張紅專(zhuān)　范久良

我在每次高三總復(fù)習(xí)之前都作一次問(wèn)卷調(diào)查，其中有一項(xiàng)為：“你認(rèn)為高中數(shù)學(xué)最難學(xué)的章節(jié)有那些？”答卷中70%左右的回答有“必修2第二章”。通過(guò)調(diào)查分析，原因不外乎有四條：一是本章概念多；二是圖形多；三是學(xué)生缺乏空間想象能力；四是平面幾何定勢(shì)思維給空間概念帶來(lái)認(rèn)識(shí)上的障礙。確實(shí)，在這一章的教學(xué)中教師常常費(fèi)盡口舌，而學(xué)生囫圇吞棗、似懂非懂。筆者常想，如果我們?cè)诮淌谶@一章中能找到一個(gè)具體模型，在討論點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系時(shí)，不管條件如何變化，都能幫助我們分析其位置關(guān)系，達(dá)到研究的目的，那么教與學(xué)都會(huì)感到非常輕松，這當(dāng)然是一件非常有意義的研究活動(dòng)。

有沒(méi)有這樣一個(gè)具體模型能幫助我們達(dá)到這個(gè)目的呢？正方體模型有此特征。因此筆者根據(jù)本章特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，在教授“立體幾何”概念時(shí)，總結(jié)了一種“正方體模型教學(xué)法”。

一、正方體模型的特點(diǎn)

正方體是立體幾何中最常見(jiàn)的幾何體，由它的特征不難發(fā)現(xiàn)它包含了“立體幾何”研究中的點(diǎn)、線、面元素，及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，所以我在教學(xué)中講授有關(guān)概念時(shí)，都先借助正方體模型進(jìn)行演示，使同學(xué)們先有一個(gè)直觀印象，然后再作深入的研究。

（一）正方體模型中的平面展示平面的性質(zhì)

正方體模型有6個(gè)直觀面和6個(gè)對(duì)角面，如圖一。平面的基本性質(zhì)中的三條公理、三條推論，都能很容易地從模型中演示和說(shuō)明。例如平面AC和平面AB 1有一個(gè)公共點(diǎn)A，則平面AC和平面AB l有且只有過(guò)A點(diǎn)的一條直線AB，即公理2的內(nèi)容。也就是說(shuō)平面性質(zhì)中元素及關(guān)系可由正方體模型引進(jìn)。

（二）正方體模型中的線段反映兩條直線的位置關(guān)系

正方體模型中有l(wèi) 2條棱、1 2條面對(duì)角線、4條體對(duì)角線，這些線段共可組成378對(duì)反映直線平行、相交、異面三種關(guān)系，這些為我們學(xué)習(xí)兩直線的位置關(guān)系提供了具體而豐富的實(shí)例。例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)異面直線的定義、判定、公垂線、距離、所成的角時(shí)，這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生往往很難一下搞清楚，如果我們借助正方體模型中的線段，如A B與B l C l加以說(shuō)明，所有問(wèn)題便一目了然了。

（三）正方體模型中的直線與平面的平行和垂直

正方體中任意兩條相對(duì)的棱都平行，則一條棱必平行于另一條棱所在平面；正方體中任意一條棱都垂直于不包含且和它相交的平面；直線與平面相交的關(guān)系在模型中也很直觀。如圖二，AAl∥BBl，則AAl //平面 BCl；AAl⊥AB，AAl⊥AD，則AAl⊥平面AC；AAl⊥平面AC，BBl⊥平面AC，則 AAl∥BBl 。又∠AlCA為AlC與平面AC所成的角；Al C，AAl，AC，B D構(gòu)成三垂線定理模型等等。凡直線與平面位置關(guān)系中所涉及的概念都能在正方體模型中找到直觀圖。

（四）正方體模型中的平面與平面

正方體相鄰兩個(gè)面都相交，不相鄰兩個(gè)平面都平行，例如AlBl，AlDl 平面Al Cl，且AlBl∥平面AC， Al Dl//平面AC，則平面AlCl∥平面AC，相鄰表面，對(duì)角面與表面，對(duì)角面之間都構(gòu)成二面角模型。例如：平面AC—BC—平面AlC構(gòu)成二面角模型，∠ABAl為二面角平面角；同樣兩平面垂直的判定與性質(zhì)也可用正方體模型直觀說(shuō)明。因此平面和平面的位置關(guān)系也可由正方體模型中的面直觀看到。

二、正方體模型教學(xué)法的基本模式

正方體模型教學(xué)法的大框架是：分析概念的條件和結(jié)論——借助正方體模型線面關(guān)系——解答問(wèn)題。對(duì)具體課堂教學(xué)來(lái)說(shuō)又可分為下述幾個(gè)環(huán)節(jié)。

（一）直接反映概念的基本特征

正方體模型中的線面關(guān)系，可直接傳遞有關(guān)概念的內(nèi)容，并且它給學(xué)生的信息是直覺(jué)的、顯示結(jié)構(gòu)的、完整的，它能使學(xué)生正確地理解概念的內(nèi)涵，甚至單憑圖形的直觀現(xiàn)象，就能理解概念，無(wú)需語(yǔ)言文字描述，這是其他一些傳播媒介所不及的。例如異面直線的畫(huà)法和公垂線及兩異面直線的距離問(wèn)題，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是很難搞清楚的，而我們借助正方體模型中的有關(guān)線段，例如AB與CDl，它們?yōu)楫惷嬷本€，BC為公垂線，|BC|即為異面直線的距離，AB與CDl位置關(guān)系能更好地反映異面直線的畫(huà)法，以及既不相交又不平行的特征。

（二）借助模型分析、判斷，變化圖型觀察方式

我們?cè)诜治隽Ⅲw幾何問(wèn)題時(shí)，若沒(méi)有圖形，學(xué)生便感到困惑。自己作圖，空間圖形有時(shí)便變成了平面圖形，不具直觀性。在沒(méi)有圖形時(shí)我們?nèi)裟芙柚襟w模型分析、判斷，然后再推廣到一般情形，這樣就能幫助我們作好由“無(wú)形”到“有形”的過(guò)渡。具體來(lái)說(shuō)就是：解決一個(gè)問(wèn)題，先在正方體模型中找到具有題設(shè)條件的線和面，再仿照它畫(huà)成直觀圖，然后還可根據(jù)正方體特殊線面關(guān)系來(lái)分析一般屬性，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。例如在鞏固直線與平面平行的判定與性質(zhì)的概念時(shí)，有一道這樣的題目：一條直線與兩相交平面都平行，那么這條直線與兩平面的交線平行。若我們借助正方體模型中的AA1與平面BC1、平面CDl進(jìn)行分析，再把它轉(zhuǎn)化為一般性質(zhì)的模型，這樣作出了圖形，證明也就容易多了。

當(dāng)然若考慮任何問(wèn)題都以同一形態(tài)出現(xiàn)，易使學(xué)生產(chǎn)生思維定勢(shì)。如我們多數(shù)學(xué)生不能靈活地在不常見(jiàn)位置上運(yùn)用三垂線定理。所以我們運(yùn)用“正方體模型教學(xué)法”，指導(dǎo)學(xué)生改變其觀察方式，這樣便更能拓廣其空間想象能力。例如在正方體模型中我們能發(fā)現(xiàn)4條體對(duì)角線與不相交的l 2條面對(duì)角線之間是同一種位置關(guān)系；正方體每個(gè)面都可看成三垂線定理中的射影面。

（三）正方體模型的化歸變換

正方體模型雖然能反映各種位置關(guān)系，但勢(shì)必都是特殊關(guān)系，有相當(dāng)?shù)谋厝缓团既怀煞荩矣兴木窒扌?。我們?cè)诮虒W(xué)中可依賴(lài)它、應(yīng)用它，但一定要過(guò)渡到變化它。這也正是這種教學(xué)法研究的一個(gè)主要目的。也就是說(shuō)正方體模型要拓廣成為一般的空間圖形；非正方體模型可通過(guò)分割或鑲補(bǔ)的手段轉(zhuǎn)化為正立方體模型，用正方體的特點(diǎn)快速尋求正確的結(jié)果。例如在平行六面體中，過(guò)交于同一頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截平行六面體，求截得的三棱錐體積是平行六面體的多少倍？通過(guò)觀察正方體是平行六面體的特殊情況，那么平行六面體的特征，在正方體中一定能實(shí)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題自然就把平行六面體特殊化為棱長(zhǎng)為1的正方體，這樣過(guò)正方體的相鄰三條棱中點(diǎn)的平面截正方體，得一正三棱錐，又例如圖四1，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D作PD⊥平面ABCD，設(shè)PD=AD=a，求面PAB與面PCD所成二面角大小。這個(gè)問(wèn)題雖然從表面上看是四棱錐問(wèn)題，但稍作分析，它便是正方體模型的一部分，將原四棱錐可以補(bǔ)成正方體如圖四2，則不難發(fā)現(xiàn)∠DPA為二面角的平面角，所以答案為 ，這樣化歸為正方體模型解題比常規(guī)方法要簡(jiǎn)捷得多。

三、正方體模型教學(xué)法的特點(diǎn)

（一） 聯(lián)系實(shí)際，豐富感知，遵循從特殊到一般的規(guī)律

概念都是從個(gè)別特殊的結(jié)論歸納出來(lái)的，圖形亦是如此。立體幾何概念的內(nèi)涵若是能從典型的模型中找出反映其內(nèi)涵的線面關(guān)系，那么我們掌握它便能更直接、更具體，這樣通過(guò)實(shí)物與圖形、整體與局部對(duì)照，可使學(xué)生逐漸把反映概念的圖形立體化、形象化。例如學(xué)習(xí)三垂線定理，我們使用正方體模型中的三垂線來(lái)研究，這樣學(xué)生能更快地接受并掌握。正方體模型教學(xué)法正是由典型模型中的線面關(guān)系來(lái)反映概念的內(nèi)涵，使學(xué)生從具體模型上掌握概念，為進(jìn)一步深刻認(rèn)識(shí)打好基礎(chǔ)。

（二）訓(xùn)練了學(xué)生識(shí)圖、作圖能力

正方體模型立體感強(qiáng)，反映的關(guān)系多，正方體模型教學(xué)法便是教會(huì)學(xué)生在作圖時(shí)利用正方體模型中面線襯托方式，或輔助位置關(guān)系，來(lái)掌握畫(huà)立體圖的原理、方法和技能，從而使畫(huà)出來(lái)的圖形立體化、直觀化。

（三）強(qiáng)化概念、定理的引入，突出第一感知的印象

學(xué)生在學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到很多新問(wèn)題、新矛盾，第一次觸及這些事物時(shí)的認(rèn)識(shí)很易形成“先入為主”的思維定勢(shì)，這對(duì)形成正確的空間概念關(guān)系很大，并影響著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。因此，在學(xué)習(xí)概念、定理時(shí)，抓好起點(diǎn)，建立有代表意義的模型，突出他們的本質(zhì)屬性，就能克服各種各樣的困惑，獲得更多、更新的認(rèn)識(shí)。而正方體模型能反映各種線面關(guān)系，且圖形直觀、易畫(huà)。因此在講解概念的教學(xué)活動(dòng)中，運(yùn)用正方體模型教學(xué)法，用正方體模型中的線、面關(guān)系，進(jìn)行深刻的剖析，獲得第一感知的印象，也就獲得了正確的認(rèn)識(shí)。例如討論三個(gè)平面兩兩垂直，則三條交線兩兩垂直的問(wèn)題，當(dāng)然首先想到是用正方體模型進(jìn)行分析。

（四）抓住實(shí)質(zhì)，由淺入深，突出概念內(nèi)涵，逐步完善空間概念

立體幾何中概念多，且逐漸深化，交錯(cuò)出現(xiàn)，相輔相承，使學(xué)生感到難學(xué)。我們?cè)谥v授概念時(shí)，只要學(xué)生初步理解，基本上能用，就算達(dá)到了開(kāi)始的教學(xué)要求，應(yīng)該不奢求一次性講深講透、一步到位。在講授概念時(shí)，運(yùn)用正方體模型教學(xué)法，從大家非常熟悉的正方體模型入手，這樣就會(huì)很快地使學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)能理解、會(huì)作圖、易證明的思維環(huán)境來(lái)接受這些概念。在接受了這些基本概念的基礎(chǔ)上，再引申拓廣便不是難事了，空間概念便會(huì)逐步完善。

四、實(shí)施“正方體模型教學(xué)法”的幾點(diǎn)體會(huì)

（一）提高了學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)了概念理解能力

未實(shí)施此教學(xué)法時(shí)學(xué)生感到立體幾何難學(xué)、不會(huì)學(xué)，實(shí)施此教學(xué)法后，學(xué)生感到空間概念并不難建立，多種位置關(guān)系也很容易搞清楚，掌握概念也無(wú)需死記硬背了。運(yùn)用此教學(xué)法在講授概念時(shí)，學(xué)生能主動(dòng)思考問(wèn)題，從多角度解決問(wèn)題。對(duì)于理解力較差的學(xué)生，由于教法改進(jìn)，學(xué)有所得，增強(qiáng)了學(xué)幾何的信心，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)熱忱，對(duì)概念的理解掌握也較快了。這樣較好地克服了學(xué)習(xí)立體幾何的兩極分化，從而使學(xué)習(xí)立體幾何整體成績(jī)相應(yīng)提高了許多。

（二）提高了思維能力，增強(qiáng)了課堂效益

此教學(xué)法既培養(yǎng)了學(xué)生思維定勢(shì)的學(xué)習(xí)方法，也培養(yǎng)了學(xué)生從不同角度獨(dú)立思考、勤于探索的能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。我們借助的是立體概念較強(qiáng)的幾何體，能有效地防止平面幾何概念向立體幾何概念的負(fù)面遷移。同時(shí)，同學(xué)們能有效地快捷地掌握概念，為學(xué)習(xí)其他知識(shí)打下堅(jiān)固的基礎(chǔ)，大大地提高了課堂效益。

（三）有待探討的一些問(wèn)題

此教學(xué)法雖然取得了一定的成效，但在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還有一些問(wèn)題，如思維定勢(shì)帶來(lái)的負(fù)面影響、立體模型中線面關(guān)系都是特殊關(guān)系，帶有一定的偶然結(jié)果、局限性也很明顯等等。對(duì)這些問(wèn)題的改進(jìn)和解決有待進(jìn)一步的研究探討。

（作者單位：湖南大學(xué)附屬中學(xué)）