劉剛 李瀏蘭 陳少林

【摘要】本文僅針對空間解析幾何這部分內(nèi)容，結(jié)合教學(xué)實踐，從“知識的選擇與處理、綜合運用現(xiàn)代化教育技術(shù)及資源、以學(xué)生為主體”三個大的方面，窺探如何搞好高等數(shù)學(xué)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；空間解析幾何；教學(xué)

【基金項目】湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目（湘教通[2013]223號，序號332）和衡陽師范學(xué)院教改課題NJY201401，JYKT201404.

高等數(shù)學(xué)是大中專院校眾多專業(yè)學(xué)生必學(xué)的一門基礎(chǔ)課程.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義不僅僅是獲得知識，為學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)課程做鋪墊，而更重要的是掌握貫穿于該課程的數(shù)學(xué)思想、思維和方法，培養(yǎng)挖掘、分析和解決實際數(shù)學(xué)問題的能力.

盡管高等數(shù)學(xué)對培養(yǎng)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的綜合素質(zhì)能起到舉足輕重的作用，但因它的抽象性、邏輯性和嚴(yán)密性，讓很多學(xué)生望而卻步.加之，現(xiàn)在很多高等院校在向“實用型，應(yīng)用型”進(jìn)行轉(zhuǎn)型嘗試，我們的社會又存在些浮躁和急功近利的思想，這促使了更多的學(xué)生不注重高數(shù)理論的學(xué)習(xí)，而只關(guān)注知識的應(yīng)用.無形之中，這些主客觀因素給我們本就難以開展的高數(shù)課堂，帶來了新的困難和挑戰(zhàn).作為講授高等數(shù)學(xué)課程的教師，如何在最大限度地保持高數(shù)的知識和邏輯體系的基礎(chǔ)上，減少理論的教學(xué)，有針對性地增加應(yīng)用的內(nèi)容，并有機(jī)地融入到高數(shù)課堂，這是一個值得我們長期思索的問題.

考慮到高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容比較多，我們將內(nèi)容限制在空間解析幾何部分.通常，我們將高等數(shù)學(xué)課程劃分成五大板塊：一元微積分，空間解析幾何，多元微積分，級數(shù)，常微分方程.空間解析幾何這部分內(nèi)容在整個高等數(shù)學(xué)課程中所占的篇幅應(yīng)該是最少的，但它是學(xué)習(xí)多元微積分的基礎(chǔ).這部分內(nèi)容看似比較直觀，但如果缺乏空間想象力的話，還是比較抽象的.另外，盡管這部分內(nèi)容與我們生活的客觀世界息息相關(guān)，但是學(xué)生缺乏觀察、發(fā)現(xiàn)和思考.這就要求教師在課堂內(nèi)外通過不同的方式方法來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和思維能力，啟發(fā)他們?nèi)ビ^察和分析客觀世界，進(jìn)而更好地解決本專業(yè)涉及的這方面知識的數(shù)學(xué)問題.故下面筆者結(jié)合自身的教學(xué)情況，僅針對空間解析幾何這部分知識，從三個大的方面膚淺地談?wù)勅绾胃愫酶叩葦?shù)學(xué)教學(xué)，以期達(dá)到拋磚引玉的目的.

一、知識的選擇與處理

1.精簡課本內(nèi)容，使其具有邏輯系和系統(tǒng)性

在這章內(nèi)容的處理上，我們的考慮如下：為研究空間幾何圖形，我們采用代數(shù)的方法.首先引入空間直角坐標(biāo)系，故空間中的點與一個三元數(shù)組形成一一對應(yīng)，進(jìn)而空間幾何圖形與一個數(shù)集相對應(yīng).為后續(xù)研究的簡便性，引入向量的概念及其相關(guān)運算.基于空間直線和平面的幾何特征，結(jié)合向量的相關(guān)性質(zhì)，給出空間直線和平面的方程及其位置關(guān)系.最后由空間圖形與代數(shù)方程的關(guān)系，給出一些常見的空間曲線和曲面的方程.在具體的教學(xué)過程中，我們將該章分為以下四講：（1）空間直角坐標(biāo)系；（2）向量及其相關(guān)運算；（3）直線和平面的方程及其位置關(guān)系的判定；（4）常見的空間曲線和曲面.

2.以數(shù)學(xué)史為導(dǎo)入，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法貫穿始終

每個人都是從聽故事中長大的，故而數(shù)學(xué)故事最能激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.然而，數(shù)學(xué)故事不同于文學(xué)作品，數(shù)學(xué)典故和數(shù)學(xué)知識的來龍去脈的講演固然重要，重點卻應(yīng)該是了解蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和方法.空間解析幾何始于笛卡爾和費馬研究，但笛卡爾側(cè)重從軌跡出發(fā)后尋找它的方程，而費馬卻是從方程出發(fā)研究它的軌跡.可謂是異途同歸，兩者都溝通了圖形和方程的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.故在教學(xué)中，不僅要求學(xué)生能將空間幾何圖形與對應(yīng)的方程互相轉(zhuǎn)換，還要能將空間幾何圖形之間的關(guān)系與對應(yīng)的方程之間的關(guān)系進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換.

3.課堂內(nèi)容豐富多彩，講授方式靈活多變

教師課堂講授內(nèi)容的來源大致可歸結(jié)為如下四個方面：課本的知識，相關(guān)的歷史，生活實際的問題，專業(yè)上的應(yīng)用.雖然課堂上主要講授的是課本的知識，但是為讓學(xué)習(xí)更具趣味性、思考性和應(yīng)用性，教師通常需要將上述的內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)的融合.從相關(guān)的歷史中，學(xué)生可了解知識的來龍去脈，感受思想和方法上的變化；從生活中的問題里，學(xué)生可感受到高數(shù)就在身邊，它真實地存在于我們的生活之中；從專業(yè)上的應(yīng)用上，學(xué)生能領(lǐng)悟到高數(shù)在專業(yè)學(xué)習(xí)中的作用，進(jìn)而激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.在選擇好的內(nèi)容后，教師還需要充分發(fā)揮自己的能動性，通過自己對這些內(nèi)容的理解并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)鼐幣?，以不同的方式方法進(jìn)行講授.

例如：在講授空間直角坐標(biāo)系時，我們是這樣考慮的：

（1）先用多媒體呈現(xiàn)一個場景：有一個6層的大型商場，外型像一個超大的長方體，內(nèi)部呈“回”字型，中間是有頂?shù)拇髲d.你現(xiàn)在要去該商場不同樓層且不同方位的6個商鋪采購，請問你根據(jù)商場一樓的各樓層的商鋪分布平面圖，如何對這些商鋪的空間位置定位？

（2）讓學(xué)生互相討論，抽幾個同學(xué)來回答.然后啟發(fā)他們怎么從數(shù)學(xué)的角度去解決.

（3）引入直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念.通過教師筆直站在墻角，左右手呈90度，以身體所在的直線為z軸，以左、右手所在的直線分別為x、y軸，頭、左手、右手所指的方向為相應(yīng)軸的正方向，從而將大樓一分為八，對前面的相關(guān)概念給出一個直觀的認(rèn)識.進(jìn)而為提出的問題提供一種解決方法.

（4）讓學(xué)生體會這里面蘊(yùn)含的思想和方法，再讓他們自己舉出生活和專業(yè)上應(yīng)用這些思想和方法的實例.

二、綜合運用現(xiàn)代化教育技術(shù)及資源

1.合理使用多媒體教學(xué)

對于點、線、面等簡單的圖形，教師在黑板上容易實現(xiàn)，與此同時學(xué)生也可在稿紙上進(jìn)行練習(xí).但對于稍微復(fù)雜的二次曲面，在黑板上繪圖就費時費力，涉及圖形的翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，曲線生成曲面的動態(tài)演示，曲面和曲面的交線等問題時，就只能靠個人的空間想象能力了.很多學(xué)生就會在想象的空間里迷失，因而課堂上就難以達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.這時，就要借助于多媒體進(jìn)行靜態(tài)與動態(tài)的展示，從各個角度演示空間幾何圖形，最好能以動畫的形式演示這些圖形的形成過程.另外，結(jié)合現(xiàn)實生活中一些應(yīng)用曲面的實物和圖片，來進(jìn)一步說明圖形的形狀與特征，以此加強(qiáng)學(xué)生對圖形的認(rèn)識和空間想象力的培養(yǎng).

2.引入數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)

盡管計算機(jī)技術(shù)是每位大學(xué)生必修的課程，但是對于絕大部分同學(xué)而言，解決數(shù)學(xué)問題仍然停留在紙筆的階段，幾乎很少借助于計算機(jī).但可以預(yù)見，信息化快速發(fā)展的未來，越來越多的人將會借助于計算機(jī)來完成自己的工作，從而某些數(shù)學(xué)計算、數(shù)據(jù)和圖形處理與加工等問題只需人們利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件來解決.為此，數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)是未來的一種必然趨勢.

目前，非數(shù)學(xué)專業(yè)使用得最多的數(shù)學(xué)軟件是Matlab （Matrix Laboratory）.空間曲線、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面、二次曲面等的繪圖動能通過該軟件實現(xiàn)，還能通過動畫的形式演示曲線、曲面的形成和變化過程，以及完成對圖形的翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)等.引入數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)，不僅將他們從一些復(fù)雜的計算和圖形處理等問題中解脫出來，而且能讓學(xué)生更好地理解所學(xué)知識，提高用計算機(jī)處理數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

3.適當(dāng)使用手機(jī)和電腦進(jìn)行高數(shù)學(xué)習(xí)與討論

隨著經(jīng)濟(jì)水平的提高和科技的快速發(fā)展，很多大學(xué)生都購買了電腦；至于手機(jī)，幾乎所有的在校大學(xué)生人手一臺，而且大部分都是智能手機(jī).可是有很大一部分同學(xué)使用電腦和手機(jī)的主要目的是玩游戲，或看連續(xù)劇，或聊天.大把的時間都這么浪費了，很是讓人痛心.讓我們的學(xué)生盡可能地利用手機(jī)和電腦來進(jìn)行學(xué)習(xí)，這顯然是不太現(xiàn)實的.但我們的教師在課堂上可利用一些手段和方法引導(dǎo)學(xué)生，將他們在手機(jī)和電腦上的關(guān)注的內(nèi)容適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)移.比如有針對性地提供高數(shù)教學(xué)課件和視頻的網(wǎng)址（“國家精品課程資源網(wǎng)”值得推薦），讓他們課后觀看和討論預(yù)留的相關(guān)問題；利用QQ或微信或公共郵箱建立高數(shù)交流圈，讓學(xué)生及時地提交好的高數(shù)資料或網(wǎng)絡(luò)資源鏈接，以及遇到的高數(shù)難題并相互討論；適當(dāng)?shù)赝扑]一些寓教于樂的關(guān)于高數(shù)的文章和益智游戲.在空間解析幾何這章中，我們向?qū)W生介紹了《平衡球》、《3d迷宮》兩款益智游戲，產(chǎn)生了比較好的效果.學(xué)生在玩的過程中，不僅收獲了快樂，無形中也培養(yǎng)了他們的空間想象能力.

三、以學(xué)生為主體

1.穿插自學(xué)環(huán)節(jié)，誘導(dǎo)學(xué)生思考并解決問題

高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課程，教師不僅要讓學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和計算方法，還要培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、獨立思考和解決問題的能力，這也是高等教育培養(yǎng)目標(biāo)之一.但因高等數(shù)學(xué)的教學(xué)任務(wù)重，課時少，如何在完成教學(xué)任務(wù)的同時，培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力呢？

對于一些和高中數(shù)學(xué)有銜接的內(nèi)容或難度不大的新內(nèi)容，可以考慮讓學(xué)生在課堂上花一些時間來自學(xué)，然后通過一些問題讓他們積極思考并解答，最后讓他們提出還沒搞懂的問題.下面以空間的直線方程這部分內(nèi)容為例.在學(xué)生自學(xué)這部分內(nèi)容之前，我們將一些問題在黑板上或借助于多媒體進(jìn)行展示，讓他們帶著這些問題邊看邊思考.問題設(shè)計如下：

（1）直線的幾何特征是什么？在給定的直角坐標(biāo)系下，如何利用直線的幾何特征，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)方程？反過來，什么樣的代數(shù)方程表示一條空間直線？

（2）空間直線的方程有幾種不同的表達(dá)形式？相互之間如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化？從幾何上，怎樣更好地理解這些表達(dá)式？

（3）對于直角坐標(biāo)系xOy平面的直線，在空間直角坐標(biāo)系中如何寫出它的方程，兩個方程有什么異同？

2.獨立思考為主，互相討論、協(xié)調(diào)合作為輔

培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考和分析能力，是高等數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)的一個重要目標(biāo).確實，不管在教學(xué)的過程中，還是作業(yè)的布置，或者考核的方式上，教師在這方面做了很多努力，但是對于團(tuán)隊學(xué)習(xí)和協(xié)調(diào)合作卻很少觸及.自己的獨立思考有利于自身思維的發(fā)展和知識的認(rèn)知，但即使對于同樣的內(nèi)容，每個人的學(xué)習(xí)的方式方法、思維、表達(dá)等有所不同，而通過團(tuán)隊的學(xué)習(xí)、探討和合作，不僅可學(xué)習(xí)別人好的思維模式、處理方式等，也可發(fā)現(xiàn)自身在學(xué)習(xí)上的問題，還可培養(yǎng)同學(xué)之間的合作意識與協(xié)同完成任務(wù)的能力.

因教學(xué)的時間有限，我們主要在以下三個地方實施團(tuán)隊討論學(xué)習(xí)模式：（1）自學(xué)后，回答教師設(shè)計的問題；（2）有多種解法的習(xí)題；（3）每章學(xué)完后，該章的具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識脈絡(luò)圖.課堂內(nèi)，我們以鄰近的3-5人為一個學(xué)習(xí)小組；課堂外，我們以同一個宿舍的所有成員為一個學(xué)習(xí)小組（一般是4名同學(xué)，因我院的學(xué)生是四個人一個宿舍）.對于學(xué)習(xí)小組在課堂討論的結(jié)果，我們會抽查幾組在黑板上進(jìn)行黑板秀或口頭陳述，最后給予點評，從而讓他們比較自己組和別組同學(xué)的結(jié)果，吸收別人好的想法和方法.對于課后討論的結(jié)果，我們對做的好的小組予以表揚(yáng)，利用多媒體對他們的結(jié)果進(jìn)行展示，另外進(jìn)一步完善他們的結(jié)果，補(bǔ)充一些他們沒有想到的方法.3.理論聯(lián)系實際，培養(yǎng)動手能力

通過將理論聯(lián)系實際，借此來培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，進(jìn)而提高學(xué)生的綜合素質(zhì).因高等數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)思想和方法有其普性，這門課程又是眾多專業(yè)專業(yè)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以教師有必要將動手能力的培養(yǎng)提高到一個新的高度，從而為專業(yè)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用奠定堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).然而，對于現(xiàn)在的大學(xué)生而言，讓他們從“看一看、摸一摸、擺一擺、做一做”中去摸索和探討數(shù)學(xué)的相關(guān)概念，似乎顯得有些難為情，認(rèn)為這是小學(xué)生才干的事.如果給一個實際的問題，讓他們用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解答（通常要建立數(shù)學(xué)模型），他們中的部分人又難以解決.可以說，現(xiàn)在的很多學(xué)生都是“眼高手低”.

為培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，教師可通過具體的例子來進(jìn)行操作.在講到柱面和旋轉(zhuǎn)曲面時，可讓學(xué)生觀察教室的相關(guān)物品，找出具有柱面和旋轉(zhuǎn)曲面特征的物體，分析相應(yīng)曲面的母線、準(zhǔn)線、旋轉(zhuǎn)軸等，反過來利用這些曲線來生成柱面和旋轉(zhuǎn)曲面，最后在稿紙上畫出這些圖形.在講二次曲面時，教師可事先讓空間想象能力不好的同學(xué)準(zhǔn)備幾塊橡皮泥，在課堂上講完相關(guān)的概念并通過多媒體展示后，讓他們用橡皮泥來捏一些二次曲面的圖形，多角度地進(jìn)行觀察，以此來加強(qiáng)圖形的認(rèn)識和理解.與此同時，讓空間想象能力好的同學(xué)在腦海中生成這些曲面的圖形，讓這些圖形在腦海中產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)甚至扭曲，以此進(jìn)一步提高空間想象能力.課后，我們讓學(xué)生四人為一組，利用所學(xué)習(xí)的空間曲面和曲線，設(shè)計一個具有美感和實用性的生活用品，例如水杯、飯盒、臉盆等，可提交實際的作品也可以畫一些設(shè)計示意圖，以此計入學(xué)生的平時成績.

以上只是結(jié)合教學(xué)實踐概括的一些教學(xué)想法.我們深知我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)之路上，仍然任重而道遠(yuǎn).

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