余曉娟（漢江師范學(xué)院　數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北　十堰　442000）

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歐拉公式的可視化論證及教學(xué)導(dǎo)議

余曉娟
（漢江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北十堰442000）

摘要：介紹了歐拉公式的兩種可視化論證方法，并提出了相關(guān)的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：歐拉公式；復(fù)指數(shù)冪；教學(xué)

1　引言

為了得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法，文獻(xiàn)［1］中寫到“引入熟知的歐拉公式……”，對(duì)于這一點(diǎn)的處理，教師應(yīng)至少為自己提出以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）歐拉公式是怎么來(lái)的？

（2）有何方法可以論證歐拉公式？

（3）歐拉公式和復(fù)數(shù)的指數(shù)表示以及復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義之間有何關(guān)系？在其他方面還有什么用途和意義？

這些問(wèn)題的提出和解答對(duì)學(xué)生理解復(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則以及兩大初等解析函數(shù)（復(fù)指數(shù)函數(shù)和復(fù)三角函數(shù)）的表達(dá)式和性質(zhì)有著至關(guān)重要的作用.

1740年10月18日，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707-1783）在給伯努利的信中說(shuō)是同一個(gè)微分方程的解，因此應(yīng)該相等.［2］

1743年，歐拉發(fā)表了這個(gè)結(jié)果，即

2　歐拉公式的可視化論證

文獻(xiàn)［2-3］從不同的角度給出了歐拉公式的幾種證明，但學(xué)生理解起來(lái)不夠直觀，這里引入Tristan的“可視化”方法［4］，我們現(xiàn)在分別從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的角度來(lái)對(duì)歐拉公式加以論證.

2.1從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角度

這一論證基于以下前提：

（1）對(duì)eiθ沒(méi)有認(rèn)識(shí)，即不知道eiθ是復(fù)平面單位圓上一點(diǎn).

（2）z0·z是指：對(duì)z的模拉伸|z0|倍，同時(shí)輻角旋轉(zhuǎn)argz0個(gè)角度.

注：Tristan將這一變換稱為“伸扭（amplitwist）”變換，amplitwist一詞是從“amplification”和“twist”兩個(gè)詞語(yǔ)中各取一部分湊在一起.

想象一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿C中一曲線L運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的位置是一個(gè)復(fù)數(shù)Z（t）.則其在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度如圖1所示.

圖1　質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

可見(jiàn)，該點(diǎn)將沿單位圓運(yùn)行.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持|Z（t）=1|，t時(shí)刻時(shí)該點(diǎn)在單位圓上運(yùn)行了一個(gè)距離t，也即t就是Z（t）=eit的輻角，這就是歐拉公式的幾何表述.

2.2從冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的角度

這一論證基于以下前提：

（1）已知ex的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式為

（2）為了使eiθ有意義，我們可認(rèn)為［3］

圖2　級(jí)數(shù)收斂過(guò)程

從圖2可以看出，（2）式中各項(xiàng)的和最終收斂于復(fù)平面上的一點(diǎn)，但現(xiàn)在我們尚不知道，這一點(diǎn)就是eiθ.下面我們從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)就是eiθ.由于

設(shè)f（θ）=cosθ+isinθ，下說(shuō)明|f（θ）=1，且argf（θ）=θ，這是容易的.也即f（θ）是復(fù)平面上一個(gè)模為1，輻角為θ的復(fù)數(shù)，從而f（θ）=eiθ，而歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ也得到了驗(yàn)證.

2.3可視化方法的進(jìn)一步探討

當(dāng)隨便翻開(kāi)一本現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書，我們面對(duì)的往往是抽象的證明和大量的符號(hào)及推理，這與我們關(guān)于實(shí)際世界的感官經(jīng)驗(yàn)完全脫節(jié)，盡管書中正在研究的現(xiàn)象往往是借助與幾何直覺(jué)或物理現(xiàn)象才發(fā)現(xiàn)的.這反映了一個(gè)事實(shí)，即幾百年來(lái)數(shù)學(xué)的表述被過(guò)度抽象化和邏輯化了，而形象思維和幾何直觀則被放到了一個(gè)被忽視的角落.如同在一個(gè)鼓勵(lì)閱讀的國(guó)度卻被禁止談話和交流一樣，這樣做是具有諷刺意義的.其導(dǎo)致的直接后果是部分學(xué)生在面臨抽象的符號(hào)和繁瑣的論證時(shí)產(chǎn)生了畏難甚至恐懼的內(nèi)心體驗(yàn)，漸漸地對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去了興趣，更談不上有創(chuàng)造性的發(fā)展了.［5］

可視化方法提供了一種全新的、看得見(jiàn)的論證方式來(lái)解釋若干數(shù)學(xué)問(wèn)題，比起抽象的符號(hào)和推理，其更接近問(wèn)題的本質(zhì)，也更易被學(xué)生所理解和接受.

著名數(shù)學(xué)家克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》一書中特別推崇一種描述數(shù)學(xué)的發(fā)展和結(jié)構(gòu)的方法，即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的生成和發(fā)展，強(qiáng)調(diào)各分支的相互聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)邏輯推理后面的直覺(jué)和內(nèi)涵，［6］這正是可視化方法的一種外在體現(xiàn)，即將數(shù)學(xué)的各分支相互融合，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相融合，將邏輯推理和直覺(jué)推測(cè)去融合，去“體會(huì)”數(shù)學(xué)結(jié)論或原理內(nèi)部的幾何內(nèi)涵或物理意義，從而更加多維度多層次的理解數(shù)學(xué).

3　教學(xué)導(dǎo)議

鑒于以上思考，教師可將歐拉公式部分內(nèi)容設(shè)計(jì)以下教學(xué)流程：

3.1滲透數(shù)學(xué)文化，重視知識(shí)的發(fā)生過(guò)程

在教材中第一次接觸歐拉公式即介紹復(fù)數(shù)的三種表示形式時(shí)，就介紹歐拉公式的由來(lái)，數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)以及歐拉公式的特殊形式中展現(xiàn)的數(shù)學(xué)美等等.可采取安排課前預(yù)習(xí)，自己查閱相關(guān)資料，然后課上分享的形式調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)者的積極性，引發(fā)學(xué)生積極思考.

3.2尊重認(rèn)知規(guī)律，在解決問(wèn)題中鞏固新知

復(fù)指數(shù)冪對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是全新的內(nèi)容，學(xué)生接受起來(lái)有一個(gè)過(guò)程.有了上述的鋪墊，學(xué)生渴望解決問(wèn)題的愿望比較強(qiáng)烈，此時(shí)應(yīng)尊重學(xué)生的遺忘規(guī)律，及時(shí)鞏固復(fù)習(xí)，可進(jìn)行復(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三種表示形式間的轉(zhuǎn)化、級(jí)數(shù)的展開(kāi)式等方面的練習(xí)，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的掌握.

3.3密切聯(lián)系舊知，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊

學(xué)生在應(yīng)用歐拉公式進(jìn)行復(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算法則和實(shí)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是一樣的，教師此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次的思考，ex+yi即ez可否作為函數(shù)的形式存在，就像實(shí)指數(shù)函數(shù)ex一樣？作為函數(shù)的ez又具備哪些性質(zhì)呢？復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和實(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)又有哪些異同呢？有了對(duì)這些問(wèn)題的思考，學(xué)生在不久后學(xué)習(xí)初等解析函數(shù)時(shí)就不至于顯得突兀，理解指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的表達(dá)式及其性質(zhì)時(shí)就比較自然了.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.10—64.

〔2〕李勁.歐拉公式eix=cosx+isinx的幾種證明及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［J］.河西學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24（5）：1-5.

〔3〕鄭玉敏.淺談歐拉公式的成因［J］.黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，24（5）：106-107.

〔4〕［美］Tristan Needham.復(fù)分析可視化方法［M］.北京：人民郵電出版社，2009.75—78.

〔5〕Yu Xiaojuan.Literature Review ofApplying Visual Methodto Understand Mathematics［J］.ICETA.2015.22 （5）：01063-p1-p5.

〔6〕［德］Felix Klein.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué) （第二冊(cè)）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

中圖分類號(hào)：O174

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）06-0001-02

收稿日期：2016-02-25