吳美容+張建國++姜葉乘

摘 要 《概率論與數理統(tǒng)計》課程內容抽象課程，學員缺乏興趣。案例教學法使《概率論與數理統(tǒng)計》課堂教學變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進學員對課程的深入理解，提高課堂效率，活躍數學思維，提高學習興趣，從而改善教學效果，提高教學質量。

關鍵詞 案例教學法 概率論與數理統(tǒng)計 課程教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

《概率論與數理統(tǒng)計》是一門從數量上研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性的科學。該學科與生活緊密聯系，是很多前沿學科的基礎，直接影響著我們的生活。但該課程普遍存在課程內容抽象、教學方式單一、授課過程枯燥、學員缺乏興趣等問題。很多學員都認為該課程的基本概念難以理解，對那些定理“從哪兒來，要到哪兒去”更是不解，解題的時候無從下筆，毫無頭緒，因而學員提不起興趣。基于這種狀況，我們從生活化和直觀化對概率論課堂教學進行改革，加強案例教學法，以使概率論與數理統(tǒng)計課堂教學變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進學員對概率論的深入理解，提高課堂效率，活躍數學思維，提高學習興趣，從而改善教學效果，提高教學質量。

案例教學法是指教員為達到教學目的，完成教學任務，根據學員的實際情況，精選案例，再課堂上組織學員對案例進行分析、討論和解答，提高學員的認知能力、綜合解答實際問題的能力，培養(yǎng)學員的創(chuàng)新能力和團隊協作能力。《化歸思想在概率論教學中的運用》討論了以連續(xù)型隨機變量的概率教學為例，探討化歸思想方法在數學專業(yè)課程教學中的運用?！对诟怕收撜n程的教學中培養(yǎng)學員能力的探討》總結了作者多年從事概率論教學的經驗，提出了培養(yǎng)學員觀察與分析能力、邏輯推理能力的一系列措施，包括恰當選擇教學內容、講授方式、思維方式的訓練等?！对诟怕收摰慕虒W中加強與實際的聯系》探討了教學與實際的聯系，由數學的特點決定，數學與實際的聯系，是數學發(fā)展的必然.在概率論教學中加強與實際的聯系，使學員樹立理論聯系實際的學風，提高對現實的認識，提高解決問題的能力?！陡怕收摻谭ǔ跆健吠ㄟ^《概率論》教學方法研究和教學實踐，總結出全概率公式和貝葉斯公式教法模式，取得較好的教學效果，深受學員歡迎。

1案例教學法的作用

俗話說興趣是最好的老師，有興趣，學習積極性自然高。案例教學法的使用，不僅能培養(yǎng)學員分析問題和解決問題的能力，而且能提高學員的創(chuàng)新能力與團隊協作能力。在課堂上注意觀察學員的表情，了解學員掌握內容的情況，盡量以幽默的語言幫助他們克服困難，鼓勵他們在聽不懂時不要過于急躁，帶他們走出畏難情緒。課堂上注意調節(jié)學習氣氛，調整課堂節(jié)奏，在每一節(jié)的內容講解完后，稍作停頓，讓學員理清思路，慢慢吸收，再接著給例題。關于講解例題的方式可以采用多種形式可以由教師講解，也可以與學員共同做，或先由學員討論，再講解，或是直接請學員作答，再總結，等等。總之，案例教學法注重學員能力的培養(yǎng)，提高學員的綜合素質。因此我們在教學過程中應增加案例教學，增強學員學習的積極性，使學員由怕學到樂意學，由被動接受到主動思考。

1.1抽象概念要以具體事物為依托

可以說數學是抽象的，正因為它抽象才有廣泛的應用，數學來源于實踐，是由實際問題升華出來。因此，要學習數學又害怕接觸抽象概念，正如學工程的人不愿接觸實際操作一樣，是無法學好的。在教學過程中，在講解概念中，始終要抓住概念的本質。

例如，講授概率的定義、性質和運算法則，首先考慮的是概率這個概念的直觀性，從日常生活中能感受到的現象出發(fā)，引導學員去發(fā)現新的規(guī)律，歸納出一個數學模型（或稱概率模型），而不能從抽象的東西談起。而講概率的加法公式和乘法公式時，引導學員將概率的加法公式和事件的加法的區(qū)別弄清楚，講清兩個加法公式和乘法公式，再引導學員自己推導多于兩個事件的加法公式和乘法公式，指出“容斥原理”即為加法公式所依托的思考方法。

1.2 提高學員應用數學的能力

數學本身就是實踐的抽象，正好案例還原了數學的應用性。這時數學就不再是抽象的符號，而是具體的問題。課堂上舉出日常體驗中容易引起人錯覺的例子可以激發(fā)學員的好奇心。例如同月同日出生是很難得的緣分嗎？先抽簽占便宜嗎？體檢時結果是陽性真的可怕嗎？這些問題留給學員去思考，讓他們課后去找出正確答案，激發(fā)學員的探究欲望。通過對這些直覺誤區(qū)的解決和澄清，學員對概率的認識也會得到相應的提高，同時培養(yǎng)了學員發(fā)現問題、分析問題和解決問題的能力。

當介紹基本概念時，盡量用通俗易懂的語言表述，同時配以直觀的圖示或者形象的例子。比如，隨機試驗是人們認識隨機世界的手段，隨機試驗的結果稱為隨機事件，如“明天的最高溫度為℃”，“某夫婦的胎兒是男孩”，“向一個水平桌面拋擲一顆均勻骰子”等等都是隨機事件。在介紹概率論應用時，可以舉二戰(zhàn)期間的一個例子：1943年以前，美英運輸船隊在大西洋上常常受到德國潛艇的襲擊，損失慘重。有何法子減少損失呢？一位美國海軍將領請教了幾位數學家。數學家運用概率論分析后認為，艦隊與敵潛艇相遇，從數學角度來看，是一個隨機的問題。船只被擊沉的概率，與船隊數目成正比，與船隊規(guī)模成反比。美國海軍對過去的艦隊編隊和編次規(guī)則作了重大調整，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域。結果奇跡出現了：美英艦隊遭遇德國潛艇并被擊沉的概率大幅減少，由原來25%下降到1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應。針對這類問題，學員通過獨立思考，學生之間相互交流討論，培養(yǎng)學員靈活運用所學的數學知識解答實際問題，提高了學員應用數學的能力。

1.3提高學員觀察思維能力和自主學習能力

通過對案例的獨立思考和分析，激發(fā)學員學習的內在動機，調動學員學習的主動性和積極性，此時教員不再是純粹的知識傳輸者，而是學員學習的引導者，引導學員感知知識、認知知識。本課程內容既具有數學的嚴謹性，又具有隨機性。因此，正確處理嚴謹性與生動直覺之間的關系，讓學員既有嚴謹的抽象思維能力， 對能對隨機性產生敏感，具有概率統(tǒng)計的直覺，是教員在教學過程中應該處理好的重要問題。這不僅有助于培養(yǎng)學員的觀察思維能力，而且能提高自主學習的能力。

比如在介紹概率中的公理化定義時，學生可能覺得這個定義很怪、難以理解，教師就在課堂上還原概率論發(fā)展的歷史背景：貝特朗悖論推翻了之前概率所有的定義，包括統(tǒng)計定義、古典定義和幾何定義等等，原有的概率論理論大廈岌岌可危。1933年，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義，即通過規(guī)定概率應具備的基本性質來定義概率。柯爾莫哥洛夫提出的公理為數很少且極為簡單，但在此基礎上建立起了概率論的宏偉大廈，有了這個背景，學員對概率的公理化定義就容易理解了。

1.4提高學員表達能力和團隊協作能力

傳統(tǒng)教學法主要是以教員在課堂上傳授知識為主進行的，此時學員完全處于被動狀態(tài)，如果傳授的知識量大，學員就可能會“消化不良”，時間久了，會出現惡性循環(huán)，教學效果、學習效果都不理想。在整個教學活動中，學員個體是被灌輸者，完全談不上自我表達和團隊協作。

案例教學法以培養(yǎng)學員解決問題的綜合能力為目標。采用案例教學法，體現了“學員為主，教員為輔”，教員整個教學過程中起引導作用，給出案例，學員可以通過獨立思考，踴躍發(fā)言，也可以分小組（一般四至六人為佳）團結協作共同作戰(zhàn)，然后選派代表發(fā)言，其余組員輔助補充。這種方式讓學員能夠自由地與不同性格的人交流、協作，提高團隊協作能力。

2《概率論與數理統(tǒng)計課程》案例教學舉例

數學是一種工具，用這一工具發(fā)現實際現象背后的規(guī)律，并解釋和說明實際現象，從而最終解決實際問題。用實例的講解知識是培養(yǎng)學員運用數學知識解決實際問題的一種重要方法。概率論是一門應用性很強的學科，在概率論教學過程中加強案例講解是非常必要的。這一方面可以增強學員應用數學知識的意識；另一方面可以增加學員的學習興趣，提高課堂教學效果。

在講授《概率論與數理統(tǒng)計》課程的時候，教師會把案例融入相應的知識點中進行講解。比如，在講解小概率事件時，可以引入“過馬路需小心”這個應用實例。對于每個人來講，每次過馬路出現事故的概率，即 p 值是很小的，但每個人在一生中過馬路的次數，即n是很大的。每次過馬路都可以被看作一個隨機試驗，在一生中過馬路的情形可以被看作一個 n 重貝努里概型，那么一生中出現事故的期望值為 np。為了減少出現事故，可以采用兩種方法。一種是減少過馬路的次數，另一種是減小過馬路出現事故的概率。顯然，減少過馬路的次數似乎不太現實，所以我們必須增加自己的安全意識，從而減少過馬路出現事故的概率。