鄧秋芬

【摘要】本文通過具體實(shí)例分析，體驗(yàn)數(shù)學(xué)綜合題解法的探索、發(fā)現(xiàn)的一般途徑，進(jìn)而領(lǐng)悟并熟練地掌握整個(gè)思維結(jié)構(gòu)與各個(gè)具體的思維方法，從而改善并優(yōu)化自身的思維結(jié)構(gòu)，達(dá)到極大提高自身數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力的目的.

【關(guān)鍵詞】探索；變換；簡(jiǎn)化

很多學(xué)生解決單一數(shù)學(xué)問題比較拿手，遇到數(shù)學(xué)綜合問題往往就不知所措，如果能掌握正確的探索方法就可順利突破.本文著重從問題分細(xì)、問題變更、試探和猜想三個(gè)方面并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析展現(xiàn)如何探索數(shù)學(xué)綜合題的解題思路.

一、問題的細(xì)化——分解和迭加

在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)學(xué)生對(duì)于單一知識(shí)點(diǎn)的問題一般很容易解決，主要難在如何解決綜合性問題上.而綜合性問題大多由分屬不同數(shù)學(xué)模塊或同一模塊中不同部分的知識(shí)通過科學(xué)加工而有機(jī)地拼湊堆砌而成的，所以若能將綜合性問題細(xì)化，拆分成只涉及單一知識(shí)點(diǎn)的幾個(gè)小問題，便于聯(lián)想應(yīng)用相關(guān)概念、公式等的話，再難的問題都可以得到解決了.

那么如何將問題分解呢？按知識(shí)的縱橫組合劃分為縱向分解和橫向分解.縱向分解是把一個(gè)較難的復(fù)雜問題分解成幾個(gè)前后互相關(guān)聯(lián)的系列題，通常前一個(gè)小問題的結(jié)果是后一個(gè)小問題的條件，它的解決會(huì)影響到后面問題的解決，所以縱向分解的關(guān)鍵是正確尋找到將問題解決的中途點(diǎn).

例如 對(duì)于所有大于正數(shù)a的 x，不等式a+1a

分析 本題未給出確定的終極目標(biāo)，是探索性的結(jié)論，必須進(jìn)行探索，聯(lián)想涉及的函數(shù)模型：f（x）=x+1x（x>0），條件變?yōu)椋寒?dāng)x>a>0時(shí)有f（x）>f（a），從而本題轉(zhuǎn)化為當(dāng)f（x）=x+1x（x>0）是增函數(shù)時(shí)，求a的最小值.所以可以將本題分解為3個(gè)小問題來解決：1.求出函數(shù)f（x）=x+1x（x>0）的單調(diào)增區(qū)間；2.當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，有f（x）>f（a）？3.求a的最小值.

橫向分解與分歧點(diǎn)：在數(shù)學(xué)問題的解決中，由于對(duì)問題看法的不同而產(chǎn)生某些概念、性質(zhì)、定理的分類分歧，或產(chǎn)生對(duì)位置關(guān)系的分類研究，即常說的分類討論法，所以橫向分解的關(guān)鍵是如何做到不遺不漏.

二、問題的變更——變換與映射

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，在不同的數(shù)學(xué)分支內(nèi)往往具有種種不同的表達(dá)形式，相應(yīng)地也就有種種不同的處理方法，加之每個(gè)人掌握與運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理問題的熟練程度也不盡相同，所以我們要學(xué)習(xí)將一個(gè)問題轉(zhuǎn)換變更成我們自己所熟悉的等價(jià)形式，或映射到另一個(gè)領(lǐng)域去，無疑增大了解決問題的可能性.

1.問題的等價(jià)變換：可通過6種方式實(shí)現(xiàn)：等價(jià)件的替代，變量代換，不同的構(gòu)圖，不同的表述，恒等變換，逆否命題的等價(jià)關(guān)系.

例如 2010年高考江蘇卷：定義在區(qū)間0，π2上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2 ，則線段P1P2的長(zhǎng)為.

分析 設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為x0，則線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx0的值，“函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P”即6cosx0=5tanx0，問題就等價(jià)轉(zhuǎn)換為已知6cosx0=5tanx0，求sinx0.

2011年高考上海卷：在正三角形ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，若AB=3，BD=1，則AB·AD=.

分析 把AD用已知的AB和BC等價(jià)代換表示為AD=AB+13BC，再計(jì)算AB·AD的值就很容易了.

2.問題的映射：將在原來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中直接解決較為困難的問題設(shè)法映射到其他領(lǐng)域中去解決，最后將其結(jié)果反演回去.

例如 2014年永安市質(zhì)檢卷：若函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023.

分析 將函數(shù)f（x）映射到數(shù)列{an}，則{an}為等比數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為求{an}的前10項(xiàng)和.

3.問題的不等價(jià)變換：對(duì)于不存在等價(jià)變換的問題可以采用“消弱條件，再檢驗(yàn)”的方法進(jìn)行解決.

例如 已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a-1）x-3，在-32，2上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.

分析 本題開口可向上、向下，且對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置有三種情況，討論很麻煩！其實(shí)不妨消弱條件，可得最大值只可能在x=-32或x=2或x=1-2a2a處取得，假設(shè)f（2）=1或f-32=1或f1-2a2a=1，從中分別求出a值后再檢驗(yàn)即可.

三、合理試探與猜想

1.簡(jiǎn)化的引路作用：對(duì)于某個(gè)復(fù)雜的問題先從其某個(gè)簡(jiǎn)單的方面進(jìn)行探討，促發(fā)解題的靈感，從而找到解決這類問題的方法.

2.特殊的試探作用：從問題的極端情況入手去試探分析.

3.類比的引導(dǎo)作用.

4.大膽猜想——科學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本形式之一.驚世駭俗的猜想常導(dǎo)致某個(gè)科學(xué)理論的重大突破，所以我們要敢于大膽地進(jìn)行合理猜想.

總之，我們?nèi)绻跀?shù)學(xué)解題遇阻時(shí)能夠靈活運(yùn)用上面三種途徑進(jìn)行分析那么很多疑難問題都可順利解決，不妨一試.

三角函數(shù)易錯(cuò)題剖析三角函數(shù)易錯(cuò)題剖析

◎周山林 （四川綿陽(yáng)普明中學(xué) 四川綿陽(yáng) 621000）

一、 三角函數(shù)是高考必考內(nèi)容之一，同學(xué)們?cè)诮馊呛瘮?shù)題時(shí)，雖然三角公式已經(jīng)掌握，基本解題方法已經(jīng)熟悉，但是還會(huì)時(shí)常出錯(cuò)，下面就常見易錯(cuò)題進(jìn)行剖析.

例1 已知A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且cosA=35，sinB=513，求cosC的值.

錯(cuò)解 由cosA=35>0 得0

正解 由cosA=35>12得π3

由得由sinB=513<12，B∈（0，π）得0

由①②知0

錯(cuò)因：忽視隱含條件三角形內(nèi)角和定理，B不能為鈍角.事實(shí)上，由 sinB=513

例2 已知α，β ∈（0，π2）且cosα=55，cosβ=-1010，求α+β的值.

錯(cuò)解 由已知得sinα=252，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22，α+β∈（0，π），

∴α+β=π4或α+β=3π4.

正解 由α，β ∈0，π2，sinα=252，sinβ=31010，

得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-22，α+β∈（0，π），∴α+β=3π4.

錯(cuò)因 增解產(chǎn)生原因是對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)不熟悉：在區(qū)間（0，π）上正弦函數(shù)不單調(diào)，而余弦函數(shù)單調(diào)遞減，是單值對(duì)應(yīng)，所以選擇余弦函數(shù)不會(huì)產(chǎn)生增根.

二、同學(xué)們?cè)谧鋈呛瘮?shù)圖像變換題目時(shí)，由于概念模糊，對(duì)一些問題沒有深入分析，加上粗心大意，時(shí)常會(huì)出錯(cuò).

例3 要得到y(tǒng)=cos2x-π4 的圖像，只需將y=sin2x的圖像（ ）.

A.向左平移π4個(gè)單位

B.向右平移π4個(gè)單位

C.向左平移π8個(gè)單位

D. 向右平移π8個(gè)單位

錯(cuò)解 把y=sin2x向右平移π4個(gè)單位得y=sin2x-π4，故選B.

正解 ∵y=cos2x-π4=sinπ2+2x-π4=sin2（x+π8），∴選（C）

錯(cuò)因 不會(huì)使用公式cosα=sinπ2+α以改變函數(shù)名稱.

例4 要得到y(tǒng)=sin-12x的圖像，只需將y=sin-12x-π6的圖像 （ ）.

A.向左平移π3個(gè)單位 B.向右平移π3個(gè)單位

C. 向左平移π6個(gè)單位

D. 向右平移π6個(gè)單位

錯(cuò)解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x，∴選C.

正解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x-π3+π3= sin-12x，∴選B.

錯(cuò)因 平移口訣：“左加右減”是對(duì)x而言，不是對(duì)-12x 而言，因此一定要把x的系數(shù)提到括號(hào)外面去.其次，此題是已知y=sin-12x-π6的圖像求作y=sin（-12x）的圖像，這是一個(gè)逆向問題.