(xué)生更牢固地掌握算法，并為在多種算法間建立聯(lián)系奠定基礎(chǔ)。

2.“估一估”引發(fā)的反思調(diào)整。

許多教師在教學(xué)中都會感到，學(xué)生在進(jìn)行小數(shù)運算時錯例會明顯增加，有時是失之毫厘，有時卻是差之千里。而學(xué)生面對這些錯例常常是“毫不察覺”，究其原因，一方面是因為小數(shù)比整數(shù)更復(fù)雜，學(xué)生對小數(shù)運算更不容易“有準(zhǔn)確的感覺”，小數(shù)乘、除法更為顯著；另一方面是學(xué)生對小數(shù)運算的意義理解不深入，對結(jié)果缺少預(yù)估（或預(yù)判）的意識。這就需要教師為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會感受“先估后算”的價值。例如在進(jìn)行“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”教學(xué)時，當(dāng)出現(xiàn)“22.4÷4=”后，教師不急于引導(dǎo)學(xué)生探究算法，而是先引導(dǎo)學(xué)生“估一估”結(jié)果會在哪兩個整數(shù)之間。

生：20÷4=5、24÷4=6，因此22.4÷4的結(jié)果一定比5大且比6小，應(yīng)該是5點多。

在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生計算和分析，進(jìn)而分析算理，探尋算法，同時也驗證“估”的結(jié)果。

有了“估一估”的第一印象，學(xué)生能夠?qū)σ粋€小數(shù)除法的計算結(jié)果有個初步的、粗略的判斷，這將有助于學(xué)生獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。在小數(shù)運算中，小數(shù)點的處理是難點之一，而“估一估”的方法可以有效幫助學(xué)生主動調(diào)整因點錯小數(shù)點而出現(xiàn)“差之千里”的情況。因此，強(qiáng)化“先估后算”帶來的反思與調(diào)整，不僅僅是學(xué)生掌握算法的有效策略，更是學(xué)生不斷豐富運算策略，提升運算能力的抓手。正如林崇德教授指出的那樣，兒童的數(shù)學(xué)概念和運算能力，就是通過他們認(rèn)知活動的實踐，不斷發(fā)現(xiàn)和解決這種矛盾，從而逐步發(fā)展起來的。

（二）借助直觀模型：引導(dǎo)兒童“找方法”

直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計數(shù)器、長方形、數(shù)直線等。在計算教學(xué)中，直觀模型是幫助學(xué)生理解算理、掌握算法的重要方式。這一點基本可以貫穿小學(xué)階段的所有運算教學(xué)。

1.借助直觀模型，探究算理。

在計算教學(xué)中，算理比算法更“隱蔽”、更抽象，學(xué)生要分析算理就需要對算法做出解釋，這通常需要一個情境使算理得以外顯。學(xué)生在認(rèn)數(shù)過程中所借助的直觀模型就可以發(fā)揮重要的作用。例如在認(rèn)識小數(shù)時，教材中提供了正方形、數(shù)線等直觀模型（如下圖1所示），學(xué)生能夠?qū)⒅庇^圖形與小數(shù)建立起緊密的聯(lián)系。

在進(jìn)行小數(shù)加減法運算教學(xué)時，就可以借助直觀圖進(jìn)行算理分析，理解相同計數(shù)單位的數(shù)才能夠直接相加減（如圖2）。

在進(jìn)行小數(shù)乘法的運算教學(xué)時，還可以繼續(xù)借助直觀圖幫助學(xué)生理解計數(shù)單位的累加過程（如圖3）。類似地，在小數(shù)除法的教學(xué)中，可以借助圖清晰地呈現(xiàn)計數(shù)單位與計數(shù)單位的個數(shù)，以及平均分的過程（如圖4）。

這些直觀圖的使用具有一致性和連續(xù)性，有助于學(xué)生在認(rèn)識小數(shù)的基礎(chǔ)上，自主遷移經(jīng)驗，探究小數(shù)運算的方法和道理。讓“看得見”的圖形來幫忙，是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理需求，也是實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)的重要規(guī)律。

2.借助直觀模型，鞏固算法。

除了在探尋理解算理、歸納運算方法的過程中，教師要注重發(fā)揮直觀模型的作用，在鞏固算法的練習(xí)中也值得不斷借助直觀模型，幫助學(xué)生深化認(rèn)識、提升能力。例如在“小數(shù)加減法”一課的練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師在學(xué)生已經(jīng)初步掌握小數(shù)加減法豎式運算方法的基礎(chǔ)上，設(shè)計了“小卡車該停在哪兒”的活動，通過直觀的動畫演示，幫助學(xué)生強(qiáng)化對運算方法的掌握，以及對算理的理解。

師：豎式中的被減數(shù)已經(jīng)寫好了，減數(shù)放在了小卡車上，卡車停在哪兒合適呢？

（課件出示：卡車自右向左行駛）

師：停在這里行不行？

生：不行，因為小數(shù)點沒有對齊。車得繼續(xù)往前開，直到小數(shù)點對齊。

師：載著第二個加數(shù)的小卡車已經(jīng)準(zhǔn)備出發(fā)了。

師：咦，怎么沒停？卡車司機(jī)有問題：“12沒小數(shù)點，怎么對齊呀？”

課件根據(jù)學(xué)生要求進(jìn)行動態(tài)演示，直至小數(shù)點對齊。

生：這下可以計算了，結(jié)果等于12.43。

形象的動畫演示支撐了學(xué)生對計算方法的直觀理解和辨析，進(jìn)而有效促進(jìn)了學(xué)生對運算方法的掌握。總之，在運算教學(xué)中，充分發(fā)揮直觀模型的作用，有助于學(xué)生更加直觀地理解運算道理，更準(zhǔn)確地掌握運算方法，并在理解的基礎(chǔ)上更靈活地解決問題。

（三）溝通聯(lián)系：促進(jìn)兒童“有提升”

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)的運算通常是分在不同冊、不同單元中進(jìn)行的。例如四年級下冊學(xué)習(xí)“小數(shù)加減法”單元，五年級上冊分別學(xué)習(xí)“小數(shù)乘法”及“小數(shù)除法”兩個單元。這樣的安排，必然使得學(xué)生在一段時間內(nèi)相對集中地面對同一種（或一類）運算。然而，運算能力的培養(yǎng)只依靠不同方法的“分頭操練”是不夠的，還需要適時地將這些不同的方法“集結(jié)盤點”，以建立聯(lián)系，達(dá)到融會貫通的目的。

1.溝通概念，建立知識網(wǎng)。

不同的運算有不同的方法，學(xué)生學(xué)習(xí)每種運算時都是分別進(jìn)行的，然而不同的運算背后是否有相同的道理呢？在對比中強(qiáng)化算理，有助于提升學(xué)生運算能力。例如在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握小數(shù)乘法計算方法后的一節(jié)“小數(shù)乘法練習(xí)課”上，教師設(shè)計了兩次對比的辨析活動。

第一次對比：小數(shù)乘法計算方法中兩步的對比

師：請你計算0.12×3.4=，并說一說你是怎樣算的。

生：小數(shù)乘法就是先按整數(shù)乘法算出積（12×34=），再給積添上小數(shù)點（從右數(shù)出3位）。

師：看來，小數(shù)乘法在算的時候都會有個整數(shù)乘法做“隱形替身”，那同一個整數(shù)乘法都能給哪些不同的小數(shù)乘法做“替身”呢？它們的運算結(jié)果有什么相同，又有什么不同？

生舉例：0.12×3.4=，0.12×0.34=，12×0.34= ……

分析：這些小數(shù)乘法都是由一個替身算出來的，結(jié)果也都可以根據(jù)408變化而來，但又不完全相同。它們計數(shù)單位的個數(shù)是相同的，都表示408個“什么什么……”但它們的計數(shù)單位不同，有的表示408個0.1，有的表示408個0.01，還有的表示408個0.001……

師：由此可知，小數(shù)乘法的計算方法中第一步“先按整數(shù)乘法算出積”，其實算出了乘積包含計數(shù)單位的個數(shù)，而第二步“再給積添上小數(shù)點”就是在確定積的計數(shù)單位。

第二次對比：小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的對比

師：這個整數(shù)乘法除了可以做小數(shù)乘法的“替身”，在整數(shù)乘法中，是否還可以發(fā)揮“替身”的作用呢？

生：尾數(shù)帶0的乘法吧，因數(shù)末尾有0的乘法，我們通常就先不看末尾的0，算完之后再添0。例如120×3400=，我們通常都不用“末尾對齊”的方法一層一層地算，這樣太麻煩了。可以先將因數(shù)末尾的0“甩出去”不看，算完之后再添上。

出示：

師：同學(xué)們都更欣賞第二種算法，很顯然它更簡潔，但這樣算的道理是什么呢？

學(xué)生結(jié)合實例展開分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)我們將120×3400看作“12×34”這個“替身”的時候，“先不看因數(shù)末尾的0”其實就是改變了因數(shù)的計數(shù)單位，只算12×34得到的408是乘積計數(shù)單位的個數(shù)。至于乘積應(yīng)該是408個什么？那還得看因數(shù)的計數(shù)單位：10×100=1000，所以乘積應(yīng)該是408個1000，就要在408的后面添上三個0。

這樣的小數(shù)乘法練習(xí)，幫助學(xué)生在初步掌握算法的基礎(chǔ)上不斷深化認(rèn)識，在對比中溝通聯(lián)系，挖掘核心概念，在“回頭看”的活動中構(gòu)建知識網(wǎng)。這個知識網(wǎng)的獲得離不開學(xué)生對核心概念的深入理解和靈活運用，這本身就是運算能力發(fā)展的重要標(biāo)志。

2.溝通運算，建立方法網(wǎng)。

整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運算法則通常是不同的，教學(xué)時也是分別進(jìn)行的。因此，常常留給學(xué)生的印象也是“獨立的”“不同的”和“不能混淆的”。其實，看似不同方法的背后卻都藏著相通之處，值得學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和感悟。例如在教學(xué)“小數(shù)除法”時，教師設(shè)計了兩次平均分的活動：第一次是將7支鋼筆平均分給2人，怎么分？用算式表示。學(xué)生列式是7÷2=3……1。第二次是將7元錢平均分給2人，怎么分？用算式表示。學(xué)生想到將7元錢平均分給2人，每人可以先分到3元，剩下的1元換成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。于是產(chǎn)生了都是7÷2，為什么商卻不同？學(xué)生發(fā)現(xiàn)分鋼筆，剩下1支就不能再分了；分錢，剩下的1元可以換成10角繼續(xù)分。

在接下來學(xué)生自主探究“11÷4=”時，先以“1”為單位分有剩余，化小計數(shù)單位繼續(xù)分，這種讓余數(shù)“變得更碎”的方法，其實是在變小余數(shù)的單位。計數(shù)單位小了，計數(shù)單位的個數(shù)就增多了，就可以繼續(xù)平均分了。以“0.1”為單位分又有剩余，那就繼續(xù)化小計數(shù)單位接著分。此時，便有學(xué)生在思考，如果分的結(jié)果總是有剩余，總也分不完怎么辦？其實，他已經(jīng)預(yù)見了循環(huán)小數(shù)的出現(xiàn)。這樣的對比活動，有效地建立起了整數(shù)除法與小數(shù)除法之間的聯(lián)系，學(xué)生在整數(shù)除法中從高位除起，即先平均分較大的計數(shù)單位的個數(shù)，分后有剩余就化小計數(shù)單位與低一位的數(shù)合起來繼續(xù)分，分了還有剩余就繼續(xù)化小計數(shù)單位接著分……直到分到以“1”為單位，即分到個位為止，即便有剩余也不再分了，就當(dāng)作余數(shù)“留在那里”。而小數(shù)除法只是接過了整數(shù)除法的“接力棒”，打破個位的局限，繼續(xù)化小計數(shù)單位接著分下去而已。看似不同的整數(shù)除法與小數(shù)除法竟然是一回事兒，方法與方法對接，在兒童的心中織起了一張富含聯(lián)系的“方法網(wǎng)”。

這是一個將算理與算法相融合的教學(xué)過程，學(xué)生始終借助對平均分的認(rèn)識以及對數(shù)概念的理解進(jìn)行嘗試和探索，進(jìn)而慢慢感悟、發(fā)現(xiàn)計算方法。這種通過溝通建立起的“方法網(wǎng)”，有助于學(xué)生更充分地理解算理，并抽象出算法。

三、基于兒童運算能力培養(yǎng)的教學(xué)建議

著眼于對學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，首先需要教師對教學(xué)內(nèi)容有結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識，把握其深層次的內(nèi)在關(guān)系，其次需要教師在計算教學(xué)中處理好以下幾組關(guān)系。

（一）注重“算理”與“算法”的貫通

運算教學(xué)從低年級就開始了，算理的分析與算法的掌握伴隨運算教學(xué)始終，兩者總是交錯進(jìn)行、相互促進(jìn)的。因此，無論是哪個學(xué)段的教學(xué)都應(yīng)注重算理與算法的縱向貫通，使每部分的學(xué)習(xí)都與學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗對接。這有助于幫助學(xué)生對運算形成貫通式的理解，這是形成運算能力的重要途徑。

（二）注重“概念”與“運算”的聯(lián)系

數(shù)的運算隸屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，它與數(shù)的認(rèn)識緊密聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)概念時，應(yīng)突出對計數(shù)單位、十進(jìn)位值制等核心概念的深入領(lǐng)會，這是使學(xué)生更順利地進(jìn)行運算學(xué)習(xí)的堅實基礎(chǔ)。

（三）注重“新課”與“練習(xí)”的并重

運算能力的獲得不可能一蹴而就，需要在學(xué)習(xí)過程中循序漸進(jìn)，不斷感悟，不斷提升。教學(xué)某種運算方法的新授課，必然承載著培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重要任務(wù)，此外，與運算相關(guān)的練習(xí)課也是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的重要契機(jī)，不容忽視，需教師精心設(shè)計?！八憷聿荒苤皇堑谝还?jié)課前半段的事情，要在初懂算理的基礎(chǔ)上得出規(guī)范的計算程序，以后再懂其道理，乃是正常認(rèn)知過程?！?/p>

（四）注重“短期目標(biāo)”與“長期目標(biāo)”的對接

數(shù)學(xué)知識是一個充滿了聯(lián)系的系統(tǒng)，運算教學(xué)亦是如此。因此，教師在進(jìn)行每個具體運算內(nèi)容的教學(xué)時，心中既要有“短期目標(biāo)”也要有“長期目標(biāo)”。具體包括課時目標(biāo)和單元目標(biāo)的對接、單元目標(biāo)和運算領(lǐng)域總目標(biāo)之間的對接，還包括知識目標(biāo)與能力目標(biāo)的對接……當(dāng)然，教學(xué)中總會出現(xiàn)學(xué)生個體與群體之間的差異，這就需要教師一方面在運算的難度和速度方面提出合理而適度的要求，同時還應(yīng)在總目標(biāo)下為學(xué)困生留有發(fā)展的空間，允許他們在一段時間內(nèi)慢慢趕上大家，不讓運算成為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“絆腳石”，讓兒童在運算中都獲得成功的喜悅，這也是實現(xiàn)知識“短目標(biāo)”與育人“長目標(biāo)”之間的有效對接。

總之，在兒童形成數(shù)學(xué)概念和掌握運算法則的過程中，各種認(rèn)知系統(tǒng)發(fā)生著復(fù)雜的相互作用。需要教師深入分析學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與需求，準(zhǔn)確把握知識結(jié)構(gòu)，創(chuàng)造性地設(shè)計充滿聯(lián)系的教學(xué)內(nèi)容，兒童將會在運算的世界中感受到思維的樂趣，收獲成功的喜悅。

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（北京小學(xué) 102400）