陳寶魁　王東升　成虎

摘要：介紹粘彈性人工邊界在結(jié)構(gòu)一地基動(dòng)力相互作用等問(wèn)題中應(yīng)用的研究現(xiàn)狀。重點(diǎn)敘述了粘彈性人工邊界在有限元計(jì)算中的實(shí)現(xiàn)方法及其在地震工程中的應(yīng)用。粘彈性人工邊界方法具有方便實(shí)現(xiàn)、計(jì)算精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，是解決近場(chǎng)波動(dòng)問(wèn)題的一種重要手段。隨著粘彈性人工邊界理論及其在有限元軟件中的應(yīng)用日漸成熟，其在工程抗震分析等方面將具有廣闊的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：粘彈性人工邊界；地震工程；結(jié)構(gòu)一地基動(dòng)力相互作用；近場(chǎng)波動(dòng)

中圖分類號(hào)：TU432 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000-0666（2016）01-0137-06

0 引言

諸如大壩、核電站、跨海橋梁等大型工程的抗震分析，一般需要考慮地震波在無(wú)限域地基中的傳播（輻射阻尼）效應(yīng)，通常稱為結(jié)構(gòu)一地基動(dòng)力相互作用或近場(chǎng)波動(dòng)問(wèn)題（廖振鵬，2002；杜修力，2009；Todorovska，2009；Kausel，2010；Lou et al，2011）。目前有限元方法是解決結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用問(wèn)題的常用手段，如果地基范圍截取過(guò)大會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量幾何級(jí)數(shù)增大，對(duì)于大型工程甚至無(wú)法完成運(yùn)算。從無(wú)限域中截取近場(chǎng)有限區(qū)域，并在其邊界處施加人為處理的虛擬邊界條件（Wolf，Song，2002；邱流潮，金峰，2006；Hatzigeorgiou，Beskos，2010；Du，Zhao，2010；Ghandil，Behnamfar，2015）來(lái)模擬遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限地基的輻射阻尼效應(yīng)，這是當(dāng)前采用的主要方法。正確定義和設(shè)置人工邊界，使結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)或地表產(chǎn)生的散射波在人工邊界上被吸收或穿過(guò)邊界進(jìn)入無(wú)限域，決定了計(jì)算是否準(zhǔn)確與高效。

基于波動(dòng)理論提出的人工邊界大致可分為時(shí)空耦聯(lián)的全局人工邊界和局部人工邊界兩類。局部人工邊界具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用（杜修力等，2006），本文討論的粘彈性人工邊界屬于局部人工邊界中的一種。通常局部人工邊界亦可分為位移型人工邊界條件（Kausel，1988；Wolf，1986；Higdon，1987，1991；Liao，Wong，1984）與應(yīng)力型人工邊界條件兩類。位移人工邊界條件用于時(shí)步積分時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)，并且此問(wèn)題尚未得到根本解決；而應(yīng)力人工邊界在有限元積分方法穩(wěn)定時(shí)，不存在人工邊界失穩(wěn)問(wèn)題（杜修力等，2006）。因此，在近場(chǎng)波動(dòng)有限元分析中應(yīng)力型人工邊界具有重要的應(yīng)用價(jià)值。應(yīng)力型人工邊界包括粘性邊界（Jiao et al，2007）、粘彈性邊界（Liu，Lv，1998；劉晶波，呂彥東，1998；劉晶波等，2006a）等。粘彈性人工邊界因具有物理意義清晰，精度良好、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，被眾多學(xué)者研究并應(yīng)用于比較各類應(yīng)力型人工邊界在數(shù)值分析中的效率與精度。

近年來(lái)，研究人員對(duì)粘彈性人工邊界的理論與應(yīng)用進(jìn)行了大量研究（劉晶波等，1998，2006a，b，c，2007；王振宇，劉晶波，2004），并且該方法已經(jīng)在多種有限元軟件中實(shí)現(xiàn)，并取得若干研究進(jìn)展（杜修力，趙密，2006；谷音等，2007；張燎軍等，2008；蔣新新等，2013）。由于粘彈性人工邊界方法是21世紀(jì)初才提出并完善的，大量研究主要集中在近10年。目前在通用的商業(yè)有限元軟件中尚缺乏相應(yīng)的獨(dú)立模塊以方便應(yīng)用，這給設(shè)計(jì)人員在工程中應(yīng)用粘彈性人工邊界帶來(lái)了困難，導(dǎo)致粘彈性人工邊界在實(shí)際工程中的應(yīng)用與其理論研究進(jìn)展很不對(duì)稱。本文綜述了粘彈性人工邊界方法的研究進(jìn)展，總結(jié)了粘彈性人工邊界在多種動(dòng)力有限元分析軟件中的應(yīng)用成果，并在此基礎(chǔ)上提出了粘彈性人工邊界在有限元計(jì)算與工程應(yīng)用上的不足與展望。

1 粘彈性人工邊界研究進(jìn)展與實(shí)現(xiàn)方法

在早期發(fā)展的人工邊界理論（廖振鵬，2002；Kausel，1988；Wolf，1986；Higdon，1987，1991）中，相對(duì)簡(jiǎn)單的局部人工邊界是Lysmer和Kuhlem-eyer（1969）提出的粘性人工邊界，其概念清晰、容易實(shí)現(xiàn)，得到了廣泛的應(yīng)用。但粘性人工邊界僅考慮對(duì)散射波能量的吸收，忽略了半無(wú)限地基的彈性恢復(fù)能力，因此存在低頻穩(wěn)定性問(wèn)題，即在低頻力作用下可能發(fā)生整體漂移。為克服以上問(wèn)題，Deeks和Randolph（1994）、劉晶波和呂彥東（1998）基于柱面波的波動(dòng)方程建立了二維粘彈性人工邊界。

1.1 粘彈性邊界單元實(shí)現(xiàn)

考慮介質(zhì)中輻射阻尼影響的近場(chǎng)波動(dòng)問(wèn)題可以采用數(shù)值和解析兩種計(jì)算方法。解析法著重于分析問(wèn)題本質(zhì)，計(jì)算結(jié)果為精確解，但對(duì)于大型工程的動(dòng)力分析，很難用解析的方法解決。相對(duì)而言引入粘彈性人工邊界的數(shù)值法具有很強(qiáng)的適用性和靈活性，方便應(yīng)用于理論研究與實(shí)際工程。

1.1.1 集中粘彈性人工邊界

粘彈性人工邊界在有限元分析中一般可以等效為在截取的人工邊界節(jié)點(diǎn)上并聯(lián)彈簧（K）-阻尼（C）系統(tǒng)，這種處理方法簡(jiǎn)稱為集中粘彈性人工邊界。

如果將基于全空間波動(dòng)理論推導(dǎo)的二維粘彈性人工邊界應(yīng)用于半空間問(wèn)題，粘彈性人工邊界的剛度系數(shù)將偏大。因此引入人工邊界參數(shù)α_N與α_T對(duì)粘彈性人工邊界中的彈簧剛度系數(shù)進(jìn)行調(diào)整。圖1為二維與三維粘彈性人工邊界模型，其中彈簧與阻尼系統(tǒng)物理參數(shù)的公式為（劉晶波等，2005，2006a；Liu et al，2006）式中，K_N、K_T為法向與切向剛度系數(shù)，C_N、C_T為阻尼器的法向與切向阻尼系數(shù)，G為介質(zhì)剪切模量，c_S和c_P為S波與P波波速，ρ為密度，r為波源至人工邊界的距離，α_N、α_T為法向與切向粘彈性人工邊界的修正系數(shù)；在二維問(wèn)題中，α_N的經(jīng)驗(yàn)取值范圍是0.8～1.2，_T為0.35～0.65，谷音等（2007）推薦取α_N=1.0，α_T=0.5；在三維問(wèn)題中α_N的經(jīng)驗(yàn)取值范圍是1.0～2.0，α_T取為0.5～1.0，谷音等（2007）、尹廣斌等（2012）推薦α_N=1.33，α_T=0.67；A表示的是單元節(jié)點(diǎn)的控制面積。對(duì)于直接在邊界單元節(jié)點(diǎn)施加物理系統(tǒng)的集中粘彈性人工邊界，在二維或三維模型中需考慮邊界單元節(jié)點(diǎn)所控制的邊長(zhǎng)或面積。王振宇和劉晶波（2004）進(jìn)一步提出了成層地基中每層介質(zhì)邊界彈簧-阻尼系統(tǒng)的參數(shù)；趙密（2004）提出了基于衰減平面散射波的粘彈性人工邊界條件。

1.1.2 等效一致粘彈性人工邊界

劉晶波等（2006a）在二維集中粘彈性人工邊界基礎(chǔ)上，提出等效一致粘彈性人工邊界及其邊界單元的計(jì)算方法。假定（分布式）粘彈性人工邊界的內(nèi)部自由度可類似單元一樣由差值函數(shù)和節(jié)點(diǎn)處自由度確定，進(jìn)而通過(guò)與平面固體有限元?jiǎng)偠染仃噷?duì)比，可以得到一致粘彈性人工邊界單元的相關(guān)等效物理參數(shù)（劉晶波等，2006a；谷音等，2007）：式中，G、E和μ分別為等效一致粘彈性邊界單元的等效剪切模量和等效彈性模量和等效泊松比；α_N與α_T為法向與切向粘彈性人工邊界的修正系數(shù)，其取值參見(jiàn)式（1）；h為邊界單元的厚度。如果采用各向同性材料本構(gòu)關(guān)系建立等效一致粘彈性人工邊界單元，μ和E并不能獨(dú)立地按式（2）中的E取值，μ也應(yīng)同時(shí)滿足劉晶波等（2006a）推導(dǎo)的式（17）的要求。

劉晶波等（2006a）、谷音等（2007）推導(dǎo)得出另一個(gè)重要的單元材料參數(shù)，等效粘彈性邊界單元的材料阻尼比例系數(shù)為

在三維模型中，一致粘彈性人工邊界等效單元參數(shù)G、E和μ的計(jì)算公式與上述提到的二維模型完全相同，但邊界單元的材料阻尼比例系數(shù)η的求解公式略有不同，為

在二維或三維有限元模型中，比較集中粘彈性人工邊界與等效一致粘彈性人工邊界的動(dòng)力分析結(jié)果（程恒等，2009），發(fā)現(xiàn)兩種粘彈性人工邊界具有相同的計(jì)算精度，且與解析解的結(jié)果十分接近；并且兩種粘彈性人工邊界計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性明顯好于固定邊界與粘性人工邊界的計(jì)算結(jié)果（杜修力等，2006；劉晶波，呂彥東，1998；劉晶波等，2006a，b；谷音等，2007；張燎軍等，2008；盧華喜等，2008）。

1.2 粘彈性人工邊界的地震動(dòng)輸入方法

粘彈性人工邊界有限元模型的波動(dòng)輸入方法主要分為內(nèi)源問(wèn)題和外源（波源）問(wèn)題。內(nèi)源問(wèn)題即在人工邊界內(nèi)的模型中考慮波動(dòng)輸入，在人工邊界范圍內(nèi)直接輸入動(dòng)力荷載，而產(chǎn)生的散射波可由粘彈性人工邊界吸收。內(nèi)源輸入方法相對(duì)簡(jiǎn)單，已在地震工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用（杜修力等，2006；谷音等，2007；劉晶波等，2002，2006a）。

外源問(wèn)題是指在人工邊界外施加波動(dòng)輸入，即在人工邊界節(jié)點(diǎn)處輸入地震動(dòng)來(lái)計(jì)算模型的地震響應(yīng)。Joyner和Chen（1975）最早提出并改進(jìn)了將波動(dòng)輸入轉(zhuǎn)化為等效荷載輸入到粘性人工邊界的方法。隨后，劉晶波等（1998，2004，2006b）提出了適合粘彈性人工邊界的波源輸入方法，在邊界節(jié)點(diǎn)處采用力學(xué)中脫離體概念，經(jīng)推導(dǎo)得到施加于粘彈性人工邊界的等效荷載F（t）的公式：

F（t）=τ₀（x，y，t）+C_h·ω₀（x，y，t）+K_b·ω₀（x，y，t）. （5）式中，τ₀（x，y，t）為人工邊界上的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力；C_h和K_0h分別為粘彈性人工邊界的剛度與阻尼系數(shù)，可由式（1）確定；ω₀（x，y，t）為已知入射位移場(chǎng)，而ω₀（x，y，t）與應(yīng)力τ₀（x，y，t）均可由ω₀（x，y，t）得到。

2 粘彈性人工邊界方法在通用有限元軟件中的應(yīng)用

由于粘彈性人工邊界方法在有限元軟件中易于實(shí)現(xiàn)，因此已經(jīng)得到相關(guān)研究人員的關(guān)注，其在SAP、Nastran、ANSYS、LS-DYNA、ADINA、ABAQUS等通用有限元軟件中均已實(shí)現(xiàn)，且被廣泛應(yīng)用于研究與工程問(wèn)題。

劉晶波和呂彥東（1998）首先通過(guò)編制外掛程序，將粘彈性人工邊界分析方法并入Super SAP中。在給定了邊界單元參數(shù)以及波源輸入方法的基礎(chǔ)上，分析了二維半圓山谷在平面波入射時(shí)的反應(yīng)，將SAP中的有限元解與解析解對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種解具有很好的一致性。劉晶波等（2002）同樣利用Super SAP對(duì)高壓聚乙烯裝置壓縮機(jī)基礎(chǔ)的動(dòng)力反應(yīng)進(jìn)行分析，結(jié)果表明引入粘彈性人工邊界對(duì)大型動(dòng)力機(jī)器基礎(chǔ)進(jìn)行有限元分析是必要的，并可以給出更合理的基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與地基處理方法。

劉晶波等（2006b）結(jié)合粘彈性人工邊界與振型疊加法對(duì)結(jié)構(gòu)一地基相互作用問(wèn)題進(jìn)行分析，并將其在有限元軟件Nastran中實(shí)現(xiàn)，證明了該計(jì)算方法準(zhǔn)確、高效。另外，劉晶波（2006a）、谷音等（2007）提出等效一致粘彈性人工邊界的計(jì)算方法，利用Nastran軟件將該邊界計(jì)算方法在二維與三維模型中實(shí)現(xiàn)。

劉晶波等（2007）同樣將等效一致粘彈性人工邊界及其波動(dòng)輸入法在ANSYS軟件中實(shí)現(xiàn)。徐靜等（2009）采用粘彈性人工邊界模擬遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限介質(zhì)的波動(dòng)輻射效應(yīng)，利用ANSYS分析樁-土-輸電塔體系相互作用問(wèn)題。郜新軍等（2010，2011）利用多源粘彈性人工邊界方法，在ANSYS中實(shí)現(xiàn)了考慮斜入射波與局部地形等情況下的結(jié)構(gòu)一地基動(dòng)力相互作用分析。蔣新新等（2013）通過(guò)在ANSYS中構(gòu)建虛擬對(duì)稱結(jié)構(gòu)體系，解決了邊坡場(chǎng)地條件下粘彈性人工邊界模型計(jì)算土-結(jié)構(gòu)相互作用分析中，由于外邊界輸入荷載不一致而導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)散或位移漂移問(wèn)題。宋貞霞和丁海平（2007）研究了粘彈性人工邊界在LS-DYNA中的實(shí)現(xiàn)。

張燎軍等（2008）、尹廣斌（2012）、程恒等（2009）實(shí)現(xiàn)了粘彈性人工邊界在ADINA中的應(yīng)用，并將結(jié)果與粘性邊界、固定邊界以及擴(kuò)展邊界（精確解）的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了粘彈性人工邊界計(jì)算結(jié)構(gòu)-地基動(dòng)力相互作用問(wèn)題的精確性與穩(wěn)定性。并利用粘彈性人工邊界在ADINA中計(jì)算了三向地震荷載作用下壩體-地基-庫(kù)水，以及泵站-地基-水體的動(dòng)力相互作用算例。張小玲等（2008）采用飽和孔隙介質(zhì)的Biot動(dòng)力固結(jié)理論，利用粘彈性人工邊界在ADINA中建立海床一管線相互作用的計(jì)算模型，結(jié)果表明粘彈性人工邊界在求解瞬態(tài)動(dòng)力問(wèn)題上比固定邊界更優(yōu)越、更接近于數(shù)值解。

梅魁和孟凡深（2010）探討了粘彈性人工邊界在ABAQUS中的實(shí)現(xiàn)，并應(yīng)用其對(duì)混凝土重力壩二維橫截面模型進(jìn)行動(dòng)力分析。陳震和徐遠(yuǎn)杰（2012）基于波動(dòng)理論及ABAQUS用戶程序?qū)崿F(xiàn)了粘彈性人工邊界單元在ABAQUS中的應(yīng)用并驗(yàn)證了外源波動(dòng)輸入的準(zhǔn)確性。

綜上，圖2總結(jié)了粘彈性人工邊界在有限元軟件中實(shí)現(xiàn)的流程；表1統(tǒng)計(jì)了粘彈性人工邊界在不同軟件中的應(yīng)用要點(diǎn)與相關(guān)成果。

3 結(jié)論

粘彈性人工邊界的理論在有限元軟件中的應(yīng)用趨于成熟，隨著大型工程在抗震分析中對(duì)結(jié)構(gòu)一地基動(dòng)力相互作用的關(guān)注日漸增多，其在諸如大壩、核電站、跨海橋梁等重大工程的抗震分析中，將具有廣闊的應(yīng)用前景。

（1）粘彈性人工邊界具有物理概念清晰，計(jì)算精度高及穩(wěn)定性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，是考慮地基輻射阻尼及近場(chǎng)波動(dòng)問(wèn)題的一種有效計(jì)算方法。

（2）粘彈性人工邊界目前已在多種通用有限元軟件中實(shí)現(xiàn)，包括SAP、Nastran、ANSYS、LS-DYNA、ADINA、ABAQUS等。其在諸如大型機(jī)器對(duì)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)動(dòng)力反應(yīng)的內(nèi)源輸入問(wèn)題中，具有方便實(shí)現(xiàn)、計(jì)算精確等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)在實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用。

（3）粘彈性人工邊界提出的時(shí)間相對(duì)較短，工程人員對(duì)其理論與實(shí)現(xiàn)方法尚缺乏足夠理解。對(duì)于外源輸入問(wèn)題，其在通用有限元軟件中一般需要做適當(dāng)變換或二次開(kāi)發(fā)才能方便應(yīng)用，這一定程度上影響了粘彈性人工邊界在工程問(wèn)題中的應(yīng)用。