黃文蝶　周江霖

摘 要：假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文以案例式教學(xué)方法為主導(dǎo)，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)，力圖將這一問題的基本思想與步驟闡述清楚，引導(dǎo)學(xué)生在掌握原理的同時(shí)進(jìn)一步深化統(tǒng)計(jì)思想的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：假設(shè)檢驗(yàn)；案例式教學(xué)；啟發(fā)式教學(xué)

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷中非常重要的一個(gè)問題，也是統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)所在。本文以案例式教學(xué)方法為主導(dǎo)，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)，力圖將這一問題的基本思想與步驟闡述清楚，引導(dǎo)學(xué)生在掌握原理的同時(shí)進(jìn)一步深化統(tǒng)計(jì)思想的培養(yǎng)。

一、提出問題

產(chǎn)品質(zhì)量問題是當(dāng)今社會(huì)的一個(gè)熱門話題，這節(jié)課我們就用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來檢驗(yàn)一種非處方藥的質(zhì)量是否合乎規(guī)定。

例：一種無需醫(yī)生處方可得到的治療咳嗽和鼻塞的藥，按規(guī)定其酒精含量為5%.今從已出廠的一批藥中，隨機(jī)抽取10瓶，測試其酒精含量為：5.01，4.87，5.11，5.21，5.03，4.96，4.78，4.98，4.88，5.06。已知酒精含量服從正態(tài)分布N（μ，0.00016）。

向?qū)W生提出問題：如果現(xiàn)在你是一名質(zhì)檢員，那么你認(rèn)為這批藥品是否合格？

二、分析問題

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一問題進(jìn)行逐步深入地分析：現(xiàn)在關(guān)注的是這一批藥的酒精含量——這是我們的研究總體；手頭掌握的資料有，10瓶藥品的酒精含量數(shù)據(jù)以及總體所服從的分布。

判定這批藥品是否合格，關(guān)鍵是看總體均值μ是否為5：若μ=5，則藥品合格；若μ≠5，則藥品不合格。

通過點(diǎn)估計(jì)的學(xué)習(xí)，我們知道總體均值可以用樣本均值去估計(jì)，容易得到μ的估計(jì)值為4.989，顯然4.989≠5，那么這個(gè)時(shí)候能否下結(jié)論：這批藥品不合格？如果貿(mào)然下這樣的結(jié)論，既不能讓人信服，自己也會(huì)存在疑惑：一方面，樣本均值只是總體均值的一個(gè)估計(jì)量，并不能完全代表總體均值；另一方面，樣本均值受隨機(jī)因素的影響比較大，而4.989與5相差這么小，這個(gè)誤差似乎是可以接受的。到底可以容忍的最大誤差是多少呢？這成了我們最終關(guān)注的問題。

將上述分析過程條理化，我們便得到了假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。

三、解決問題

1.建立原假設(shè)和備擇假設(shè)

正所謂萬事開頭難，能否合理地建立原假設(shè)，關(guān)系著整個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的成敗。關(guān)于如何建立原假設(shè)，學(xué)者們各抒己見：茆詩松主張以“不能輕易否定”為原則，何書文以“與事實(shí)相反”為原則……總之一句話，原假設(shè)是受到保護(hù)的、不會(huì)被輕易推翻的。

在我們研究的這個(gè)問題中，建立原假設(shè)與備擇假設(shè)如下：

H0：μ=5， H1：μ≠5

2.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

在提出原假設(shè)后，要構(gòu)造一個(gè)特殊的統(tǒng)計(jì)量：其分布在原假設(shè)下是已知的，其數(shù)值直接影響最后的結(jié)論。通常情況下，將原假設(shè)中未知參數(shù)的數(shù)值代入?yún)^(qū)間估計(jì)中的樞軸變量，即可得到我們需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

在σ2已知的條件下，μ的區(qū)間估計(jì)中用到的樞軸變量為，將μ=5，σ2 =0.00016，n=10代入，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，且Z～N（0，1）。

3.確定H0的拒絕域

在H0成立時(shí)，觀察檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值的特點(diǎn)（偏大、偏小、絕對(duì)值偏小等），給出對(duì)H0不利的小概率事件，使得小概率事件發(fā)生的樣本觀測值的集合，稱為H0的拒絕域。

為了解釋拒絕域的定義，帶領(lǐng)學(xué)生回顧“小概率事件原理”—小概率事件在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的。在學(xué)習(xí)古典概率的時(shí)候，我們曾經(jīng)舉了一個(gè)“女士品茶”的例子：一位常飲牛奶加茶的女士稱，她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶。她在10次試驗(yàn)中都正確地辨別出來了，問該女士的說法是否可信。

我們假設(shè)該女士說法不可信，計(jì)算得出事件A=“10次試驗(yàn)都能正確指出放置茶和牛奶的先后次序”發(fā)生的概率為0.0009766，這是一個(gè)非常小的概率。依據(jù)小概率事件原理，A應(yīng)該是不會(huì)發(fā)生的，這與實(shí)際結(jié)果相矛盾，因此認(rèn)為假設(shè)“該女士說法不可信”不成立，有理由斷言該女士的說法是可信的。

實(shí)際上，在假設(shè)檢驗(yàn)的過程中正是利用了“小概率事件原理”，思路與上述例子是完全一致的：先假定H0成立，如果從試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z的值非常罕見，此時(shí)，我們認(rèn)為小概率事件發(fā)生了，這是由于H0所導(dǎo)致的矛盾，因此，拒絕H0；否則，接受H0。

回到我們研究的問題：若H0成立，則樣本均值與5的差距比較小，即|Z|較小。因此，拒絕域的形式為{|Z|>a}，數(shù)值a應(yīng)該如何確定呢？

如果在H0成立的條件下，作出了拒絕H0的結(jié)論，稱之為第一類錯(cuò)誤，將第一類錯(cuò)誤的概率記為α，有時(shí)又稱α為顯著性水平。通常情況下，我們控制犯第一類錯(cuò)誤的概率，α一般取0.05，即P （|Z|>a| H0 ） =0.05。此時(shí)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知，a=1.96，拒絕域?yàn)閧|Z|>1.96}。

4.作出結(jié)論

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，觀察其是否落入拒絕域，下結(jié)論。

將樣本均值代入，得到Z=2.75，|Z|>1.96，落入拒絕域中，因此，該批藥品的酒精含量不符合規(guī)定。

四、問題的深入與探索

如果我們將α的值選為0.002，查表可得a=3.090，此時(shí)，|Z|在確定拒絕域時(shí)，我們介紹了第一類錯(cuò)誤——在H0成立的條件下，作出了拒絕H0的結(jié)論。有一就有二，如果在H0不成立時(shí)，作出了接受H0的結(jié)論，稱之為第二類錯(cuò)誤。請同學(xué)們思考：犯第一類錯(cuò)誤的概率與犯第二類錯(cuò)誤的概率，兩者之間是否存在關(guān)系？如果存在關(guān)系，是一種什么樣的關(guān)系？

參考文獻(xiàn)：

[1]胡發(fā)勝.宿潔.數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].山東大學(xué)出版社，2004.

[2]茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2000.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.概率統(tǒng)計(jì)簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

（作者單位：武警警官學(xué)院）