蔣國芳

【摘 要】《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》首次將義務(wù)教育課程劃分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程兩大類。其中，拓展課程建設(shè)是我省深化基礎(chǔ)教育改革的重要內(nèi)容，也是此次改革的亮點(diǎn)。本文介紹了深化課改的背景，明確了何為拓展課程及其和課堂教學(xué)拓展之間的區(qū)別，并結(jié)合自身參與學(xué)校數(shù)學(xué)拓展課程建設(shè)的經(jīng)歷，提出了初中數(shù)學(xué)拓展的原則和途徑，以期為各學(xué)校貫徹數(shù)學(xué)拓展課程建設(shè)提供一些建議。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；拓展課程；原則及途徑

一、背景介紹

今年3月，省教育廳出臺《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》?！兑庖姟吩趪艺n程、地方課程、校本課程的三級課程分類的基礎(chǔ)上，首次從教育功能的層面將義務(wù)教育課程劃分成基礎(chǔ)性課程和拓展性課程兩類。拓展性課程的提出和建設(shè)，將在落實(shí)義務(wù)教育基礎(chǔ)性、全面性和公平性的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化學(xué)生的個性化發(fā)展。此舉是深化現(xiàn)階段義務(wù)教育課程改革的重要舉措，既是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、全面提高國民素質(zhì)的迫切要求，也是總結(jié)和推廣本世紀(jì)初開始的義務(wù)教育課程改革先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)需要，更是對我省深化高中課程改革，尤其是去年9月開始實(shí)施的高考招生制度改革的一種呼應(yīng)。

二、基本問題

作為深化義務(wù)教務(wù)課程改革的試點(diǎn)學(xué)校，我校數(shù)學(xué)教研組在校領(lǐng)導(dǎo)的帶領(lǐng)和支持下，積極響應(yīng)號召，于本學(xué)期開始嘗試展開初中數(shù)學(xué)拓展課程教學(xué)的探索。

（一）何為拓展課程

在初步探索階段，首先明確什么是拓展課程。按照《意見》的表述，基礎(chǔ)性課程指國家和地方課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的統(tǒng)一學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展性課程則指學(xué)校自主開發(fā)開設(shè)、供學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容。《意見》還將拓展性課程分為知識拓展、體藝特長、實(shí)踐活動等三大類。其中，知識拓展類課程是基礎(chǔ)性課程的延伸、應(yīng)用和整合，這類課程應(yīng)基于地方文化和學(xué)科核心素養(yǎng)，旨在拓展學(xué)生的知識面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。據(jù)此，筆者認(rèn)為初中數(shù)學(xué)拓展課程可作如下定義：即以學(xué)校為教研主陣地，以初中數(shù)學(xué)課程知識為載體，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義空間、文化內(nèi)涵、生活底蘊(yùn)中去延伸和開拓，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為核心的數(shù)學(xué)知識拓展型課程。

（二）拓展課程與課堂教學(xué)拓展

弄清楚拓展課程和課堂教學(xué)拓展的差異，有助于更好地理解拓展課程的地位，更為深入地貫徹實(shí)施深化教育改革要求。數(shù)學(xué)拓展課程作為基礎(chǔ)性課程的補(bǔ)充，應(yīng)當(dāng)是擁有包含指導(dǎo)思想、教學(xué)原則、課程實(shí)施、課程評價、條件保障在內(nèi)，既聯(lián)系數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，又具有相對獨(dú)立性的課程體系。而數(shù)學(xué)課堂教學(xué)拓展是基于某一堂數(shù)學(xué)課而言，是指在課堂教學(xué)過程中依據(jù)該堂課的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)，在一定范圍和深度上同外部相關(guān)的內(nèi)容密切聯(lián)系起來的教學(xué)活動，屬于基礎(chǔ)性課程的范疇。數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)和實(shí)施，將有效緩解現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程統(tǒng)一學(xué)習(xí)內(nèi)容過多、過分強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)性、對學(xué)生興趣培養(yǎng)和個性發(fā)展不夠重視的問題。

三、拓展原則

省教育廳辦公室發(fā)布的關(guān)于建設(shè)拓展課程的意見中指出，拓展課程應(yīng)滿足多樣性、層次性、綜合性和實(shí)踐性四個基本原則。數(shù)學(xué)拓展課程的建設(shè)首先需要滿足上述四條拓展課程的共性，同時，筆者認(rèn)為，因數(shù)學(xué)學(xué)科的個性，還需要具體分析具體制定數(shù)學(xué)拓展課程的相關(guān)原則。本學(xué)期以來，筆者所在學(xué)校的數(shù)學(xué)教研組積極嘗試數(shù)學(xué)拓展課程的開發(fā)和實(shí)踐。筆者根據(jù)自身參與數(shù)學(xué)拓展課程觀摩與交流的經(jīng)歷，結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對數(shù)學(xué)拓展課堂建設(shè)提出以下三個原則。

（一）橫向拓展，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識不是孤立的存在。表現(xiàn)有二：某個知識往往前有鋪墊后有延伸，前后知識逐步遞進(jìn)、有序展開；不同知識間也存在聯(lián)系，例如數(shù)形結(jié)合。數(shù)學(xué)知識相互關(guān)聯(lián)，橫向交織，形成網(wǎng)絡(luò)。因而在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)拓展課程時，可利用現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程尚未涉及，且符合中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)的內(nèi)容進(jìn)行橫向拓展?？梢哉业交A(chǔ)性課程的延伸內(nèi)容或者跨界聯(lián)系的知識點(diǎn)所在，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。例如，我們在進(jìn)行完全平方公式的證明時，在完成了基礎(chǔ)性知識的教學(xué)任務(wù)后，可以利用數(shù)學(xué)拓展課堂適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想，并結(jié)合一些簡單的練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化，幫助學(xué)生進(jìn)行知識的橫向遷移。橫向且正向?qū)W習(xí)遷移可以為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到良好的鋪墊作用。

（二）縱向拓展，深化知識理解

所謂縱向，從內(nèi)容的難度和學(xué)習(xí)層次的深度上說。就難度而言，最近發(fā)展區(qū)理論認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)當(dāng)適時為學(xué)生提供有難度的內(nèi)容，促使學(xué)生“跳一跳，摘桃子”。數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)當(dāng)基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程，并根據(jù)班級學(xué)生的學(xué)情制定稍難的學(xué)習(xí)任務(wù)，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的縱向拓展，幫助學(xué)生深化理解基礎(chǔ)性課程中的知識。就深度而言，新課標(biāo)認(rèn)為學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程。因而拓展性課程的一個重要任務(wù)和使命，就是通過設(shè)置動手實(shí)踐、自主探索與合作交流等活動，引導(dǎo)學(xué)生追問為什么、探究還有什么以及還能怎么樣，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂趣，挖掘出知識背后的“所以然”。這在一定程度上可以彌補(bǔ)基礎(chǔ)性課程對數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練不足的缺陷，也能夠通過恰當(dāng)?shù)奶骄拷鉀Q數(shù)學(xué)能力較好學(xué)生“吃不飽”的問題。

（三）課外拓展，課堂聯(lián)系生活

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教育作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，不僅要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的邏輯推理和創(chuàng)新思維方面的作用，更要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能。因而數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)當(dāng)充分考慮到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用性和實(shí)踐性，并以之為方向朝課外和生活拓展，也朝學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)拓展。目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)仍以班級授課制為主，筆者認(rèn)為，在傳統(tǒng)的以班級為單位的組織形式下展開拓展課程，可以引進(jìn)生活中的一些值得思考的、學(xué)生們正在經(jīng)歷或?qū)?jīng)歷的數(shù)學(xué)問題，例如銀行存款利率中的數(shù)學(xué)問題、手機(jī)套餐方案選擇問題。跳出班級授課制的制約，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)學(xué)校、走進(jìn)社區(qū)、走進(jìn)企業(yè)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題則更值得嘗試。我們可以組織學(xué)生展開以小組為單位的專題調(diào)研、社會實(shí)踐活動，讓學(xué)生在給定目標(biāo)下，設(shè)計(jì)解決問題的方案，進(jìn)一步體驗(yàn)分析問題和解決問題的過程，發(fā)展應(yīng)用意識和能力。

四、拓展途徑

根據(jù)上述數(shù)學(xué)拓展課程的原則，筆者結(jié)合自身數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)，提出以下三條數(shù)學(xué)拓展課程的可能途徑。

（一）將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)拓展課程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在新的時代背景下，除了堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的應(yīng)用性、工具性，也應(yīng)當(dāng)關(guān)注數(shù)學(xué)的人文性。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的人文向度的重要表現(xiàn)。20世紀(jì)70年代興起的HPM研究大力提倡數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，其諸多教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合能夠有效的激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美，從而構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁。我國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國際研討會議自2005年舉辦第一屆以來，連續(xù)五屆大會都把如何將數(shù)學(xué)史融入中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量作為會議的主要議題。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）也指出，數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)教育的組成部分，應(yīng)當(dāng)滲透在教學(xué)中。而數(shù)學(xué)史恰恰是數(shù)學(xué)文化的重要載體，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分。然而長久以來，我國的初中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)解題教學(xué)，數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有得到應(yīng)有的重視，從而忽視了培養(yǎng)學(xué)生從整體、宏觀認(rèn)識數(shù)學(xué)思想體系、文化內(nèi)涵和美學(xué)價值。因此，作為基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程的深化，數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用給予充分重視。

如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)拓展課程的教學(xué)設(shè)計(jì)？筆者查閱了相關(guān)資料，作了一番總結(jié)與思考。

（1）講授數(shù)學(xué)知識的歷史發(fā)展及演變歷程。例如在學(xué)習(xí)函數(shù)這一初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)板塊時，對于剛剛接觸函數(shù)的初中學(xué)生來說，對函數(shù)概念的發(fā)展史，雖然不可能有較深的理解，但函數(shù)的演變史無疑對加深理解課堂知識、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣是有益的。又如在學(xué)習(xí)從自然數(shù)到有理數(shù)這一板塊時，可以通過對“數(shù)的理論體系”發(fā)展的漫長歷程的展示，揭示數(shù)學(xué)不是靜止而是動態(tài)的，不是絕對的而是在猜想和證明中不斷發(fā)展進(jìn)化的。從中展示出人類探索數(shù)學(xué)奧秘的決心和毅力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的熱情。

（2）利用數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)研究的奇聞軼事形成激勵。帕斯卡爾16歲奠基射影幾何，牛頓22歲發(fā)現(xiàn)一般二項(xiàng)式定理，高斯18歲時發(fā)明了用圓規(guī)和直尺作正17邊形的方法；陳景潤艱辛付出完全靠紙筆和腦袋證明哥德巴赫猜想中的“1+2”，華羅庚克服貧寒困苦終有所成，陳省身作為現(xiàn)代微分幾何的開拓者被楊振寧譽(yù)為繼歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當(dāng)之后又一里程碑式的人物……在數(shù)學(xué)拓展課程的教學(xué)中，有意識地給學(xué)生介紹歷史上有名的國內(nèi)外數(shù)學(xué)家治學(xué)的故事，將會帶給學(xué)生莫大的激勵。同時從他們治學(xué)的挫折和失敗的經(jīng)歷中揭示在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)困難是正常的，以此幫助學(xué)生樹立對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，幫助學(xué)生克服畏難心理。

（3）古為今用洋為中用，巧解歷史上的數(shù)學(xué)問題。歷史上的數(shù)學(xué)問題為數(shù)學(xué)拓展課程提供了豐富的教學(xué)資源，有許多可以直接用于當(dāng)下的數(shù)學(xué)拓展課程。例如在講授概率這一板塊時，在數(shù)學(xué)拓展課上引入數(shù)學(xué)史上有名的“點(diǎn)數(shù)問題”：“若有甲乙兩人（賭技相當(dāng)）各出賭金 96 金幣，規(guī)定必須要贏 3 場者才能贏得全部賭金 192 金幣，但比賽中途因故終止，此時甲、乙勝局?jǐn)?shù)為 2：1.問：此時應(yīng)如何分配賭金？”十五世紀(jì)到十七世紀(jì)共有五位數(shù)學(xué)家各自提出了自己的解法，教師可先出示題目并引導(dǎo)以小組為單位進(jìn)行交流和解題，相繼出示歷史上數(shù)學(xué)家的解法，同學(xué)們可能會因?yàn)樽约旱慕夥ê蜌v史上的解法的一致性而興奮不已。又如在引導(dǎo)學(xué)生用圖形直觀證明（a+b）2 =a2+b2 +2ab時，向?qū)W生介紹歐幾里得《幾何原卷》中的命題，如下圖：

另外，《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題，《九章算術(shù)》中的應(yīng)用題，希臘三大幾何難題等都可以成為數(shù)學(xué)拓展課程的資源。歷史上的數(shù)學(xué)問題及其解法對于今天的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是一種資源支持，更可以讓學(xué)生通過思考與古代數(shù)學(xué)思想發(fā)生思維的碰撞。在一次HPM的教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，老師選取20名11—12歲的學(xué)生，先讓他們獨(dú)立完成選自于16世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)教材中的三個題目，然后介紹原書上的解法。實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生對歷史上的方法產(chǎn)生了濃厚的興趣，為自己的解法與歷史方法的一致性而感到高興，也了解到了數(shù)學(xué)問題解法的多樣性，并比較了解法的優(yōu)劣，建立了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信?？傊?，數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的背景知識，數(shù)學(xué)研究的科學(xué)精神，是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)拓展課程建設(shè)的寶貴資源。

（二）利用拓展課集中講授數(shù)學(xué)思想和方法

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容大致由兩個部分組成：表層知識和深層知識。表層知識主要包括概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。深層知識是數(shù)學(xué)的精髓，它起著支撐和統(tǒng)率表層知識的作用。筆者在多年的教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，出于教學(xué)考核的需要，教師往往不得不在表層知識上花大量時間對學(xué)生進(jìn)行機(jī)械的訓(xùn)練使得學(xué)生“做對”，以獲取更高的分?jǐn)?shù)。訓(xùn)練是必不可少的，因?yàn)閺?qiáng)化是數(shù)學(xué)技能習(xí)得的重要手段，但僅僅為了“做對”而進(jìn)行的強(qiáng)化于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展而言并不能起到很好的作用，反而枯燥機(jī)械的重復(fù)會削弱學(xué)生在數(shù)學(xué)上的興趣和創(chuàng)造力。比如有的學(xué)生在一些熟悉的題目上游刃有余，但是題目稍微一變形就束手無策，分?jǐn)?shù)落差巨大，究其原因在于，學(xué)生沒有真正獲取蘊(yùn)含在題目中的深層知識。我們教師不僅要讓學(xué)生“做對”，還要讓學(xué)生“會做”，這就需要教師在基本知識和基本技能的教學(xué)過程中，不斷地滲透與之相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，即深層知識，讓學(xué)生在掌握兩基的同時領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想和方法的統(tǒng)領(lǐng)性，繼而表里結(jié)合，高屋建瓴，占領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的制高點(diǎn)，不斷提高數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。根據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011），初中階段的基本數(shù)學(xué)思想主要包括歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合等，基本方法主要指待定系數(shù)法、消元法、配方法、換元法、圖象法等。初中數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)教材里都有具體涉及但缺乏系統(tǒng)性；數(shù)學(xué)思想散于教材和練習(xí)中，需要經(jīng)過一定的歸納總結(jié)和強(qiáng)化才能夠較好地為學(xué)生所理解和吸收，因而，筆者認(rèn)為，可以利用為數(shù)不多的數(shù)學(xué)拓展課程將平日里零碎的、未經(jīng)總結(jié)和強(qiáng)化的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行一番梳理，通過練習(xí)和強(qiáng)化幫助學(xué)生內(nèi)化思想方法。如何將數(shù)學(xué)思想和方法融入數(shù)學(xué)拓展課程的設(shè)計(jì)呢？在同樣將拓展課程納入義務(wù)教育階段課程組成部分的上海，一項(xiàng)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維較好的學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐研究或許能夠給我們提供一定的借鑒：

課題組通過梳理相關(guān)文獻(xiàn)和教學(xué)實(shí)踐研究證明初中數(shù)學(xué)方法和思想的運(yùn)用對于數(shù)學(xué)思維水平稍低的初中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)成績提高無明顯效果，但對中等以上特別是將升入高一級學(xué)校繼續(xù)深造的學(xué)生有明顯效果。課題組首先在一所開設(shè)拓展課程的中學(xué)建立數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用探究班。而后使用自編教材《初中數(shù)學(xué)方法80講——六 、七年級使用》和《初中數(shù)學(xué)方法120講——八、九年級使用》對探究班的學(xué)生進(jìn)行每周一節(jié)數(shù)學(xué)思想方法課的拓展訓(xùn)練，并以該班為案例總結(jié)經(jīng)驗(yàn)而后推廣至50多所學(xué)校。研究結(jié)果表明，使用《120講》的學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)中考成績及高分段比例有了明顯的提高。這讓筆者有了一定的思考，并得到一定的啟示：

（1）數(shù)學(xué)思想方法類的拓展課程更適合采用分層教學(xué)的方式。之所以選擇數(shù)學(xué)思維能力較好的學(xué)生參加探究班級是基于相關(guān)研究的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，基礎(chǔ)知識和基本技能較為薄弱的學(xué)生可能難以在較高層次上得到鍛煉，反而可能因此打亂原有的知識結(jié)構(gòu)，失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。因而，將數(shù)學(xué)思想和方法集中在數(shù)學(xué)拓展課程進(jìn)行講授可以嘗試用“分層教學(xué)”的方式，這也是《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》所鼓勵嘗試的。但是實(shí)施分層教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循“學(xué)生自愿、教師走教、動態(tài)分層”的原則，切忌簡單地以學(xué)科成績分“快慢班”。

（2）學(xué)校應(yīng)當(dāng)積極籌備數(shù)學(xué)思想和方法教學(xué)的資源，包括師資團(tuán)隊(duì)建設(shè)、教學(xué)材料的準(zhǔn)備。目前還沒有一本教輔或教師參考用書對初中數(shù)學(xué)主要思想和方法進(jìn)行專門梳理和總結(jié)并成冊，因而這給學(xué)校教師發(fā)揮自身教科研能力、自主開發(fā)校本教材提供了很大的空間。上述例子中的兩本《120講》即為學(xué)校教師自主編寫的校本教材。有條件的學(xué)校還可以聯(lián)合區(qū)內(nèi)學(xué)校教師，利用集體智慧編寫適合全區(qū)學(xué)生使用的相關(guān)教材。這或許需要一個過程，需要多方支持，但是相信一旦編寫出相關(guān)教材將會受益無窮。

“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時隨地的發(fā)生作用，使人終身受益?！睂?shù)學(xué)思想和方法融入數(shù)學(xué)拓展課程不論對學(xué)生個人還是對學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)，都會大有裨益。

（三）開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用與探究型拓展課程

數(shù)學(xué)應(yīng)用與探究型課程的范圍很廣。既包括課堂內(nèi)為了分析某個數(shù)學(xué)問題、弄清某個數(shù)學(xué)現(xiàn)象而展開的合作交流與探究，也包括課堂外以數(shù)學(xué)為載體展開的資料搜集和調(diào)研。數(shù)學(xué)應(yīng)用與探究型拓展課程著眼于培養(yǎng)學(xué)生的方案設(shè)計(jì)選擇能力、信息搜集和處理的能力、問題分析和解決的能力、與人交流與合作的能力。新課程理念強(qiáng)調(diào)教學(xué)以學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活和已有經(jīng)驗(yàn)為學(xué)習(xí)背景，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用和探究型拓展課程也應(yīng)當(dāng)聯(lián)系學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活中找素材形成可供探究的內(nèi)容，提高學(xué)生動手、實(shí)踐、思考、探索、閱讀自學(xué)和合作的能力。筆者從空間范圍的角度將這類數(shù)學(xué)拓展課程分為兩種：課堂內(nèi)的拓展和走出課堂的拓展。

1.課堂內(nèi)的拓展

在筆者所在的學(xué)校，不少數(shù)學(xué)教師已經(jīng)開始嘗試拓展課程的教學(xué)。有的教師以《銀行存款中的利率問題》為一堂數(shù)學(xué)拓展課的主題，將生活中的利率問題引進(jìn)課堂，通過引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)存款方案、比較優(yōu)化不同方案的活動，體會數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用的廣泛性和科學(xué)性，收到了良好的效果。教師首先向?qū)W生展示一張杭州銀行的存單，通過觀察存單的活動引導(dǎo)學(xué)生了解存單上有哪些信息，接著結(jié)合學(xué)生的表述借機(jī)完整介紹存款方式、本金、利息和利率等概念。在學(xué)生對以上基本概念有一定的了解后，引導(dǎo)學(xué)生得出以下公式：

①利息=本金*利率*存期。

②本息和=本金+利息。

接著教師創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生自主存款，通過填寫空白存單的活動，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用利息計(jì)算方式。教師假設(shè)一年后取出存款，再次引導(dǎo)學(xué)生在“存兩年定期”和“存一年再轉(zhuǎn)存一年”這兩種方式中通過計(jì)算選擇存款收益更多的方式，對存款的方案進(jìn)行優(yōu)化。最后教師引導(dǎo)學(xué)生放眼儲蓄存款以外的理財方式，將知識延伸到課堂之外，將課堂和實(shí)際相聯(lián)系起來。以上教學(xué)設(shè)計(jì)的最大亮點(diǎn)在于，這位老師將數(shù)學(xué)教材中有關(guān)利率的知識進(jìn)行了拓展和遷移，將學(xué)生的視線引到生活情境中，形成了“創(chuàng)設(shè)問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——對所建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋與應(yīng)用”的課堂教學(xué)模式。本堂數(shù)學(xué)拓展課集應(yīng)用性和探究性為一體，充分鍛煉了學(xué)生實(shí)踐、探索、思考、合作的能力。

另一位教師則以橋牌為拓展課程的主題，將課程合理有序地安排在一個學(xué)期，使用自編的講義用11個課時完成了橋牌的課堂趣味教學(xué)。其主要安排如下：

講義一

就內(nèi)容而言，該教師對橋牌的講解由淺入深，將理論上的方法及原則同學(xué)生具體的實(shí)踐操作相結(jié)合。為了不破壞教學(xué)設(shè)計(jì)的完整性，筆者選取講義一的部分內(nèi)容為例：

001.【何為橋牌】橋牌集思維、分析、計(jì)算、推理于一身，是國際比賽項(xiàng)目。我國男女選手在世界上均有很高的水平。中學(xué)生完全有必要對橋牌有一個比較好的了解。

002.【橋牌打法】你和對家是朋友，聯(lián)合起來與另兩家作戰(zhàn)。使用統(tǒng)一的叫牌法（后學(xué)），使用獨(dú)立的坐莊技術(shù)（后學(xué)），使用聯(lián)合的防守手段（后學(xué)），進(jìn)行游戲或者比賽。

003.【橋牌基本規(guī)則】一副撲克54張，去掉2張Joker共52張。分4門花色各13張（從A，K，Q，J， 10，9，8，7，6，5，4，3，2）。請按花色理好，記號：黑桃S，紅桃H，方塊D，草花C.為相對橋牌有一個強(qiáng)弱之分，規(guī)定A記4點(diǎn)，K記3點(diǎn)，Q記2點(diǎn)，J記1點(diǎn)，其余不計(jì)。當(dāng)一手牌?12點(diǎn)時，理解為較好，可以開叫。當(dāng)一手牌?7點(diǎn)時，理解為稍好，可以應(yīng)叫或者爭叫。

004.開叫。己方與敵方都沒有叫過牌，以新自然叫牌法（約定極少，比較自然）為準(zhǔn)，以下同。

筆者幾次觀摩橋牌拓展課，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對此十分投入，課間還不忘和同學(xué)就課堂內(nèi)容進(jìn)行交流和討論，可見以橋牌教學(xué)為主題的拓展課深受學(xué)生的歡迎。類似于橋牌的可供拓展的內(nèi)容還有很多，例如國際象棋，24點(diǎn)算法等。我們學(xué)校數(shù)學(xué)拓展課還開設(shè)了數(shù)學(xué)未來領(lǐng)袖、懂點(diǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)等。筆者也了解到在杭州市下城區(qū)的一些小學(xué)，教師將學(xué)生的視野引到校園中，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識計(jì)算物體表面積體積等，稱之為“數(shù)學(xué)步道”。還有的學(xué)校將學(xué)生圍成圓桌的合作探究形象地稱為“普羅米修斯的智慧桌”，這些也都是可供借鑒的方式。

（2）走出課堂的拓展。沒有空間和時間的限制，走出課堂的拓展可以有效地溝通和融合“課內(nèi)與課外”、“數(shù)學(xué)與生活”、“知識與能力”。將數(shù)學(xué)和實(shí)踐相結(jié)合形成數(shù)學(xué)課題研究是走出課堂的拓展的一種重要途徑。例如，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)手機(jī)服務(wù)商推出不同的服務(wù)套餐，這激發(fā)了他探究手機(jī)套餐搭配的興趣，并在同老師和同學(xué)的交流與合作中形成了《爸爸手機(jī)運(yùn)營商及套餐的選取和優(yōu)化》等研究；有同學(xué)對車牌號的編碼方式產(chǎn)生探究的欲望，通過上網(wǎng)搜集資料、實(shí)地采訪等形式形成《數(shù)學(xué)編碼在我市車牌號中的運(yùn)用》的研究報告。這些都是走出課堂的數(shù)學(xué)拓展課程的表現(xiàn)。

五、小結(jié)

在實(shí)際數(shù)學(xué)拓展課程的教學(xué)中，其原則和可使用的途徑與內(nèi)容還有許多，筆者的總結(jié)只是關(guān)于數(shù)學(xué)拓展課程原則和途徑的一種看法，當(dāng)然還有許多原則和途徑有待探究。在一堂數(shù)學(xué)拓展課上，講授的途徑和內(nèi)容也并不僅僅局限于某一種，而往往是多種途徑和內(nèi)容相結(jié)合。假設(shè)在課堂上強(qiáng)行“貼標(biāo)簽”似地講授數(shù)學(xué)史， 并不能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的功能，甚至學(xué)生可能會因?yàn)檫@些課程與“分?jǐn)?shù)” 無關(guān)， 而“抵制”學(xué)習(xí)；又假設(shè)我們一味地講數(shù)學(xué)思想則容易導(dǎo)致學(xué)生精力疲乏，事倍功半。數(shù)學(xué)拓展課程的教學(xué)也同樣如此，不管構(gòu)成數(shù)學(xué)拓展課程的途徑和內(nèi)容如何組合，都必須以“為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)”為宗旨。教師在拓展教學(xué)過程中要把握教學(xué)方向，思路合理，避免“為了拓展而拓展”。

數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程有機(jī)結(jié)合，它應(yīng)立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程所學(xué)的內(nèi)容，并有一定的超越，但始終是為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)和奠基的。只有從學(xué)生的角度出發(fā)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升著想，這樣的數(shù)學(xué)拓展課程才是有效的、適時適度的。因此在數(shù)學(xué)拓展課程的建設(shè)中，我們應(yīng)當(dāng)找準(zhǔn)學(xué)生所需，根據(jù)校情、學(xué)情制定符合學(xué)生認(rèn)知水平的拓展課程，付之以切實(shí)的行動進(jìn)行有效地拓展，使數(shù)學(xué)課程因拓展而生趣盎然，使學(xué)生因拓展而學(xué)有所獲。

參考文獻(xiàn)：

[1]浙江省教育廳.深化義務(wù)教育課程改革指導(dǎo)意見[S].2015.3.

[2]浙江省教育廳教研室深化義務(wù)教育課程改革調(diào)研組.浙江省深化義務(wù)教育課程改革啟動情況調(diào)研報告[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)管理），2015，Z2：3-8.

[3]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[4]陳加倉.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性課程的開發(fā)與實(shí)踐研究[J].課程教育研究，2013，06：41-43.

[5]呂秀俊.對新課標(biāo)下小學(xué)數(shù)學(xué)生活化的探究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2006，S2：224-226.

[6]馮振舉，楊寶珊.發(fā)掘數(shù)學(xué)史教育功能，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展——第一屆全國數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議綜述[J].自然辯證法通訊，2005，04：108-109.

[7]汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，01：16-18.

[8]張奠宙，鄭振初.“四基”數(shù)學(xué)模塊教學(xué)的構(gòu)建——兼談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，05：16-19.

[9]喬一鵬.培養(yǎng)智優(yōu)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2009，05：16-17.

[10]梁立士.初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式初探[J].中國數(shù)學(xué)教育，2011，23：10-12.