王　燕

(上海市徐匯區(qū)向陽(yáng)小學(xué)，上海 200032)

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小學(xué)幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的教學(xué)策略研究

王燕

(上海市徐匯區(qū)向陽(yáng)小學(xué)，上海 200032)

摘要：小學(xué)幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化是指?jìng)€(gè)體形成幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，它讓個(gè)體在認(rèn)知形式化的幾何概念、幾何方法，以及它們之間關(guān)系中，感悟出隱藏在活動(dòng)情景背后的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并且能同時(shí)運(yùn)用這兩種知識(shí)展開(kāi)幾何認(rèn)知活動(dòng)。其意義是使學(xué)習(xí)者頭腦中形成深水平理解的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，減輕幾何知識(shí)的記憶負(fù)擔(dān)，縮小高級(jí)和低級(jí)幾何知識(shí)的差距，提高班級(jí)幾何學(xué)習(xí)的整體水平。文章圍繞線段、射線、直線和角以及矩形和圓等幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化過(guò)程，對(duì)“梳理點(diǎn)狀概念知識(shí)策略”“連接組塊知識(shí)策略”“課內(nèi)復(fù)習(xí)向課外延伸教學(xué)策略”三大策略進(jìn)行分拆、論述和活動(dòng)設(shè)計(jì)，為該領(lǐng)域的教學(xué)研究提供案例和經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)幾何；知識(shí)結(jié)構(gòu)化；知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化；策略

傳統(tǒng)小學(xué)幾何知識(shí)復(fù)習(xí)的做法是：花最少時(shí)間，教師把階段幾何知識(shí)(概念、算法)簡(jiǎn)單地羅列出來(lái)，再讓學(xué)生進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，形成熟練運(yùn)用知識(shí)和解題的技能，最終目的是取得優(yōu)良成績(jī)。本研究認(rèn)為：幾何復(fù)習(xí)既要重視雙基的落實(shí)，更應(yīng)重視幾何二次認(rèn)知中的知識(shí)關(guān)聯(lián)性建構(gòu)和整體性認(rèn)知，要讓每位學(xué)生梳理自己階段知識(shí)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)、方法和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)入對(duì)幾何知識(shí)的深度理解(相對(duì)本學(xué)段的)，為后續(xù)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)做好充分儲(chǔ)備(知識(shí)和能力)。為此，筆者嘗試用系列活動(dòng)讓學(xué)生將自己分課時(shí)學(xué)得的幾何知識(shí)進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，從而貫徹落實(shí)“四基四能”的新課標(biāo)。

一、幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的理性思考

1.幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化的意義

美國(guó)心理學(xué)家、教育學(xué)家布魯納曾在《教育過(guò)程》的引論中告訴我們：“無(wú)論什么課，務(wù)必要使學(xué)生理解這些科目的基本結(jié)構(gòu)，這是使用知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)處理課外問(wèn)題和事件，或者處理日后課堂訓(xùn)練中遇到的問(wèn)題的最起碼要求。遷移這一經(jīng)典問(wèn)題的核心，是結(jié)構(gòu)的教授與學(xué)習(xí)，而不是單純地對(duì)事實(shí)和技巧的掌握?！薄叭绻捌诘膶W(xué)習(xí)是為了使后期的學(xué)習(xí)變得更簡(jiǎn)單，那么必須有一張輪廓圖，盡可能清晰地反映前期和后期遇到的事物之間的關(guān)系?！逼渲械摹盎窘Y(jié)構(gòu)”“輪廓圖”對(duì)幾何學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，即指“幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。它是幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生個(gè)體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，是學(xué)生在經(jīng)歷感知、思維想象、記憶、表象等幾何認(rèn)知活動(dòng)中，在元認(rèn)知的調(diào)控下把幾何知識(shí)內(nèi)化到頭腦中，所形成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。它主要由幾何知識(shí)、幾何經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知操作構(gòu)成，所以，幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化就是指?jìng)€(gè)體形成幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

個(gè)體良好的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須經(jīng)歷自己對(duì)幾何知識(shí)和幾何經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知操作才能建構(gòu)起來(lái)，很難想象不經(jīng)歷對(duì)單位課時(shí)的幾何知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)，就能自然而然地形成個(gè)體良好的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)。解題技能可以借助于習(xí)題訓(xùn)練，而幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不能僅靠習(xí)題訓(xùn)練習(xí)得，尤其對(duì)于幾何能力較差的學(xué)生而言，正如布魯納所指出的：“強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的優(yōu)秀教學(xué)，對(duì)能力較差的學(xué)生比對(duì)那些有稟賦的學(xué)生而言，或許更為寶貴?！?/p>

單元幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化的益處主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：首先，單位課時(shí)習(xí)得的幾何知識(shí)是松散的，以點(diǎn)狀分布的，對(duì)每一知識(shí)點(diǎn)有完整認(rèn)知，但缺乏對(duì)系統(tǒng)中其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系。從這點(diǎn)而論，可以說(shuō)它還處于淺水平的習(xí)得。在復(fù)習(xí)中經(jīng)過(guò)對(duì)幾何知識(shí)點(diǎn)的概念與概念串珠成鏈，概念與方法、方法與方法組鏈成塊，讓學(xué)生看清概念間的、組塊間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，用感知、推演、析取等認(rèn)知操作組建幾何知識(shí)整體結(jié)構(gòu)，就會(huì)在學(xué)習(xí)者頭腦中形成深水平理解的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如復(fù)習(xí)后理解“角是射線旋轉(zhuǎn)而成，圓是線段旋轉(zhuǎn)360°而成”。其次，深水平理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于后期新知識(shí)的同化學(xué)習(xí)和順應(yīng)學(xué)習(xí)。如“線段旋轉(zhuǎn)形成圓的思維結(jié)構(gòu)”就有利于遷移建構(gòu)“矩形旋轉(zhuǎn)形成圓柱或半圓旋轉(zhuǎn)形成球的思維結(jié)構(gòu)”。同時(shí)，也有利于遷移組塊知識(shí)解決一些復(fù)雜的問(wèn)題。最后，復(fù)習(xí)中組織好幾何知識(shí)既可以提高知識(shí)的利用效率，又能減輕幾何知識(shí)的記憶負(fù)擔(dān)，縮小高級(jí)和低級(jí)幾何知識(shí)的差距，不因?yàn)橹R(shí)的零散而模糊或遺忘，更能拓展幾何認(rèn)知記憶的容量。

2.幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化的意義

當(dāng)代認(rèn)知理論認(rèn)為：人類通過(guò)認(rèn)知活動(dòng)所獲得的知識(shí)，既包括語(yǔ)言、文字或符號(hào)等方式表現(xiàn)出來(lái)的明確知識(shí)之外，還存在一種非理性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)和感悟等默會(huì)知識(shí)。默會(huì)知識(shí)在整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中起著重要的作用。幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中也存在著明確知識(shí)和默會(huì)知識(shí)，如認(rèn)識(shí)圓時(shí)，圓的定義、圓心、半徑、直徑等概念是明確知識(shí)，而在畫(huà)圓活動(dòng)中體會(huì)感悟出“圓心決定方位，半徑?jīng)Q定圓的大小”這種經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，這就是默會(huì)知識(shí)。幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化就是讓個(gè)體在建構(gòu)認(rèn)知形式化的幾何概念、幾何方法等明確知識(shí)的過(guò)程中，感悟出隱藏在活動(dòng)情景背后的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(默會(huì)知識(shí))，并且能同時(shí)運(yùn)用這兩種知識(shí)展開(kāi)幾何認(rèn)知活動(dòng)。

幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化的目的是將幾何的明確知識(shí)和默會(huì)知識(shí)融合起來(lái)，形成應(yīng)用中的互動(dòng)，讓默會(huì)知識(shí)(經(jīng)驗(yàn))去支撐或加深對(duì)明確知識(shí)的理解，反之使明確知識(shí)在運(yùn)用中產(chǎn)生更豐富的默會(huì)知識(shí)。因?yàn)槟瑫?huì)知識(shí)是個(gè)體的幾何實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、幾何解題經(jīng)驗(yàn)和幾何思維經(jīng)驗(yàn)，帶有明顯的個(gè)體特性和情景、條件特征。它能夠起到對(duì)明確知識(shí)的活化作用，可以提高個(gè)體建構(gòu)新知識(shí)的可能性，提高解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的可能性。如：有了“圓心定位、半徑定圓大小”的經(jīng)驗(yàn)，就能提高“在矩形中作最大圓”的解題能力，“作對(duì)角線用矩形中心定位求作大圓圓心，再用矩形中心到長(zhǎng)邊的距離為半徑”就能解答此題。

我們把班級(jí)視為學(xué)習(xí)型組織，幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)化還有一個(gè)重要意義。根據(jù)野中郁次郎的組織學(xué)習(xí)理論可知，組織中的默會(huì)知識(shí)有一個(gè)公共化周期，最初發(fā)生在個(gè)體幾何認(rèn)知中，處于無(wú)語(yǔ)狀態(tài)，是一種感悟或體驗(yàn)的隱性態(tài)。當(dāng)這種感悟或體驗(yàn)成熟后，個(gè)體就會(huì)用隱喻的方式和外界交流，如果多種交流匯合就可能發(fā)展成一個(gè)語(yǔ)意表達(dá)的幾何經(jīng)驗(yàn)(顯性態(tài))。由于有了語(yǔ)言表達(dá)的可能，那么，初始的個(gè)體(小群體)感悟或體驗(yàn)就會(huì)以間接經(jīng)驗(yàn)方式傳播給組織的每一位人員，成為全班的公共幾何默會(huì)知識(shí)。這將大大提高班級(jí)幾何學(xué)習(xí)的整體水平，為后期的新知學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件。如：“射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成角”的經(jīng)驗(yàn)是“順時(shí)針轉(zhuǎn)角越轉(zhuǎn)越大，逆時(shí)針轉(zhuǎn)角越轉(zhuǎn)越小”，這為以后建構(gòu)“角的分類中的正角、負(fù)角概念，直角坐標(biāo)系中討論象限角、軸線角”創(chuàng)造了條件。

二、幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的分析與構(gòu)思

從一年級(jí)至四年級(jí)上半學(xué)期的幾何知識(shí)教材內(nèi)容編排的整體性出發(fā)，筆者整理出了下表，如表1所示：

表1　一年級(jí)～四年級(jí)教材幾何知識(shí)整理表

隨著年級(jí)升高，幾何課時(shí)量逐漸增多，幾何知識(shí)內(nèi)容逐漸擴(kuò)展，到四年級(jí)下學(xué)期學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了四種基本圖形：線段、射線、直線和角，已開(kāi)始認(rèn)識(shí)由基本圖形組成的日常生活中常見(jiàn)的圖形：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓。在各種圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生既探究了圖形的特征，又討論了組成圖形的各元素之間的關(guān)系、圖形和圖形間的關(guān)系，也積累了一系列的平面幾何認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)。問(wèn)題是這種螺旋式認(rèn)知安排，一個(gè)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)周期跨度多的達(dá)三年，如線段的認(rèn)識(shí)和角的認(rèn)識(shí)，最少也要跨學(xué)期。所以，形成的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)中，很可能是碎片化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和無(wú)序的幾何經(jīng)驗(yàn)，對(duì)后期的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生負(fù)面影響。筆者認(rèn)為，本學(xué)期有必要讓學(xué)生對(duì)已學(xué)幾何知識(shí)進(jìn)行梳理，一方面把點(diǎn)狀的幾何知識(shí)組建成塊面的幾何知識(shí)，另一方面尋找組塊幾何知識(shí)間的聯(lián)系，使組塊知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化。同時(shí)整理出點(diǎn)狀學(xué)習(xí)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些組塊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。把學(xué)習(xí)進(jìn)程推向深度理解(情景化理解、條件化理解和結(jié)構(gòu)化理解)，讓幾何知識(shí)和幾何經(jīng)驗(yàn)高度融合，形成個(gè)性化的理解。

第一，把線段、射線和直線結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，用直線概念來(lái)統(tǒng)合線段和射線概念。初步得出“線段、射線都是直線的一部分”(見(jiàn)圖1)：

圖1　線段、射線和直線概念整合圖

再把各自的端點(diǎn)數(shù)、可延長(zhǎng)性、可度量性統(tǒng)一起來(lái)；最后把符號(hào)表示統(tǒng)一起來(lái)；用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示或一個(gè)小寫(xiě)字母表示。并且梳理出點(diǎn)和線(線段、射線、直線)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)；直線和射線表示差異經(jīng)驗(yàn)。

第二，將二次角的分類統(tǒng)一起來(lái)，把二年級(jí)靜態(tài)學(xué)習(xí)的直角、銳角、鈍角與四年級(jí)動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)的平角、周角整合到一個(gè)圖式情景中(見(jiàn)圖2)，讓學(xué)生在“射線繞端點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)”中，動(dòng)態(tài)地歸納出：從特殊情況的0°(射線原形)旋轉(zhuǎn)到90°(不包括90°)中間有無(wú)數(shù)個(gè)銳角，從90°(不包括90°)旋轉(zhuǎn)到180°(不包括180°)中間有無(wú)數(shù)個(gè)鈍角，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)回到原來(lái)位置時(shí)，形成了三個(gè)定值的角：直角、平角和周角。同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)出“旋轉(zhuǎn)中角在變化，邊的長(zhǎng)短有無(wú)變化，角的變大變小和邊的什么有關(guān)、什么無(wú)關(guān)”；體會(huì)出“量角、畫(huà)角怎樣用量角器，怎樣讀出度數(shù)”等經(jīng)驗(yàn)。

圖2　角分類的動(dòng)態(tài)演示圖

第三，將圓概念和矩形認(rèn)識(shí)聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在作出“矩形中最大圓”的實(shí)踐中，將最大圓半徑和矩形短邊一半聯(lián)系上，將圓心和矩形中心聯(lián)系上，體會(huì)出“圓心決定圓位置，半徑?jīng)Q定圓面積大小”的經(jīng)驗(yàn)，以及“矩形中畫(huà)最大圓怎樣定圓心、定半徑”的經(jīng)驗(yàn)等(如圖3)。

圖3　圓與矩形關(guān)系圖

對(duì)上述三個(gè)知識(shí)組塊又怎樣聯(lián)系起來(lái)織成網(wǎng)絡(luò)呢？我們可以用射線旋轉(zhuǎn)來(lái)串聯(lián)第一和第二知識(shí)組塊，讓學(xué)生思考線段、射線和直線旋轉(zhuǎn)，哪個(gè)能形成角？為什么？問(wèn)題討論完，兩個(gè)組塊的知識(shí)就黏合在一起了。我們可以旋轉(zhuǎn)線段來(lái)串聯(lián)圓和第一塊知識(shí)，可以同樣地問(wèn)：線段、射線和直線中，誰(shuí)能旋轉(zhuǎn)成圓呢？為什么？這樣就能把圓和第一塊知識(shí)黏合起來(lái)，從而形成三大組塊知識(shí)的內(nèi)在整合。讓學(xué)生經(jīng)歷這種幾何知識(shí)整合過(guò)程，可以形成幾何知識(shí)整體化組織的經(jīng)驗(yàn)和感受，懂得知識(shí)是有聯(lián)系的，運(yùn)用時(shí)應(yīng)系統(tǒng)化思考問(wèn)題。

三、幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的教學(xué)策略和學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

1.梳理點(diǎn)狀概念知識(shí)的策略與活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)閱讀反思表格歸納策略

閱讀反思表格歸納是指讓學(xué)生對(duì)一個(gè)階段學(xué)習(xí)的概念知識(shí)進(jìn)行重溫，可以是重讀已學(xué)教材，可以翻閱本階段的作業(yè)練習(xí)、錯(cuò)題本和測(cè)試卷，也可以查閱平時(shí)獨(dú)立自學(xué)的輔導(dǎo)書(shū)，然后按照一定要求、范圍，把一系列概念知識(shí)整理成一個(gè)結(jié)構(gòu)組塊的教學(xué)方法。

這一過(guò)程能使每位學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)打包的過(guò)程，在反思中找到單點(diǎn)知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，還能在整體中深度理解單點(diǎn)知識(shí)，這樣就為個(gè)體知識(shí)的情景化、條件化、結(jié)構(gòu)化奠定了基礎(chǔ)，為活化個(gè)體應(yīng)用知識(shí)創(chuàng)造了條件。

例如：在對(duì)直線、射線、線段反思?xì)w納時(shí)，可以重溫教材第一冊(cè)第56～57頁(yè)、第七冊(cè)第79～80頁(yè)，以及相應(yīng)的作業(yè)練習(xí)或輔導(dǎo)材料，讓學(xué)生按表格要求整理知識(shí)組塊，然后遷移組塊知識(shí)去解決問(wèn)題(具體見(jiàn)表2、圖4)，在解答問(wèn)題后總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

表2　線段、射線、直線知識(shí)整理表

圖4　線段、射線、直線知識(shí)反饋圖

(2)視頻解讀圖式化概括策略

視頻解讀圖式化概況策略是教師設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)連貫的、反映知識(shí)發(fā)生過(guò)程的視頻課件，同時(shí)設(shè)計(jì)好觀后需思考的問(wèn)題串，讓學(xué)生邊觀察圖式的變化過(guò)程邊思考問(wèn)題，也可以邊觀察邊開(kāi)展小組討論，學(xué)生在觀察、思考、討論中形成圖式化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種教學(xué)方法。

這種方法能使學(xué)生在動(dòng)態(tài)圖象變化中，找出知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，能把點(diǎn)狀知識(shí)組建成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖象，有利于記憶和儲(chǔ)存，也有利于知識(shí)的整體遷移。

例如：在角的定義、分類、度量、關(guān)系的復(fù)習(xí)中，教師可以制作動(dòng)態(tài)視頻課件(如圖2)，同時(shí)設(shè)計(jì)問(wèn)題串(如圖5)：

1.你見(jiàn)到一條什么線?正在做怎樣的轉(zhuǎn)動(dòng)?(集體討論)2.除了二年級(jí)用邊來(lái)描述角的意義,你現(xiàn)在能用射線來(lái)描述角的意義嗎?(小組討論)3.按照從0°旋轉(zhuǎn)到360°,你一共見(jiàn)到了哪幾種角?次序是怎樣的?(個(gè)體填空)4.如果把旋轉(zhuǎn)出的角看成畫(huà)角的過(guò)程,你認(rèn)為畫(huà)角有哪幾步工作?怎樣讀出角的度數(shù)?(小組討論)5.觀看了此視頻課件,你發(fā)現(xiàn)還有哪些關(guān)于角的知識(shí)沒(méi)復(fù)習(xí)到?(小組討論)

圖5射線與角的關(guān)系的提問(wèn)圖

教師在完成觀看視頻后，提示學(xué)生可以用這樣的圖來(lái)記憶、儲(chǔ)存角的知識(shí)，解題時(shí)可以想一想這個(gè)圖是怎么告訴我們的。

(3)習(xí)題解答經(jīng)驗(yàn)提取策略

習(xí)題解答經(jīng)驗(yàn)提取策略是教師把需組合的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)到習(xí)題中，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中，把知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法組合起來(lái)的一種教學(xué)方法。它既有組合知識(shí)的功能，還有提高解題能力的功能。

例如：復(fù)習(xí)由線段形成的圖形時(shí)，我們可以設(shè)計(jì)前面如圖3的習(xí)題：在邊長(zhǎng)為4厘米的正方形或長(zhǎng)8厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形中，畫(huà)一個(gè)最大的圓。

教師在解題前布置解題后的討論提綱：作畫(huà)過(guò)程中，你是怎樣確定圓心的？你又是怎么確定半徑的？這樣的解題用到前面哪些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)？

2.組塊知識(shí)連接的策略與活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)基本圖形運(yùn)動(dòng)蛻變策略

基本圖形運(yùn)動(dòng)蛻變策略是讓學(xué)生操作基本圖形的學(xué)具，使其在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生生活中常見(jiàn)的圖形(或形體)，從而發(fā)現(xiàn)基本圖形和常見(jiàn)圖形(或形體)之關(guān)系的一種聯(lián)系性教學(xué)方法。

例如：課前讓學(xué)生自制一件“打甩”，讓學(xué)生拿著一頭打圈甩開(kāi)就能發(fā)現(xiàn)生活中存在的圓。然后總結(jié)出：握點(diǎn)是什么？另一端掛物怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)？“打甩”類似我們學(xué)過(guò)的線段，還是射線或直線呢？射線和直線能轉(zhuǎn)出圓嗎？思考完一系列問(wèn)題后,學(xué)生自然而然地將線段和圓關(guān)聯(lián)起來(lái),從而也把基本圖形和日常生活圖形組織起來(lái)了。

(2)問(wèn)題思辨質(zhì)疑策略

問(wèn)題思辨質(zhì)疑策略是學(xué)生思考兩個(gè)組塊知識(shí)聯(lián)系的問(wèn)題，找出它們的聯(lián)系點(diǎn)從而把知識(shí)整合起來(lái)的教學(xué)方法。

例如，復(fù)習(xí)中為了把“線段、射線、直線和角”兩塊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，教師可以提出問(wèn)題：線段、射線、直線中，哪些線旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生角？為什么？學(xué)生根據(jù)角的動(dòng)態(tài)定義進(jìn)行說(shuō)明后，就能將兩種基本圖形知識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)了。

3.課內(nèi)復(fù)習(xí)向課外延伸策略

課內(nèi)向課外延伸策略是一個(gè)將課堂集體復(fù)習(xí)活動(dòng)中產(chǎn)生的班級(jí)集體公共知識(shí)轉(zhuǎn)化成個(gè)人自有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，就是課后學(xué)生參考課堂復(fù)習(xí)經(jīng)歷的知識(shí)認(rèn)知系統(tǒng)，獨(dú)立地用自己的方式呈現(xiàn)出來(lái)的一個(gè)過(guò)程。當(dāng)然也可以課后，通過(guò)自組織形式來(lái)完成自己的知識(shí)復(fù)習(xí)構(gòu)建。

本研究嘗試該策略，讓學(xué)生再經(jīng)歷公共知識(shí)私有化的過(guò)程，效果較為理想。好的學(xué)生能基本結(jié)構(gòu)化地反饋出自己的幾何知識(shí)，平時(shí)水平一般的學(xué)生能局部地反饋?zhàn)约旱膸缀沃R(shí)。

四、反思幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化后的變化

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化以后，在期終復(fù)習(xí)和期末測(cè)試中就有了不小的變化。

平時(shí)練習(xí)中解答“矩形和圓關(guān)聯(lián)”的習(xí)題錯(cuò)誤率較高，而在總復(fù)習(xí)和期末測(cè)試中正確率有了明顯提高，說(shuō)明學(xué)生能把圓的概念知識(shí)、圓的定位經(jīng)驗(yàn)、圓的定大小經(jīng)驗(yàn)和矩形的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，獲得了求解此類問(wèn)題的思想方法。

圖6　幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)變化圖a

圖7　幾何知識(shí)經(jīng)驗(yàn)變化圖b

對(duì)比圖6和圖7中學(xué)生的解題過(guò)程，我們可以推斷以下兩方面的變化發(fā)展：

第一，從簡(jiǎn)單直接遷移運(yùn)用知識(shí)變化發(fā)展到能用組塊性的結(jié)構(gòu)化知識(shí)來(lái)析題和解題。例如圖6第2題，相當(dāng)部分學(xué)生誤把大圓半徑當(dāng)作小圓半徑，說(shuō)明學(xué)生缺乏跨知識(shí)鏈的推理能力，只能直接運(yùn)用半徑、直徑概念關(guān)系來(lái)尋找答案，而不能作出“大圓半徑為8厘米→大圓半徑為正方形邊長(zhǎng)→小圓直徑等于正方形邊長(zhǎng)就等長(zhǎng)于大圓半徑→所以小圓半徑就是大圓半徑的一半→是8÷2=4(厘米)的推理分析”。到了期末圖7第1題，大部分學(xué)生在析題解題中都已經(jīng)能夠作出“組塊性、結(jié)構(gòu)化運(yùn)用知識(shí)”的推理分析了。如“圓半徑為4分米→圓的直徑等于正方形邊長(zhǎng)→正方形周長(zhǎng)就等于4個(gè)直徑→所以正方形周長(zhǎng)是4×2×4=32(分米)，正方形面積是(4×2)×(4×2)=64(平方分米)”。由此可得出經(jīng)驗(yàn)性判斷：學(xué)生的幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化程度提高了。

第二，知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)分離變化發(fā)展到知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)融合，并遷移運(yùn)用。例如，圖6第1題由于“圓心定位、半徑定大小”的經(jīng)驗(yàn)還沒(méi)有和“長(zhǎng)方形中最大圓的直徑或半徑”聯(lián)系起來(lái)，所以誤認(rèn)為半徑是寬的一半，那么直徑就是長(zhǎng)的一半。當(dāng)期末兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)已和長(zhǎng)方形的對(duì)角線交點(diǎn)(中心)、內(nèi)部大圓半徑或直徑相聯(lián)系，就有了這樣的遷移運(yùn)用推理：“長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)最大圓→圓心在長(zhǎng)方形的中心(對(duì)角線交點(diǎn)上)→最大圓的直徑不能大于寬，否則會(huì)畫(huà)出長(zhǎng)方形， 所以最大圓直徑就等于寬→用寬的一半做半徑，以對(duì)角線交點(diǎn)為圓心就能畫(huà)出長(zhǎng)方形內(nèi)最大圓”?？梢?jiàn)期末50%以上學(xué)生能正確解答“矩形中畫(huà)最大圓”的題目，證明學(xué)生把幾何知識(shí)和幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融合的程度大大增加了。

還有在平時(shí)練習(xí)中，學(xué)生對(duì)一些概念填空和判斷總是會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，到總復(fù)習(xí)后，同類的概念題的錯(cuò)誤率明顯減少。說(shuō)明通過(guò)概念結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化作業(yè)后，概念的清晰程度提高了，學(xué)生能在概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中用分析性思辨去解決問(wèn)題，而不是單點(diǎn)知識(shí)學(xué)習(xí)后，用那種機(jī)械識(shí)記性的工具性思維來(lái)思考問(wèn)題，如圖8所示：

判斷:1.當(dāng)直角的兩條邊長(zhǎng)度擴(kuò)大2倍就成為一個(gè)平角。原(√)現(xiàn)(×)2.兩條射線相加等于一條直線。原(√)現(xiàn)(×)3.線段比射線短,射線比直線短。原(√)現(xiàn)(×)4.鈍角的一半一定是銳角。原(×)現(xiàn)(√)填空:1.一個(gè)圓周被分成180等份,每份所對(duì)的角是(原1°,現(xiàn)2°)。2.鐘面上12時(shí)30分時(shí),時(shí)針和分針?biāo)鶌A的較小的角是(原180°,現(xiàn)165°)。

圖8幾何概念認(rèn)知變化圖

從圖8的判斷中可以看出學(xué)生第三方面的變化：從“靜止的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)概念遷移判定”變化發(fā)展到“用動(dòng)態(tài)的知識(shí)概念鏈來(lái)推斷命題的真?zhèn)巍?。如原?lái)“線段比射線短，射線比直線短”判對(duì)時(shí)學(xué)生這樣想：線段有兩端點(diǎn)、不能延長(zhǎng)；射線有一端點(diǎn)、可一邊延長(zhǎng)；而直線無(wú)端點(diǎn)、可兩邊延長(zhǎng)。所以兩邊延長(zhǎng)的比一邊延長(zhǎng)的肯定長(zhǎng)。而經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)后，把線段、射線、直線知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化了，他們從整體結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)來(lái)思考三者關(guān)系：線段有兩端點(diǎn)可度量，所以相對(duì)射線、直線短，可是射線、直線都可以無(wú)限延長(zhǎng)，又都不可以度量，要多長(zhǎng)就能延長(zhǎng)多長(zhǎng)，所以是無(wú)法比較長(zhǎng)短的。從中可見(jiàn)，學(xué)生的幾何思維已經(jīng)從“機(jī)械的、量上的性狀推斷”變化發(fā)展到“本質(zhì)的、性狀的、抽象的性狀推斷”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)開(kāi)拓者、研究者和探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！痹趶?fù)習(xí)階段讓學(xué)生自主地將幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，無(wú)疑是滿足學(xué)生學(xué)習(xí)意識(shí)發(fā)展需要、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種有效方式。正如學(xué)生課后談到的感想：“通過(guò)這次的單元總結(jié)及整理，不但鞏固了本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí),使我對(duì)于這些圖形的概念更清楚了，發(fā)現(xiàn)了這些幾何知識(shí)間的聯(lián)系，還使我單元測(cè)驗(yàn)的成績(jī)有了明顯的提升?！薄拔矣X(jué)得這種學(xué)習(xí)的方法我很喜歡,以后在復(fù)習(xí)階段我會(huì)試著這樣整理知識(shí)。”我們的教學(xué)目標(biāo)也正是如此。

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Elementary Geometry Knowledge Structured and Experience of Teaching Strategy Research

WANG Yan

(Shanghai Xiangyang Primary School of Xuhui District , Shanghai 200032)

Abstract:Elementary geometry structured experiential knowledge refers to the process of individual cognitive structure geometry, it makes the individual in cognitive formalized concept geometry, geometry method, and explicit knowledge based on the relationship between their respective activities, feeling out of hiding behind the activity scene geometry activity experience, and can also use these two kinds of knowledge on geometric cognitive activity. Its significance is to make learners form a deep level of understanding in the mind of the geometry of cognitive structure, lighten the burden of memory geometry knowledge, close the gap between superior and inferior geometry knowledge, improve the overall level of learning geometry class. In this paper, around a line segment, ray, linear and angle; rectangle and circle geometry knowledge structured experience process, such as the concept of “combing point of knowledge strategy”, “connection group pieces of knowledge strategy”, “the review to the extra-curricular activities teaching strategy” three major strategies are analyzed, and activity design, to provide the teaching and research in the field of cases and experience.

Key words:elementary, geometric, structured knowledge, experienced knowledge, strategy

作者簡(jiǎn)介：王燕，上海市人，上海市徐匯區(qū)向陽(yáng)小學(xué)高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)研究。