陳志瑤 令維軍

摘要：利用功能關(guān)系分析物理運(yùn)動(dòng)與相互作用規(guī)律是高中物理解決力學(xué)問題的常用方法，其中功能關(guān)系中系統(tǒng)選擇是解決問題的關(guān)鍵。本論文通過分析力學(xué)問題中的不同系統(tǒng)的選擇，指出正確的選擇系統(tǒng)，可以簡化問題，更加深入物理本質(zhì)，突出物理意義，對(duì)解決力學(xué)問題具有重要的意義。

關(guān)鍵詞：功能關(guān)系；系統(tǒng)選擇；機(jī)械能；保守力做功

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）17-0117-03

在人教版普通課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修2（2010年4月第三版）第七章中開始做功和能量問題的教學(xué)，縱觀教材可以發(fā)現(xiàn)，教材對(duì)能量問題的基本線——功能關(guān)系分析不夠明確，容易給初學(xué)者混亂的感覺，而功能關(guān)系是分析物體的運(yùn)動(dòng)與相互作用的最基本規(guī)律，也是研究物理力學(xué)問題最基本的常用方法。

一般情況下，運(yùn)用能量觀點(diǎn)分析解決問題的基本思路，運(yùn)用功能關(guān)系解決力學(xué)問題步驟的第一步就是對(duì)于研究系統(tǒng)的正確選定，對(duì)于高一學(xué)生的認(rèn)知水平來說，要運(yùn)用功能關(guān)系分析解決問題，首先要做的就是確定研究對(duì)象（即系統(tǒng)），這是涉及功能關(guān)系中問題分析的關(guān)鍵所在。要順利解決問題，首先要選擇恰當(dāng)?shù)难芯肯到y(tǒng)，明確外界與系統(tǒng)之間的做功情況，通過分析外力，非保守內(nèi)力和保守內(nèi)力的做功，從而找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，更好地利用功能關(guān)系解決實(shí)際力學(xué)問題，在處理任何力學(xué)問題的過程中能夠形成舉一反三的解題思路。

一、系統(tǒng)選擇在功能關(guān)系中重要性的理論闡釋

在力學(xué)中，提到系統(tǒng)選擇我們就自然而然地想到功能關(guān)系，功能關(guān)系與能量密不可分，能量、功能關(guān)系、系統(tǒng)選擇之間的關(guān)系是怎樣的呢？系統(tǒng)選擇在功能關(guān)系中問什么這么重要呢？下面我們就三者之間的關(guān)系及重要性進(jìn)行闡述。

1.物體具有能量。教材在第七章以能量問題為引子，用伽利略的理想實(shí)驗(yàn)引入思考，“某個(gè)量是守恒的”，這個(gè)量就叫能量。可以看出能量概念是物理中的一個(gè)比較抽象的概念，在物理學(xué)的發(fā)展過程中，能量的概念幾乎是與人類對(duì)能量守恒的認(rèn)識(shí)同步發(fā)展起來的，能量的概念之所以重要，就是因?yàn)樗莻€(gè)守恒量。我們知道從能量觀點(diǎn)分析和解決問題，需要有較高的思維起點(diǎn)，需要學(xué)生具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，以及對(duì)物理過程進(jìn)行全面、深入分析的能力，在高中物理教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好這部分內(nèi)容，使學(xué)生真正全面正確理解及熟練運(yùn)用能量知識(shí)解決物理問題顯得很重要，而我們的能量又跟力學(xué)緊密聯(lián)系著，并且是引出功能關(guān)系的源頭，所以重要性就不言而喻了。

2.功能關(guān)系很重要。能量是引子，功能關(guān)系就是主干了。所謂功能關(guān)系即物體做功和能量轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系，就是外力做的功與物體能量變化之間的關(guān)系。這在整個(gè)中學(xué)物理教學(xué)中有著十分重要的地位，也是高考必考點(diǎn)之一，它貫穿于力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)和原子物理學(xué)各個(gè)部分。我們知道力學(xué)中的功能關(guān)系分析是第七章教材能量問題的基本線，是主干，是引導(dǎo)，運(yùn)用功能關(guān)系的第一步系統(tǒng)選擇來解決力學(xué)問題成為解決該問題的關(guān)鍵所在。教材以動(dòng)能定理引入功能關(guān)系（動(dòng)能定理：力在一個(gè)過程中對(duì)物體做的功，等于物體在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化）[1]，動(dòng)能定理的研究對(duì)象只能是單個(gè)物體，如果研究的不僅僅是單個(gè)物體而是系統(tǒng)，對(duì)功能原理加深理解就是外力和非保守力所做功之和等于機(jī)械能的增量[2]，可表示為ΣW外+ΣW非保內(nèi)=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1）=Δ（Ek+Ep）=ΔE。如果外力和非保守力做功為零，此系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

在解決力學(xué)問題上，機(jī)械能守恒定律只適用于慣性參考系，且物體的位移、速度必須相對(duì)同一慣性參考系。但在解決實(shí)際力學(xué)問題中，當(dāng)外力和非保守力做功或其代數(shù)和不為零時(shí)，機(jī)械能守恒的條件是無法嚴(yán)格滿足的，這是因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)時(shí)總要受到空氣阻力和摩擦力等非保守力的作用，并始終做功，因而系統(tǒng)的機(jī)械能要改變，但是當(dāng)摩擦力等非保守力的功同機(jī)械能相比可忽略不計(jì)時(shí)仍可用機(jī)械守恒定律來處理問題。在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)，我們所討論的只是機(jī)械能（或動(dòng)能和勢(shì)能），可知，只有外力做的功ΣW外和非保守內(nèi)力做的功ΣW非保內(nèi)才會(huì)引起機(jī)械能的改變。機(jī)械能守恒定律是功能關(guān)系的特例，在這類問題中，系統(tǒng)選擇很重要。

3.功能關(guān)系系統(tǒng)選擇的重要性。我們知道，要解開一團(tuán)線，找到線頭是極為重要的。要功能關(guān)系簡潔地解一道力學(xué)題，第一步最重要。運(yùn)用功能關(guān)系解決力學(xué)問題的第一步就是對(duì)于研究系統(tǒng)的正確選定，這是功能關(guān)系中問題分析的關(guān)鍵所在。要順利解決問題，首先要選擇恰當(dāng)?shù)难芯肯到y(tǒng)，明確外界與系統(tǒng)之間的做功情況，通過分析外力、非保守內(nèi)力和保守內(nèi)力的做功，從而找出它們之間的內(nèi)在的聯(lián)系。這樣就能快速、正確、簡潔地解決你需要解決的問題。

以上分析可以看出，能量、功能關(guān)系、系統(tǒng)選擇之間的關(guān)系環(huán)環(huán)相扣，缺一不可。正確地選擇系統(tǒng)，可以避免很多的不必要的麻煩，盡量選擇包含保守力的系統(tǒng)，這樣保守力做功可以直接通過勢(shì)能變化量來表示，使功能關(guān)系的表達(dá)式物理意義更加清楚明了。同時(shí)有利于問題的簡化，更加突出物理意義，這對(duì)于我們用物理思維解決力學(xué)問題有導(dǎo)航的意義和作用。

為了加深對(duì)功能原理系統(tǒng)選擇的深入理解，我們通過具體實(shí)例來說明如何運(yùn)用功能原理解決力學(xué)問題。

二、系統(tǒng)選擇在功能關(guān)系中的案例解析

案例1：如圖1所示，一個(gè)勁度系數(shù)為k的彈簧上端固定，下端掛了一質(zhì)量為m的物體，先用手托住，使彈簧保持原長。設(shè)x軸向下為正，取彈簧原長處為坐標(biāo)點(diǎn)o。

若將物體拖住緩慢放下，到達(dá)靜止時(shí)，彈簧的伸長量x1是多少？

若將物體突然放手，物體到達(dá)最低位置時(shí)，彈簧的伸長量x2是多少？

分析：研究對(duì)象是一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)選擇系統(tǒng)的不同，所列出的關(guān)系式包含的意義也不同，我們以下列所選的系統(tǒng)舉例列出以下列物體為系統(tǒng)時(shí)的功能關(guān)系式：

1.m，k，地球；2.m，地球。

（1）由于是緩慢放下，物體在整個(gè)下落過程中可以近似為是受力平衡的。

①以m，k，地球作為系統(tǒng)。在下落的過程到達(dá)o點(diǎn)（平衡位置）時(shí)靜止，在這個(gè)狀態(tài)下物體（外力）不做功，這時(shí)m只受到豎直向下的重力和豎直向上的彈力，它們?cè)谶@里只扮演內(nèi)力的角色。

②以m，地球作為系統(tǒng)。靜止時(shí)，重力是m的內(nèi)力，因?yàn)槠胶?，彈力在這個(gè)系統(tǒng)充當(dāng)了外力。

小結(jié)：以m，k，地球作為系統(tǒng)時(shí)，在靜止?fàn)顟B(tài)下物體（外力）不做功，這時(shí)m只受到豎直向下的重力和豎直向上的彈力，要給高一的學(xué)生區(qū)分外力在這個(gè)時(shí)候是一個(gè)內(nèi)力的角色是不容易的，他們的物理知識(shí)容量還沒有達(dá)到那個(gè)層次，很容易和之前的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生混亂。

在選擇以m，地球作為系統(tǒng)的過程中，重力主要是地球吸引力的作用下所產(chǎn)生的，在這個(gè)系統(tǒng)中的重力是一個(gè)內(nèi)力，高中一年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過重力是保守內(nèi)力知識(shí)點(diǎn)，不用過多的解釋，不容易造成混亂，因此，在這個(gè)系統(tǒng)中理解這個(gè)案例的問題以及解題思路和所列出的關(guān)系式比較容易讓讀者（學(xué)者）接受。

（2）設(shè)彈簧原長處于重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，且此時(shí)物體靜止，因此，該狀態(tài)系統(tǒng)機(jī)械能為零。

①以m，k，地球作為系統(tǒng)。突然放手，這時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，系統(tǒng)在m下落的過程中彈力這個(gè)外力做功和非保守內(nèi)力重力做功都為零，機(jī)械能為零，以o處為零勢(shì)能點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒，最低位置靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)能為零，兩狀態(tài)機(jī)械能相等。

當(dāng)以m，k，地球作為系統(tǒng)。突然放手，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，在物體運(yùn)動(dòng)的過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，機(jī)械能為零，靜止?fàn)顟B(tài)，動(dòng)能為零，兩位置點(diǎn)機(jī)械能守恒。在這個(gè)系統(tǒng)中很容易理清運(yùn)動(dòng)關(guān)系得出精確的關(guān)系式。而以m，地球作為系統(tǒng)靜止時(shí)，左邊，彈力就要充當(dāng)外力的角色，并且外力做了功，等于右邊動(dòng)能的變化，而右邊是靜止，動(dòng)能為零，重力為保守力，機(jī)械能的增量，關(guān)系式可以列出來，但這個(gè)關(guān)系式用物理理論是不可以相等的，是說不通的。因此，合理地選擇系統(tǒng)很重要。

案例2：如圖2所示，在水平桌面上放在質(zhì)量為M的木塊，M的一端與勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，并固定在墻上，另一端經(jīng)輕滑輪與下垂的重物質(zhì)量為m的C相連，設(shè)M與桌間摩擦系數(shù)為μ，其余為光滑接觸，開始時(shí)M靜止于平衡位置，求當(dāng)m下降距離為d的速率為ν有多大？[2]

分析：這個(gè)題目整個(gè)系統(tǒng)包含了重力、彈力、摩擦力做的功及機(jī)械能的變化，我們以下列所選的系統(tǒng)舉例列出以下列物體為系統(tǒng)時(shí)的功能關(guān)系式：

1.M，m；2.M，m，k，地球；3.M，m，k；4.M，m，地球。

根據(jù)功能原理和題目所要求的四類系統(tǒng)，可分別得出如下關(guān)系式：

①以M和m作為系統(tǒng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，內(nèi)力和外力的確定與所選取的系統(tǒng)有關(guān)，顯然在這個(gè)系統(tǒng)中重力、彈性力均為外力，摩擦力做的功可視為系統(tǒng)的外力負(fù)功，可得到外力做功之和等于機(jī)械能的增量。

②當(dāng)以M、m、k和地球作為系統(tǒng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這時(shí)候的重力和彈性力以內(nèi)力的角色出現(xiàn)，外力就只有摩擦力，可得到摩擦力做的功就等于整個(gè)機(jī)械能的增量減去內(nèi)力做的功。

③當(dāng)M、m、k作為系統(tǒng)時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)外的重力和摩擦力顯然是外力，我們知道外力做的功等于機(jī)械能的增量減內(nèi)力做的功，由題目可知彈性內(nèi)力做的功是負(fù)功。

④當(dāng)M，m，地球?yàn)閰⒖枷?，也就是把重力就作為?nèi)力，這個(gè)時(shí)候彈性力，摩擦力做的功就是外力做功。

在這里我們需要注意的是，系統(tǒng)內(nèi)保守力做的功的量值與其相應(yīng)的勢(shì)能增量是相同的，在功能關(guān)系中決不可重復(fù)計(jì)入。如④式中，重力作為內(nèi)力角色其勢(shì)能變化已在等式右方考慮，等式左方就不得計(jì)入，并且彈性力作為外力做功已在等式左方考慮，等式右方就不得重復(fù)入內(nèi)。

從以上分析中，將M，m，k，地球看作一個(gè)系統(tǒng)物理意義更加明顯，系統(tǒng)中重力和彈力變?yōu)閮?nèi)力，由于它們?yōu)楸Ｊ亓?，其做功可以通過重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的改變來表征，系統(tǒng)只有摩擦力為外力，其做的功可以表達(dá)為整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能的增量。使表達(dá)表達(dá)更加清楚明了，避免了重力和彈力做功的重復(fù)計(jì)入的混亂。

三、小結(jié)

在人教版普通課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修2（2010年4月第三版）中可知機(jī)械能守恒定律只適用于慣性參考系，如果系統(tǒng)選擇不同，在一個(gè)系統(tǒng)適用的機(jī)械能守恒定律在另一個(gè)系統(tǒng)中則不一定機(jī)械能守恒，通過以上案例，我們可以看出，以不同的系統(tǒng)為參考系，則作用力的性質(zhì)是不同的，在一個(gè)系統(tǒng)中的內(nèi)力在另一個(gè)系統(tǒng)中可能為外力，表達(dá)式中這個(gè)力作用的涵義就不同。教師在講解力學(xué)中功能關(guān)系問題（適用于高中一年級(jí)學(xué)生）時(shí)，在系統(tǒng)完全確定后，等式左面部分代表外力和非保守力做的功，右面為機(jī)械能的增量。因此系統(tǒng)的選擇直接影響功能關(guān)系的表達(dá)式，我們?cè)谶x擇系統(tǒng)時(shí)，盡量選擇包含保守力的系統(tǒng)，這樣保守力做功可以直接通過勢(shì)能變化量來表示，使功能關(guān)系的表達(dá)式物理意義更加清楚明了。同時(shí)有利于問題的簡化，更加突出物理意義。

系統(tǒng)的選擇，對(duì)應(yīng)了不同的功能關(guān)系，深刻理解系統(tǒng)選擇，對(duì)很好地理解功能關(guān)系以及發(fā)散思維是很有優(yōu)勢(shì)的，因此在解題過程中教師可以適當(dāng)擴(kuò)展，指出系統(tǒng)選擇的重要性。

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