余獻(xiàn)虎　胡興余

【摘 要】 期末測(cè)試命題工作是一個(gè)學(xué)期教學(xué)評(píng)價(jià)的重點(diǎn)工作.期末數(shù)學(xué)卷最后一題的命制目標(biāo)有：①檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的達(dá)成情況；②檢測(cè)命題老師以該冊(cè)課本中的數(shù)學(xué)思想方法為導(dǎo)向的綜合命題能力，包括試題命制的融合度和創(chuàng)新力.期末測(cè)試數(shù)學(xué)卷最后一題的編制可從分析學(xué)期所學(xué)知識(shí)出發(fā)，通過(guò)提煉數(shù)學(xué)思想方法，選擇合適的素材，經(jīng)過(guò)多稿討論、辨析、修正，形成正卷，通過(guò)測(cè)評(píng)后的反思，累積經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)兩大命制目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】 期末測(cè)試卷命制；課本導(dǎo)向；核心素養(yǎng)

期末測(cè)試卷的命制是一項(xiàng)重要工作，尤其是最后一題.毋庸置疑，期末測(cè)試卷最后一題應(yīng)具有兩大功能：①檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的的達(dá)成情況；②檢測(cè)命題老師以該冊(cè)課本中的數(shù)學(xué)思想方法為導(dǎo)向的綜合命題能力，包括試題命制的融合度和創(chuàng)新力.現(xiàn)以一道八年級(jí)（上）期末測(cè)試數(shù)學(xué)卷最后一題命制過(guò)程為例，研討期末測(cè)試數(shù)學(xué)卷最后一題科學(xué)的命制過(guò)程.

1 知識(shí)關(guān)聯(lián)

分析學(xué)期所學(xué)知識(shí)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，是編制期末測(cè)試卷的第一步.

浙教版八年級(jí)（上）共5章，第一、二兩章學(xué)習(xí)和研究三角形的初步知識(shí)、全等三角形、特殊三角形，其核心思想是不確定因素下的分類討論思想.第三章一元一次不等式，復(fù)習(xí)解集在數(shù)軸上直觀表示，逐點(diǎn)強(qiáng)化一維直線上的數(shù)形交融.第四章圖形與坐標(biāo)，探究二維平面上點(diǎn)的位置的確定方法——有序數(shù)對(duì)，并推廣到圖形變換中去，詮釋二維平面上的形與數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.第五章一次函數(shù)，提出問(wèn)題解決的新思想、新模型，是前四章內(nèi)容的高度濃縮，其核心是數(shù)形結(jié)合，即通過(guò)建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型（或函數(shù)圖象模型）解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H生活問(wèn)題.

顯然，一、二章是第五章的有關(guān)“形”的知識(shí)儲(chǔ)備章節(jié)，三、四章都從“點(diǎn)”開始循序漸進(jìn)地滲透數(shù)形結(jié)合，直至建立起新思想、新方法.所以，最后一題考查內(nèi)容定格在一次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上研究圖形的幾何性質(zhì)，這也是學(xué)生需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 素材選取

若沒(méi)有明確目標(biāo)和價(jià)值指向的新思想指導(dǎo)，具備某種“特質(zhì)”的課本素材是好選擇.這相對(duì)選某一模擬卷的最后一題或照搬某地中考卷上同類試題（僅做點(diǎn)數(shù)據(jù)改動(dòng)），更具公平性、科學(xué)性. 圖1

經(jīng)過(guò)綜合分析、比較，命題組選用浙教版九（上）32《圖形的旋轉(zhuǎn)》中的作業(yè)題.原題如下：如圖1，E是正方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，

使AF=CE，連結(jié)DE，DF，能通過(guò)旋轉(zhuǎn)△DEC得到△DFA嗎？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

原由一：旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，圖中△DCE≌△DAF，DE⊥DF.

原由二：當(dāng)點(diǎn)E在邊CB上時(shí)，①BE+BF=2AB，是定值，即BF是BE的一次函數(shù)；②Rt△DEF是等腰直角三角形，且四邊形DFBE的面積是定值；③∠EDF的角平分線與邊AB的交點(diǎn)與點(diǎn)E，B構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是定值.

原由三：當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①BF-BE=2AB，是定值；②Rt△DEF是等腰直角三角形；③∠EDF的角平分線與邊AB的交點(diǎn)與點(diǎn)E，B構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是CE的正比例函數(shù).

當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，也需按二、三兩種情況討論.

原由四：當(dāng)點(diǎn)E在直線BC上時(shí)，△DBE可以是等腰三角形.

3 順延變式

原題可考查全等三角形、特殊三角形、一次函數(shù)等知識(shí).撇開動(dòng)點(diǎn)背景下的不確定關(guān)系，需要補(bǔ)充形、數(shù)結(jié)合下的數(shù)量關(guān)系，再改變條件，把鉛垂方向量CE巧妙地轉(zhuǎn)換成水平方向量AF，提升了問(wèn)題的思維量.在這種思想指導(dǎo)下，編制出第一稿題干：

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，3）.已知y軸上有一動(dòng)點(diǎn)D（0，t），連接BD，并作BE⊥BD交x軸于點(diǎn)E.

根據(jù)題干可編制如下設(shè)問(wèn)：

1.求證：CD=AE.

2.設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

3.①當(dāng)t=5時(shí)，求△ODE的面積.

②△ODE的面積能等于正方形OABC的面積嗎？

若能，求出所有符合條件的t的值；若不能，說(shuō)明理由.

4.①當(dāng)t=5時(shí)，求直線DE的函數(shù)表達(dá)式.

②求當(dāng)△ODE的面積能等于正方形OABC的面積時(shí)，直線DE的函數(shù)表達(dá)式.

5.當(dāng)t為何值時(shí)，△OBE是等腰三角形？求出所有符合條件的t的值.

6.設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)△BEF是等腰三角形時(shí)，求t的值.

其中1，重在發(fā)現(xiàn)△BCD≌△BAE，并運(yùn)用演繹推理證明結(jié)論的能力.2，3，4巧在轉(zhuǎn)化，3②，4②，6涉及一元二次方程（根式方程）或相似三角形，放棄.5考查勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，要具備綜合使用已掌握的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

4 疏剪嫁枝

第一稿構(gòu)圖簡(jiǎn)捷，選擇1，2，5，設(shè)問(wèn)能呈遞進(jìn)關(guān)系，但痕跡明顯，沒(méi)有體現(xiàn)“一次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上研究圖形的幾何性質(zhì)”的目的.觀察圖形，隱去正方形，直線OB的表達(dá)式就是y=-x，命題組協(xié)商討論后編制出第二稿：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B在直線y=-x上，點(diǎn)D在y軸上.當(dāng)OB=3 2 時(shí)，連結(jié)BD，作BE⊥BD交x軸于點(diǎn)E.

1.求點(diǎn)B的坐標(biāo).

2.設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x.

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)△OBE是等腰三角形，求y的值.

在圖3背景下，（1）問(wèn)利用B（b，-b）和勾股定理可

求.（2）問(wèn)要求能理解圖形的位置關(guān)系，添回隱去的圖2中

AB、AC，利用全等三角形的性質(zhì)找到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式

（y=x+6），才能求得2②中的4解.

命題組第二稿初稿初始“審題不清”，沒(méi)有考慮點(diǎn)B在第四象限時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-3），y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=x-6，2②中有8解.在命題組限定點(diǎn)B在第二象限后，評(píng)議依然認(rèn)為八年級(jí)（上）學(xué)生添加輔助線能力弱，2問(wèn)起點(diǎn)偏高，就是給出BC（或BA），大部分學(xué)生還是難以找到突破口.

5 移花接木

針對(duì)第二稿，命題組繼續(xù)評(píng)議認(rèn)為保留圖1，1問(wèn)送分可再到

位些，2問(wèn)保留，有老師會(huì)壓二稿2②問(wèn)同類型題，重編.繼續(xù)聚首

討論后又聯(lián)系到正方形對(duì)角線性質(zhì)

AC上一點(diǎn)，當(dāng)BM和DN都經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，CM=CN；反之也成立.在這一思路的指引下，編制如下第三稿：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-3，3）.y軸上有一動(dòng)點(diǎn)D（0，y），連結(jié)BD，作BE⊥BD交x軸于點(diǎn)E.

1.試寫出點(diǎn)C的坐標(biāo).

2.設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

3.“數(shù)學(xué)小能手”小明同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)y=3+ 3 時(shí)，線段DE與OB的交點(diǎn)P滿足OP= 1 3 OB，如圖6.他把這一發(fā)現(xiàn)告訴了數(shù)學(xué)老師，數(shù)學(xué)老師看了看，畫了畫，告訴小明，還有一個(gè)y的值，使得線段DE與OB的交點(diǎn)P也滿足OP= 1 3 OB.小明仔細(xì)看著圖形想了想，畫了畫后，說(shuō)我也知道了.

你知道另一個(gè)y的值是多少嗎？畫出圖形，說(shuō)明理由.

根據(jù)圖4正方形對(duì)角線的性質(zhì)編制的3問(wèn)，有如下參數(shù)法：由題可知P（-1，1）.設(shè)E（a，0），直線DE的表達(dá)式是y=- a+6 a x+a+6，代入得，1= a+6 a +a+6，化簡(jiǎn)得，a2+6a+6=0，解之得，a=-3± 3 ，所以，y=a+6=3± 3 .第三稿3問(wèn)是為回避八年級(jí)（上）學(xué)生不能解一元二次方程這一忌諱生成的，這一生成策略導(dǎo)致該問(wèn)題解決思路單一，只能利用圖形的直觀性和軸對(duì)稱性求解，即當(dāng)OD=y=3+ 3 時(shí)，CD= 3 ，OE=OA-AE=OA-

CD=3- 3 ，所以，當(dāng)y=OE=3- 3 時(shí)，OP= 1 3 OB.

綜合上述3問(wèn)意見和作為壓軸題的1問(wèn)過(guò)于直白，第三稿未獲通過(guò).

6 水到渠成

在之前大量研討的基礎(chǔ)上，試題的結(jié)構(gòu)漸趨明朗.在把握好細(xì)節(jié)（如不提正方形、關(guān)注條件嚴(yán)謹(jǐn)性），落實(shí)好難易度，保證科學(xué)性的前提下，給出如下第四稿：

如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在第二象限，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C.若點(diǎn)A在直線y=-x上，且OA=3 2 .

1.求OB的長(zhǎng).

2.如圖8，設(shè)N（0，n）是y軸上一點(diǎn)，連結(jié)AN，作AM⊥AN，交x軸于點(diǎn)M（m，0）.

①求m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式.

②設(shè)直線y=-x與直線MN相交于點(diǎn)T，求當(dāng)OM= 1 3 OB時(shí)，T的坐標(biāo).

③設(shè)直線y=-x與直線MN相交于點(diǎn)T，求當(dāng)△MON是一個(gè)含30°內(nèi)角的直角三角形時(shí)，T的坐標(biāo).

由于2③涉及分母有理化，刪去.這樣本題考查了一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等本冊(cè)核心知識(shí)，及數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等本冊(cè)核心數(shù)學(xué)思想.

7 反省反思

本題突出課本導(dǎo)向，關(guān)注到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，試題合理與否，還得觀察其難度、區(qū)分度、信度和效度及師生的情緒反應(yīng).命題組在命題完成后及時(shí)作了反省，在閱讀結(jié)束時(shí)及時(shí)作了反思.現(xiàn)就最后一題編制作如下反省反思：

7.1 命題過(guò)程

命題工作可分集中前的準(zhǔn)備階段和集中時(shí)的命題階段.集中后，第一步，分析本冊(cè)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法；第二步，討論擬定方案，比對(duì)選擇素材；第三步，編制、辯議、修正，……，直至定稿.但不能忘卻試題自身的科學(xué)性和面對(duì)考生的適宜性.第二稿的“審題不清”是可求解狀態(tài)下的科學(xué)性錯(cuò)誤，不清除必然加重思考嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目忌木駢毫?第三稿有為回避未學(xué)而取巧設(shè)計(jì)情景之嫌，顯得解答思路靈巧有余，解答方法單調(diào)唯一.

7.2 思路伸縮

編制思路收回比編制思路拓展更難.此題編制，最大的困擾是“編制著、編制著，知識(shí)超出了”，最多的喜悅是把脫韁之編制思路拉回到已學(xué)知識(shí)上去，雖然這樣編制的試題也會(huì)被棄之不用，但其中確實(shí)會(huì)有驚奇.如第三稿3問(wèn)，最初是：若直線DE和直線OB相交于點(diǎn)P，當(dāng)OP= 1 3 OB時(shí)，求x的值. 圖9

該設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔精練，內(nèi)涵豐富.考查到一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、全等三角形、分式方程、一元二次方程等，用到參數(shù)法、解析法、待定系數(shù)法，包含數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模思想，如

當(dāng)然，超出了，還要能縮回去.

7.3 信息反饋

考試結(jié)束后的調(diào)查表明該題“其實(shí)不難，得分不高”.

1問(wèn)失分原因有：（1）不能依據(jù)“點(diǎn)A在第二象限且點(diǎn)A在直線y=-x上”設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x，-x）；（2）依據(jù)勾股定理列得方程2（-x）2=（3 2 ）2后，不會(huì)解方程，而不會(huì)解的一個(gè)主要原因是不會(huì)計(jì)算（3 2 ）2.毋庸置疑，失分原因（2）中包含解一元二次方程和二次根式化簡(jiǎn)，即使七年級(jí)（上）第三章《實(shí)數(shù)》中有開平方和無(wú)理數(shù)，還是超了.

2問(wèn)失分原因有：（1）多從代數(shù)角度找2①問(wèn)中“m關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式”，而本問(wèn)恰需從幾何角度考慮；（2）坐標(biāo)與距離間的符號(hào)出錯(cuò)，導(dǎo)致表達(dá)式出錯(cuò)或錯(cuò)誤分類；（3）2②沒(méi)有分類討論，或因計(jì)算錯(cuò)導(dǎo)致表達(dá)式錯(cuò)或交點(diǎn)坐標(biāo)錯(cuò).

一次活動(dòng)一次反思，一段經(jīng)歷一次收獲.上述失分，歸根結(jié)底是由綜合能力不強(qiáng)造成，因?yàn)槠谀y(cè)試不可能綜合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，這也提示我們期末測(cè)試卷最后一題的命制也不同于中考?jí)狠S題的命制.畢竟適當(dāng)?shù)模攀亲詈玫模?/p>

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火，許芬英.數(shù)學(xué)教學(xué)參考書九年級(jí)上冊(cè)[M].杭州：浙江教育出版社，2006.

3.曹經(jīng)富.例析一道幾何中考模擬壓軸題的打磨與出爐[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2015年第10期.