熊志平

摘要：眾所周知，高等數(shù)學(xué)是所有自然學(xué)科的基礎(chǔ)，一個大學(xué)生要想在以后的工作、學(xué)習(xí)中大展宏圖，那么就一定少不了堅實的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。如何解決大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時碰到的問題？如何調(diào)動大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性？讓學(xué)生們了解高等數(shù)學(xué)的用途，真正愿意靜下心來好好學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，努力為以后的發(fā)展打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。一直以來，各所高校的教師們都在努力的想辦法、找對策，一些實用有效的方法已經(jīng)提出并且在逐步推廣，比如，問題驅(qū)動式的教學(xué)方法和基于PBL的教學(xué)方法等。筆者從所在學(xué)校的學(xué)生實際學(xué)習(xí)情況出發(fā)，根據(jù)幾年來的教學(xué)心得和積累，打算提出一種較為實用的教學(xué)方法——利用數(shù)學(xué)建模的思想調(diào)動大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。該方法在筆者所教授的班級中已經(jīng)實際應(yīng)用過幾屆，學(xué)生普遍反映效果較好，任課老師也認為該方法確實能極大地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)建模思想，案例式教學(xué)

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）34-0159-02

提到高等數(shù)學(xué)，學(xué)生們的第一反應(yīng)往往是：各種公式塞滿黑板，各種運算充斥腦海；定義、定理、推論一個連著一個；極限、連續(xù)、可導(dǎo)可積一個涵蓋另一個[1]。和高中數(shù)學(xué)相比，記憶的負擔(dān)輕了（實際上是知識點太多，記不住了），而對思維的要求卻提高了。對大學(xué)生來說，每一次的高數(shù)課，都是一次大腦的思維訓(xùn)練，時刻要求精神高度集中，一定要緊跟老師的步劃，一旦走神，后面的內(nèi)容就不知所云了。這樣的要求短時間可以達到，長久下去學(xué)生們會覺得很辛苦，很有壓力，會出現(xiàn)抱怨。筆者碰到過這樣的學(xué)生，剛開始時，興致勃勃，雄心萬丈，可到后來興趣索然，馬虎應(yīng)對。怪學(xué)生嗎？誠然學(xué)生有責(zé)任，但任課老師也該負很大的責(zé)任。作為高等數(shù)學(xué)的老師我們經(jīng)常要面對學(xué)生提的這些問題：（1）我學(xué)的專業(yè)和高等數(shù)學(xué)相差甚遠，有可能這一輩子都不會用到高等數(shù)學(xué)的知識，那我學(xué)高等數(shù)學(xué)的目的何在？（2）老師您天天鼓吹高等數(shù)學(xué)的強大功能和廣泛用途，但是通過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)除了對付考試有用，真不知高等數(shù)學(xué)可以用在何處？這些問題不及時解決，時間長了一定會影響到大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)積極性，甚至有可能會產(chǎn)生厭學(xué)的情緒和氛圍。有些極端的學(xué)生，期末考試之后，一聽到自己高等數(shù)學(xué)考過了，立馬將高等數(shù)學(xué)的課本給撕了，可想而知高等數(shù)學(xué)對其造成的壓力有多大[2]。如何解決大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時碰到的問題？如何調(diào)動大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性？讓學(xué)生們了解高等數(shù)學(xué)的用途，真正愿意靜下心來好好學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，努力地為以后的發(fā)展打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。筆者從所在學(xué)校的學(xué)生實際學(xué)習(xí)情況出發(fā)，根據(jù)幾年來的教學(xué)心得和積累，打算提出一種較為實用的教學(xué)方法——利用數(shù)學(xué)建模的思想調(diào)動大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。

一、以實際問題反推解決問題時我們需要的高等數(shù)學(xué)知識

有這樣一個實際問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒賣掉的報紙退回給報社。假設(shè)報紙每份的購進價為b元，零售價為a元，退回價為c元，自然地有a>b>c。這就是說，報童每售出一份報紙賺a-b元，每退回一份報紙賠b-c元，報童每天如果購進的報紙?zhí)伲敲磿粔蛸u，就會少賺錢；如果每天購進的報紙?zhí)?，那么會賣不完，將要賠錢。請為報童規(guī)劃一下，他該如何確定每天購進的報紙份數(shù)，以獲得最大的收入[3]。

現(xiàn)在我們來反推該問題涉及到的高等數(shù)學(xué)的知識：首先，通過分析題目可知，問題解決的關(guān)鍵在于——如何確定每天的報紙需求量，注意每天的報紙需求量是隨機變化的？解決這個關(guān)鍵問題的知識我們早就掌握了，分別是數(shù)理統(tǒng)計中的頻率連續(xù)化、概率論中的概率密度與期望和高等數(shù)學(xué)中的定積分[4]。

其次，假設(shè)每天購進n份報紙，G（n）為報童購進n份報紙時的平均收入函數(shù)，再假設(shè)每天的報紙需求量r是隨機的，此時r和n的關(guān)系有三種r>n，r二、利用高等數(shù)學(xué)的解決實際問題

由前面的假設(shè)可知，每天購進n份報紙，每天的報紙需求量為r份時，報童每天的平均收入為G（n）元。如果這天的需求量r≤n，則他售出r份，退回n-r份；假如這天的需求量r>n，則n份報紙全部售光。因為日需求量r是隨機的，所以我們必須求出每天賣出r份的概率

f（r）[4]。如果求出了f（r），那么

G（n）= [（a-b）r+（b-c）（n-r）]f（r）+ （a-b）nf（r）.（1）

現(xiàn)在我們來求f（r），假定報童已經(jīng)通過自己的經(jīng)驗和其他渠道掌握了一年（365天）中每天報紙的售出份數(shù)，那么在他的銷售范圍內(nèi)，每天報紙日需求量r的概率f（r）為：

f（r）= ，r=（0，1，2，3，…）

其中k表示為賣出r份的天數(shù)。

根據(jù)概率論中離散型隨機變量的連續(xù)化知識[4]，我們可以將r視為連續(xù)型的隨機變量，這樣更便于分析和計算。利用最小二乘擬合[5]，可以將f（r）轉(zhuǎn)化為連續(xù)型隨機變量r的概率密度函數(shù)p（r），那么（1）式變成

G（n）= [（a-b）r+（b-c）（n-r）]p（r）dr+ （a-b）np（r）dr.（2）

通過上面的分析，可知實際問題歸結(jié)為，在p（r）和a，b，c已知時，求n使得G（n）最大。

研究表明G（n）是一個在閉區(qū)間上連續(xù)的積分上限函數(shù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知G（n）的最大、最小值一定存在，而且最大、最小值一定在函數(shù)G（n）的駐點（也即使得 =0的n）。計算可得

=-（b-c） p（r）dr+（a-b） p（r）dr. （3）

令 =0，得到 = ，又因為 p（r）dr+ p（r）dr=1，所以 p（r）dr= .（4）

在等式（4）中，p（r）和a，b，c均為已知，所以利用定積分的知識一定可以求出n。也即可以確定每天購進的報紙份數(shù)，使報童每天獲得最大的收入。

三、利用現(xiàn)實問題，讓學(xué)生學(xué)會思考，給他們提供創(chuàng)造成就感的機會

通過上面碰到的實際問題，可以很容易地說服同學(xué)們靜下心來好好學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。因為通過實際問題的求解，學(xué)生們了解到了，要想解決一個實際問題（哪怕是很小的問題），也需要大量的高等數(shù)學(xué)知識的儲備；學(xué)生們也大概領(lǐng)略到了高等數(shù)學(xué)的用途與功能。這樣的教學(xué)方法簡單、直接，勝過老師課堂上反復(fù)的嘮叨與強調(diào)。有了這樣的一些實際問題，老師們就可以大膽地將數(shù)學(xué)建模思想引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)當中，讓學(xué)生們在解決實際問題中學(xué)會思考，掌握知識，提高能力。

通過訓(xùn)練后，碰到實際問題，同學(xué)們會自然的想到我們的教學(xué)方法：（1）這些實際問題涉及到的高等數(shù)學(xué)知識？那些自己掌握了，那些還沒有弄明白，學(xué)要加強學(xué)習(xí)。（2）知識點找到后，如何建立起數(shù)學(xué)與實際問題求解之間的關(guān)系？也即如何建立數(shù)學(xué)模型。（3）除了老師給的題目，自己本專業(yè)中的實際問題，能否用高等數(shù)學(xué)的知識去解決？通過思考、分析、解決這些問題，學(xué)生們會有一種創(chuàng)造創(chuàng)新的成就感，會愿意自主學(xué)習(xí)，自然而然其學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性也會大大提高了。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]孫鳳琪.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的某些探討[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，26（1）：109-110.

[3]姜啟源，謝金星，等.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5]劉書華，文良起，瞿建武.非圓曲線的最小二乘擬合法[J].新技術(shù)藝，2001，（7）：12-14.